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第二十一章 一元二次方程（A卷·基础过关）
核心知识1一元二次方程及其根
1．（2022春 任城区期末）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【解答】解：对于一元二次方程即，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2022春 平桂区期末）下列方程中，不是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义解决此题．
【解答】解：．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．
．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．
．根据一元二次方程的定义，不是一元二次方程，那么符合题意．
．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3．（2022春 桐城市期末）若为方程的解，则的值为
A．4 B．2 C． D．
【分析】由题意可得，再由，代入求值即可．
【解答】解：为方程的解，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
4．（2022春 瑶海区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A． B．1 C． D．2
【分析】把代入方程，即可得到的值．
【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2022春 包河区期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为
A．6 B． C．1 D．
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【解答】解：方程整理得：，则常数项为．
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
核心知识2．解一元二次方程
6．（2022春 张店区期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是
A． B． C． D．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程，
整理得：，
配方得：，即．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2022春 姜堰区期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
8．（2021秋 陵水县期末）将一元二次方程化成的形式，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
9．（2022春 莱芜区期末）以为根的一元二次方程可能是
A． B． C． D．
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【解答】解：．此方程的根为，符合题意；
．此方程的根为，不符合题意；
．此方程的根为，不符合题意；
．此方程的根为，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
10．（2022 山西模拟）在用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是
A． B．
C． D．
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：在用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式的推导过程是解本题的关键．
11．（2022春 泰山区期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是
A． B． C． D．
【分析】本题可对方程进行化简，看能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是0的形式，即可应用因式分解法来解．
【解答】解：、适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
、由原方程得到，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
、适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
、由原方程得到，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．（2022 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：，
，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
核心知识3．根的判别与韦达定理
13．（2022 息县模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△，
即，
所以可以取4．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
14．（2022 虞城县三模）关于的方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到△，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
15．（2022 洛阳模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A．且 B．且 C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
16．（2022 荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足
A． B． C．或 D．或
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得△，从而解出值；②函数为一次函数，此时，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，，
△，
，
②函数为一次函数，
，
的值为或0；
故选：．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
17．（2022春 栖霞市期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是
A． B．3 C．2或 D．或1
【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得的值．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
△，
，
，，
又，
，
解得：或，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果，是一元二次方程的两根，那么有，的应用．
18．（2022春 丽水期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是
A． B．2 C．3 D．
【分析】设方程的一个根，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设方程的一个根，另一个根为，根据题意得：
，
将代入，得．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
19．（2022春 海阳市期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
20．（2022 牟平区一模）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为
A． B．0 C． D．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体的方法计算即可．
【解答】解：为方程的根，
，
，
，
方程的两个根分别为，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
核心知识4．一元二次方程的应用
21．（2022 定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是
A． B．
C． D．
【分析】由题意根据增长后的量增长前的量增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．
【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么得五、六月份的产量分别为、，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，为增长率．
22．（2022 南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是
A． B． C． D．
【分析】设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：1月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率增长数量原数量．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即 原数增长百分率）后来数．
23．（2022春 仓山区校级期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸（如图），下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．
【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为英寸，根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．
24．（2022春 启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2022春 蜀山区期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】根据利润销售量（售价进价）即可列出一元二次方程．
【解答】解：设售价每千克降低元，
由题意得：，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握利润销售量（售价进价）是解决问题的关键．
26．（2022 泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
【分析】设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2022 沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程
A． B．
C． D．
【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．
【解答】解：根据题意，可得，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键．
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班级 姓名 学号 分数
第二十一章 一元二次方程（A卷·基础过关）
核心知识1一元二次方程及其根
1．（2022春 任城区期末）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．（2022春 平桂区期末）下列方程中，不是一元二次方程的是
A． B． C． D．
3．（2022春 桐城市期末）若为方程的解，则的值为
A．4 B．2 C． D．
4．（2022春 瑶海区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A． B．1 C． D．2
5．（2022春 包河区期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为
A．6 B． C．1 D．
核心知识2．解一元二次方程
6．（2022春 张店区期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是
A． B． C． D．
7．（2022春 姜堰区期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A． B． C． D．
8．（2021秋 陵水县期末）将一元二次方程化成的形式，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022春 莱芜区期末）以为根的一元二次方程可能是
A． B． C． D．
10．（2022 山西模拟）在用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是
A． B．
C． D．
11．（2022春 泰山区期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是
A． B． C． D．
12．（2022 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
核心知识3．根的判别与韦达定理
13．（2022 息县模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是
A．7 B．6 C．5 D．4
14．（2022 虞城县三模）关于的方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
15．（2022 洛阳模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A．且 B．且 C． D．
16．（2022 荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足
A． B． C．或 D．或
17．（2022春 栖霞市期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是
A． B．3 C．2或 D．或1
18．（2022春 丽水期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是
A． B．2 C．3 D．
19．（2022春 海阳市期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034
20．（2022 牟平区一模）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为
A． B．0 C． D．
核心知识4．一元二次方程的应用
21．（2022 定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是
A． B．
C． D．
22．（2022 南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是
A． B． C． D．
23．（2022春 仓山区校级期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸（如图），下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
24．（2022春 启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
25．（2022春 蜀山区期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为
A． B．
C． D．
26．（2022 泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
27．（2022 沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程
A． B．
C． D．
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