中小学教育资源及组卷应用平台
班级 姓名 学号 分数
第二十一章 一元二次方程（B卷·能力提升）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2022 益阳）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022 荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足
A． B． C．或 D．或
3．（2022 西藏）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
4．（2022 郴州）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2022 贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是
A．0， B．0，0 C．， D．，0
6．（2022 营口）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2022 辽宁）下列一元二次方程无实数根的是
A． B． C． D．
8．（2022 哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是
A． B． C． D．
9．（2022 新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为
A． B．
C． D．
10．（2022 泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为
A． B． C．或1 D．或3
二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．（2022 青海）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为 ．
12．（2022 上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．（2022 长春）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
14．（2022 绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
15．（2022 鄂州）若实数、分别满足，，且，则的值为 ．
16．（2022 荆州）一元二次方程配方为，则的值是 ．
17．（2022 湖北）若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ．
18．（2022 连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
三．解答题（本题共6小题，共46分。）
19．（2022 齐齐哈尔）解方程：．
20．（2022 十堰）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
21．（2022 随州）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
22．（2022 凉山州）解方程：．
23．（2021 菏泽）列方程（组解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
24．（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．
（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
班级 姓名 学号 分数
第二十一章一元二次方程（B卷·能力提升）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2022 益阳）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设另一个根是，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
2．（2022 荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足
A． B． C．或 D．或
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得△，从而解出值；②函数为一次函数，此时，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，，
△，
，
②函数为一次函数，
，
的值为或0；
故选：．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
3．（2022 西藏）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
4．（2022 郴州）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】求出判别式△，判断符号即可得出结论．
【解答】解：△，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式△时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
5．（2022 贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【分析】设方程的另一根为，由根与系数的关系可得到的方程，可求得的值，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为，
是一元二次方程的一个根，
，
解得，
则，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
6．（2022 营口）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出△，再求出的范围即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解．
7．（2022 辽宁）下列一元二次方程无实数根的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根判断即可．
【解答】解：、△，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
、△，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
、△，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
、△，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8．（2022 哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是
A． B． C． D．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率），把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
9．（2022 新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为万元，
第三个月的销售额为万元，
，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．
10．（2022 泸州）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为
A． B． C．或1 D．或3
【分析】根据方程的两实数根为，，得出与的值，再根据，即可求出的值．
【解答】解：方程的两实数根为，，
，，
，
，
解得：，，
方程有两实数根，
△，
即，
（不合题意，舍去），
；
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握，是方程的两根时，，．
二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．（2022 青海）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是，宽为，然后根据长方形的面积长宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
12．（2022 上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【分析】由根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式是解题的关键．
13．（2022 长春）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△，建立关于的方程，求出的值即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
14．（2022 绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 20 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，，
，
故答案为：20．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
15．（2022 鄂州）若实数、分别满足，，且，则的值为 ．
【分析】由实数、分别满足，，且，知、可看作方程的两个不相等的实数根，据此可得，，将其代入到原式即可得出答案．
【解答】解：实数、分别满足，，且，
、可看作方程的两个不相等的实数根，
则，，
则原式，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出、可看作方程的两个不相等的实数根及韦达定理．
16．（2022 荆州）一元二次方程配方为，则的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值．
【解答】解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
17．（2022 湖北）若一元二次方程的两个根是，，则的值是 3 ．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
18．（2022 连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 1 ．
【分析】把代入方程得到，然后求得的值即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
三．解答题（本题共6小题，共46分。）
19．（2022 齐齐哈尔）解方程：．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：，
开方得：或，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
20．（2022 十堰）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出，的值，再根据，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：，，，
△
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
，
，
，
的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
21．（2022 随州）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）根据题意得，
，
，
解得，，
，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．也考查了根的判别式．
22．（2022 凉山州）解方程：．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为
或
，．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
23．（2021 菏泽）列方程（组解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设每千克降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．
（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值．
【分析】（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，根据1件产品与1件产品售价和为500元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：产品的销售单价为300元，产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，
依题意得：，
设，则原方程可化简为，
解得：，（不合题意，舍去），
．
答：的值为20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
