13.3.2等边三角形
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课件34张PPT。1、等腰三角形的性质定理是什么？性质1：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）性质2: 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。2、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称为:等角对等边 )一、温故知新等边三角形性质： 等边三角形的各边都相等，各角都相等并且每一个角都等于60°,各边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴.判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形。判定3： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.一、温故知新判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴ △ABE≌△CBD∴AE=CD发散练习：第十三章 轴对称13.3.2等边三角形 问题 已知△ABC 中，∠A =60°,（ ?????? ?）.
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角
形.∠B =60°（或∠C =60°）
AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC 创设情境，导入新知 思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？创设情境，导入新知 思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能
拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的
理由． 活动操作，探索性质BC = AB． 活动操作，探索性质 问题 你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？ 证明∵△ABC与△ADC关于AC轴对称
∴AB＝AD
∠BAD=2× 30°= 60°
∴△ABD是等边三角形
又∵AC⊥BD
∴BC＝DC＝ BD＝ AB从中你能得到
什么结论? 思考 这个命题是真命题吗？请进行证明． 问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.活动操作，探索性质 猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°. 求证：BC = AB．活动操作，探索性质∴ BC = BD = AB ． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°. 求证：BC = AB． 追问：你还能用其他方
法证明吗？ 活动操作，探索性质证明：由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，动手操作，探索性质另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE， 则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．动手操作，探索性质∴ BC =BE =AE = AB． 另证：
在△ACE 中，
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， 动手操作，探索性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.∴ BC = AB． 定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴AB＝2BCABC300这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.5课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°，AB =10，则BC 的长为 ．1课堂练习 练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是
高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 思考 图中BC、DE 分
别是哪个直角三角形的直角
边？它们所对的锐角分别是
多少度？ 性质运用 例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，
∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30°
可得 BC＝ AB, DE＝ AD
∴BC＝ ×7.4＝3.7m
又 AD＝ AB
∴DE＝ AD＝ ×3.7＝1.85m
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.记住哟′解:过C作BA延长线的垂线CD,垂足为D
∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300
(三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和).
∴CD= AC= ×2a=a
(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).ACBD150150例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.2a例3.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD= AB.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?ACBD反过来怎么样——逆向思维命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?
如果是,请你证明它.ABC已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC= AB.
求证:∠A=300.反过来怎么样——逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形定义).
∴∠B=600(等边三角形定义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).300ABC证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言′这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).比一比：看 谁 算 的 快1.如图：在Rt△ABC中
∠A=300,AB+BC=12cm
则AB=_____cm８2.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____４ｃｍ ２ｃｍ挑战自我：相信你一定能行２.如图：已知 在△ABC 中，∠A=300，C=900，BD平分∠ABC.
求证：AD=2DC１.如图，在△ABC中,∠C=900,∠B=150， DE是AB的中垂线，BE=5,
则AE=______,AC=_____成功者的摇篮1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEF(1)(2)GA成功者的摇篮答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点定义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等),∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF,∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300 要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝60°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACB┓请你分一分1、在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝AＣ，∠Ｃ＝３０°,ＤＡ⊥ＢＡ于Ａ，
ＢＣ＝１5，求AD的长 解：∵AB=AC∴∠B=∠C=30°∵DA⊥BA∴AD=1/2BD , ∠ADB=60°∵ ∠ADB=60° ∠C=30°∴∠DAC= ∠C=30°∴AD=DC=1/2BD∵BC=15∴AD=DC=5五、延伸拓展回味无穷等边三角形的判定:
定义:有三边相等的三角形是等边三角形.
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.等边三角形的性质:
三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条对称轴.结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. 再 见！教科书P83习题13.3
第12、13、14题．布置作业
求证:AE=CD证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴ △ABE≌△CBD∴AE=CD发散练习：第十三章 轴对称13.3.2等边三角形 问题 已知△ABC 中，∠A =60°,（ ?????? ?）.
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角
形.∠B =60°（或∠C =60°）
AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC 创设情境，导入新知 思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？创设情境，导入新知 思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一
条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能
拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的
理由． 活动操作，探索性质BC = AB． 活动操作，探索性质 问题 你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？ 证明∵△ABC与△ADC关于AC轴对称
∴AB＝AD
∠BAD=2× 30°= 60°
∴△ABD是等边三角形
又∵AC⊥BD
∴BC＝DC＝ BD＝ AB从中你能得到
什么结论? 思考 这个命题是真命题吗？请进行证明． 问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.活动操作，探索性质 猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°. 求证：BC = AB．活动操作，探索性质∴ BC = BD = AB ． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°. 求证：BC = AB． 追问：你还能用其他方
法证明吗？ 活动操作，探索性质证明：由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，动手操作，探索性质另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE， 则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．动手操作，探索性质∴ BC =BE =AE = AB． 另证：
在△ACE 中，
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， 动手操作，探索性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.∴ BC = AB． 定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
∴AB＝2BCABC300这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.5课堂练习 练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°，AB =10，则BC 的长为 ．1课堂练习 练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是
高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 思考 图中BC、DE 分
别是哪个直角三角形的直角
边？它们所对的锐角分别是
多少度？ 性质运用 例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，
∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30°
可得 BC＝ AB, DE＝ AD
∴BC＝ ×7.4＝3.7m
又 AD＝ AB
∴DE＝ AD＝ ×3.7＝1.85m
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.记住哟′解:过C作BA延长线的垂线CD,垂足为D
∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300
(三角形的一个外角,等于和它不相邻的两内角的和).
∴CD= AC= ×2a=a
(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).ACBD150150例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.2a例3.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD= AB.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?ACBD反过来怎么样——逆向思维命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?
如果是,请你证明它.ABC已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC= AB.
求证:∠A=300.反过来怎么样——逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),
∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又∵BC=AB/2(已知),
BC=BD/2(作图),
∴AB=BD(等量代换).
∴AB=BD=AD(等式性质）.
∴△ABD是等边三角形(等边三角形定义).
∴∠B=600(等边三角形定义).
∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).300ABC证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言′这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中
∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),
∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).比一比：看 谁 算 的 快1.如图：在Rt△ABC中
∠A=300,AB+BC=12cm
则AB=_____cm８2.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____４ｃｍ ２ｃｍ挑战自我：相信你一定能行２.如图：已知 在△ABC 中，∠A=300，C=900，BD平分∠ABC.
求证：AD=2DC１.如图，在△ABC中,∠C=900,∠B=150， DE是AB的中垂线，BE=5,
则AE=______,AC=_____成功者的摇篮1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEF(1)(2)GA成功者的摇篮答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点定义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等),∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF,∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300 要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝60°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACB┓请你分一分1、在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝AＣ，∠Ｃ＝３０°,ＤＡ⊥ＢＡ于Ａ，
ＢＣ＝１5，求AD的长 解：∵AB=AC∴∠B=∠C=30°∵DA⊥BA∴AD=1/2BD , ∠ADB=60°∵ ∠ADB=60° ∠C=30°∴∠DAC= ∠C=30°∴AD=DC=1/2BD∵BC=15∴AD=DC=5五、延伸拓展回味无穷等边三角形的判定:
定义:有三边相等的三角形是等边三角形.
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.等边三角形的性质:
三边相等,三个角都是600,”三线合一”,三条对称轴.结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. 再 见！教科书P83习题13.3
第12、13、14题．布置作业