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2.1.1不等关系与不等式
知识梳理
知识点一 不等关系与不等式
1．不等关系
在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元．
2．不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
知识点二 实数的大小比较
(1)比较实数a，b大小的文字叙述
①如果a－b是正数，那么a＞b；
②如果a－b等于0，那么a＝b；
③如果a－b是负数，那么a
(2)比较实数a，b大小的符号表示
①a－b＞0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a知识点三 重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
习题精练
选择题
1．下列命题正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案：C
解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．
2．(2022·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，a∈R，则有( )
A．P≥Q B．P>Q C．P解析：A ∵P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q.
3．(2022·江西宁冈中学高一摸底)某投资机构从事一项投资，先投入本金a(a>0)元，得到的利润是b(b>0)元，收益率为(%)，假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若该项投资的总收益率是增加的，则( )
A.a≥b B.a≤b C.a>b D.a答案：C.
解析：由题意，设定期追加了n(n∈N*)次投资，则n次投资后收益率为(%)，若该项投资的总收益率是增加的，则>对任意n(n∈N*)成立，即－＝＞0，由于x>0，a＋nx>0，a＋(n－1)x>0，所以a－b>0，即a>b.
4．(2022·湖北鄂南高中月考)已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN C．M＝N D．不确定
答案：B
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，∵a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
5．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A. B.C. D.
答案：D
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
6．(2022·南通海安中学10月段测)设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1答案：A
解析：由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0，又y1－y2＝－＝<0，可得y17．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b B．a答案：C
解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1答案：A
8．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )
A．a>4b B．(a＋4)(b＋4)＝200 C. D.
答案：C
解析：由题意知a>4b，根据面积公式可以得到(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.
9.已知0A．M>N B．M答案：A
解析：∵00,1＋b>0,1－ab>0.∴M－N＝＋＝>0，∴M>N.
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )
A．甲 B．乙 C．同时到达 D．无法判断
答案：B
解析：设路程为S，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，
t1－t2＝＋－＝S＝·S＝＞0
∴甲用时多．
二、填空题
11．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．
答案：m≥n
解析：m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.
12．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
答案：8(x＋19)>2 200
解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
13．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案：eπ·πe解析：＝＝π－e，又0<<1,0<π－e<1，∴π－e<1，即<1，即eπ·πe14．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则________的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”)
答案：乙
解析：由题意得甲购买该用品的平均单价为＝，乙购买该用品的平均单价为＝，由条件得a≠b.因为－＝＞0，所以＞，即乙的购买方式更优惠.
15．a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．据此提炼出一个不等式_______________________.
答案：>(a>b>0，x>0)
解析：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，可得糖水的浓度为×100%；在糖水中加入x克糖，可得糖水的浓度为×100%；由糖水变甜了，可得×100%>×100%，化简整理得，>(a>b>0，x>0)．
三、解答题
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
解：方法一 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad.
∵bd＞0，∴≥，∴＋1≥＋1，即≤.
方法二 作差比较，－＝＝，
∵ad－bc≤0，bd＞0，
∴≤0，∴≤.
17．已知a＋b＞0，比较＋与＋的大小关系.
解：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，
所以≥0.
所以＋≥＋.
18．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a19．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg) 11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．
解：依题意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
由及z＝100－x－y，得
∴x，y所满足的不等关系为
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2.1.1不等关系与不等式
知识梳理
知识点一 不等关系与不等式
1．不等关系
在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：
(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；
(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元．
2．不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
知识点二 实数的大小比较
(1)比较实数a，b大小的文字叙述
①如果a－b是正数，那么a＞b；
②如果a－b等于0，那么a＝b；
③如果a－b是负数，那么a(2)比较实数a，b大小的符号表示
①a－b＞0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a知识点三 重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
习题精练
选择题
1．下列命题正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”2．(2022·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，a∈R，则有( )
A．P≥Q B．P>Q C．P3．(2022·江西宁冈中学高一摸底)某投资机构从事一项投资，先投入本金a(a>0)元，得到的利润是b(b>0)元，收益率为(%)，假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若该项投资的总收益率是增加的，则( )
A.a≥b B.a≤b C.a>b D.a4．(2022·湖北鄂南高中月考)已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN C．M＝N D．不确定
5．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A. B.C. D.
6．(2022·南通海安中学10月段测)设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y17．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b B．a4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y18．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )
A．a>4b B．(a＋4)(b＋4)＝200 C. D.
9.已知0A．M>N B．M10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )
A．甲 B．乙 C．同时到达 D．无法判断
二、填空题
11．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．
12．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
13．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
14．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则________的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”)
15．a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若在糖水中加入x克糖，则糖水变甜了．据此提炼出一个不等式_______________________.
三、解答题
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
17．已知a＋b＞0，比较＋与＋的大小关系.
18．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
19．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg) 11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．
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