高中数学(新RJ·A)必修第一册2.1.2 等式性质与不等式性质 同步练习（含解析）

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2.1.2等式性质与不等式性质
知识梳理
知识点一　等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二　不等式的性质
(1)a>b b(2)a>b，b>c a>c(传递性)；
(3)a>b a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac(5)a>b，c>d a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(7)a>b>0 an>bn (n∈N，n≥1)
(8)a>b>0 >(n∈N，n≥2 )
习题精练
选择题
1．(2022·福州市质检)x>y>0是>的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：充分性：由x>y>0，得x>x－y>0，故>成立，即充分性成立．必要性：由>，得－＝>0，当x<02．(2022·湖北鄂南高中月考)已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN C．M＝N D．不确定
答案：B
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，∵a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
3．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3.则不正确的不等式的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.
4．(2022·郑州模拟)已知2A. B. C. D．
答案：B
解析：由题意可知25．实数x，y，z满足x2＝4x＋z－y－4且x＋y2＋2＝0，则下列关系成立的是(　 )
A．y>x≥z B．z≥x>y C．y>z≥x D．z≥y>x
答案：D
解析：由x2＝4x＋z－y－4知，z－y＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，即z≥y；由x＋y2＋2＝0知，x＝－(y2＋2)，则y－x＝y2＋2＋y＝y＋2＋>0，即y>x.综上，z≥y>x，故选D.
6．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
答案：B
解析：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝
＝，∵a<0，b<0，∴a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p7．(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若aC．若c>a>b>0，则< D．若a>b>c>0，则>
答案：D
解析：对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，＝>＝，故C选项为假命题；
对于D选项，由于a>b>c>0，∴－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．
8．(2022·珠海调研)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　 )
A.< B.＋>0 C．a2>b2 D．a<|b|
答案：C
解析：∵ab<0，a>b，∴a>0，b<0，>0，<0，A不正确；<0，<0，则＋<0，B不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．
9．(2022·济宁模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．xy>yz B．xy>xz C．xz>yz D．x|y|>|y|z
答案：B
解析：∵x>y>z，x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，y的符号无法确定，对于A，∵x>0>z，若y<0，则xy<0z，x>0，∴xy>xz，故B正确；对于C，∵x>y，z<0，∴xzz，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．
10．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为(　 )
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
答案：C
解析：依题意可设买大竹子x根，每根单价为m，购买小竹子78－x根，每根单价为m－1钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．∵0≤x≤78，∴即即≤m≤.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱．
二、填空题
11．给出下列命题：①若ab>0，a>b，则<；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a答案：①③
解析：对于①，若ab>0，则>0，又a>b，∴>，所以<，∴①正确；对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，若a0，∴<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
12．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b(填“>”“<”或“＝”)．
答案：<
解析：(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋113．(2022·宜丰模拟)若<<0，已知下列不等式：①a＋b|b|；③a2.其中正确的不等式的序号为________．
答案：①④
解析：∵<<0，∴b0，>0且均不为1，＋≥2＝2，当且仅当＝＝1时，等号成立，∴＋>2，故④正确．
14．已知12答案：(－24，45)　
解析：∵1515．已知f(a，b)＝ax＋by，如果1≤f(1，1)≤2，且－1≤f(1，－1)≤1，则f(2，1)的取值范围是________.
答案：
解析：由条件f(a，b)＝ax＋by，可知f(1，1)＝x＋y，f(1，－1)＝x－y，则1≤x＋y≤2，且－1≤x－y≤1.设f(2，1)＝2x＋y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，即2x＋y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，于是解得而≤(x＋y)≤3，－≤(x－y)≤，∴1≤2x＋y≤，即f(2，1)的取值范围是.
三、解答题
16．若－1解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则解得
∵－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，
∴－<(a＋b)－(a－b)<，
∴－<2a＋3b<.
17．设a>b>0，试比较与的大小．
解：方法一　作差法
－＝＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.∴>.
18．(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
(2)已知a，b，m均为正数，且a＜b，求证：＞.
解：(1)方法一　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad.
∵bd＞0，∴≥，∴＋1≥＋1，即≤.
方法二　－＝＝，
∵ad－bc≤0，bd＞0，
∴≤0，∴≤.
(2)－＝＝，
∵a＜b，∴b－a＞0，
又m，b均为正数，∴＞0，∴＞.
19．若二次函数f(x)的图象关于y对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的取值范围．
解：由题意设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则∴
而f(3)＝9a＋c＝3f(2)－3f(1)＋＝，
∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，
∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32，
∴－10≤－5f(1)≤－5，
∴14≤8f(2)－5f(1)≤27，
∴≤≤9，即≤f(3)≤9.
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2.1.2等式性质与不等式性质
知识梳理
知识点一　等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二　不等式的性质
(1)a>b b(2)a>b，b>c a>c(传递性)；
(3)a>b a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac(5)a>b，c>d a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(7)a>b>0 an>bn (n∈N，n≥1)
(8)a>b>0 >(n∈N，n≥2 )
习题精练
选择题
1．(2022·福州市质检)x>y>0是>的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2022·湖北鄂南高中月考)已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN C．M＝N D．不确定
3．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3.则不正确的不等式的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．(2022·郑州模拟)已知2A. B. C. D．
5．实数x，y，z满足x2＝4x＋z－y－4且x＋y2＋2＝0，则下列关系成立的是(　 )
A．y>x≥z B．z≥x>y C．y>z≥x D．z≥y>x
6．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
7．(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若aC．若c>a>b>0，则< D．若a>b>c>0，则>
8．(2022·珠海调研)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　 )
A.< B.＋>0 C．a2>b2 D．a<|b|
9．(2022·济宁模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．xy>yz B．xy>xz C．xz>yz D．x|y|>|y|z
10．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为(　 )
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
二、填空题
11．给出下列命题：①若ab>0，a>b，则<；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a12．若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b(填“>”“<”或“＝”)．
13．(2022·宜丰模拟)若<<0，已知下列不等式：①a＋b|b|；③a2.其中正确的不等式的序号为________．
14．已知1215．已知f(a，b)＝ax＋by，如果1≤f(1，1)≤2，且－1≤f(1，－1)≤1，则f(2，1)的取值范围是________.
三、解答题
16．若－117．设a>b>0，试比较与的大小．
18．(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
(2)已知a，b，m均为正数，且a＜b，求证：＞.
19．若二次函数f(x)的图象关于y对称，且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的取值范围．
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