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3.1.3 分段函数
知识梳理
知识点 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
注意点：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个．
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集．
习题精练
选择题
1.已知f(x)＝则f(3)为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：A
解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．∵f(7)＝7－5＝2，∴f(3)＝2. 故选A.
2.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
答案：B
解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
3.已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )
A. B．9 C．－1或1 D．－或
答案：A
解析：依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0
4.函数f(x)＝x＋的图象是( )
答案：C
解析：依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C.
5.设函数f(x)＝φ(x)＝则当x<0时，f(φ(x))＝( )
A．－x B．－x2 C．x D．x2
答案：C
解析：依题意，当x<0时，φ(x)＝x<0，所以f(φ(x))＝x. 故选C.
6.已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是( )
A．[－4,2) B．[－4,2] C．(0,2] D．(－4,2]
答案：B
解析：当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]；当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈[0,2]，综上，x∈[－4,2]．故选B.
7.函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是( )
A．[－5,0]∪[2,6)，[0,5] B．[－5,6)，[0，＋∞)
C．[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞) D．[－5，＋∞)，[2,5]
答案：C
解析：由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5,0]∪[2,6)，值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞)．故选C.
8.设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
答案：D
解析： f(f())＝f(3×－b)＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝.故选D.
9.设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案：C
解析：若01，由f(a)＝f(a＋1)得＝2(a＋1－1)，∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，则a＋1≥2，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上，f＝6.故选C.
10.(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是( )
A．f2(f(0))＝f(f2(0)) B．f2(f(1))＝f(f2(1)) C．f2(f(2))＝f(f2(2)) D．f2(f(3))＝f(f2(3))
答案：ACD
解析：令x2－2x－1＝2，解得x＝－1或x＝3，根据“p界函数”的定义，有f2(x)＝所以f2[f(0)]＝f2(－1)＝2，f(f2(0))＝f(－1)＝2，故A选项中的等式成立； f2(f(1))＝f2(－2)＝2, f(f2(1))＝f(－2)＝7，故B选项中的等式不成立；
f2(f(2))＝f2(－1)＝2，f(f2(2))＝f(－1)＝2，故C选项中的等式成立；f2(f(3))＝f2(2)＝－1，f(f2(3))＝f(2)＝－1，故D选项中的等式成立．故选ACD.
二、填空题
11.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
答案：－或10
解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－或x0＝10.
12.若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为 ．
答案：(－∞，1]
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象(如图)得值域是(－∞，1]．
13.函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是 ．
答案：(－∞，－3)
解析：当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－214.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是____________________．
答案：f(x)＝
解析：由题图可知，图象是由两段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则所以即f(x)＝x＋1；当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，f(x)＝－x，综上所述，f(x)＝
15.已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是 ，则实数c的取值范围是 .
答案：，
解析：若c＝0，当－2≤x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－，对称轴方程为x＝－，所以当x∈[－2，0]时，f(－2)为最大值，且为2，最小值为－；当00)时，f(x)＝的值随着x的增大而减小，值域为，所以由题可得≤2，解得c≥.故实数c的取值范围为.
三、解答题
16.已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解：(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2，
∴f[f(－)]＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去.
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意.
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
题后反思：
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
(2)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
17.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式．(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
解：当产量小于或等于50万盒时，y＝200x－200－180x－100＝20x－300，
当产量大于50万盒时，y＝200x－200－x2－60x－3 500＝－x2＋140x－3 700，
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y＝x∈N.
题后反思：分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
18.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．
解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0∴函数解析式为f(x)＝
(2)图象如图所示．从图象可以看出[f(x)]max＝8.
19.已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．
(1)作出函数f(x)的图象．
(2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．
解：(1)函数f(x)＝|x－2|(x＋1)，去绝对值符号得f(x)＝
可得f(x)的图象如图所示．
(2)直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图：
由图象可知：
当a<0时，有一个交点；当a＝0时，有两个交点；
当0当a＝时，有两个交点；当a>时，有一个交点．
综上，当a<0或a>时，有一个交点；
当a＝0或a＝时，有两个交点；
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3.1.3 分段函数
知识梳理
知识点 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
注意点：
(1)分段函数是一个函数，而不是几个．
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集．
习题精练
选择题
1.已知f(x)＝则f(3)为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
3.已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )
A. B．9 C．－1或1 D．－或
4.函数f(x)＝x＋的图象是( )
5.设函数f(x)＝φ(x)＝则当x<0时，f(φ(x))＝( )
A．－x B．－x2 C．x D．x2
6.已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是( )
A．[－4,2) B．[－4,2] C．(0,2] D．(－4,2]
7.函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是( )
A．[－5,0]∪[2,6)，[0,5] B．[－5,6)，[0，＋∞)
C．[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞) D．[－5，＋∞)，[2,5]
8.设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
9.设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10.(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是( )
A．f2(f(0))＝f(f2(0)) B．f2(f(1))＝f(f2(1)) C．f2(f(2))＝f(f2(2)) D．f2(f(3))＝f(f2(3))
二、填空题
11.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
12.若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为 ．
13.函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是____________________．
15.已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是 ，则实数c的取值范围是 .
三、解答题
16.已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
题后反思：
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
(2)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
17.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式．(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
题后反思：分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
18.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．
19.已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．
(1)作出函数f(x)的图象．
(2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．
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3.1.3 分段函数 1/1