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3.3 幂函数
知识梳理
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意点：
(1)自变量前的系数是1.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数．
(4)函数的定义域与α有关．
知识点二 幂函数的图象与性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞)减，x∈(－∞，0)减
定点 (1,1)
注意点：一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．
(4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
习题精练
选择题
1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
2.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
答案：B
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn递增速度越快，n＜0时看|n|的大小.根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.
3.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1
答案：B
解析：方法一 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0＜m＜1，n＜－1.
方法二 根据幂函数图象增减性知m>0，n<0，由x＝1右侧指数逆时针增大，知n<－1，由图象上凸知0
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nm>0 D．m>n>0
答案：A
解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.取x＝2，则有2m>2n，知m>n，故n5.幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案：D
解析：设f(x)＝xα.由2α＝，得α＝－2，故f(x)＝x－2，其单调递增区间是(－∞，0)．
6.函数y＝x的图象是( )
答案：A
解析：f(－x)＝(－x)＝＝＝x＝f(x)，又函数的定义域为R.故f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，排除C，D.又函数的指数为>1，故在(0，＋∞)上递增的趋势变快，排除B，故选A.
7.设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．c答案：A
解析：a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c8. (多选题)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α的取值可能是( )
A．－1 B．1 C. D．3
答案：BCD
解析：α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．
9.已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
答案：B
解析：由幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有性质f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，得12α＋(－1)2α＝2[1α＋(－1)α－1]，即1＋1＝2[1＋(－1)α－1]，所以(－1)α＝1，故α为偶数．由幂函数的图象和性质可知，函数f(x)是偶函数．
10.已知函数f(x)＝，若0A．f(a)C．f(a)答案：C
解析：因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，又0二、填空题
11.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式 .
答案：f(x)＝x3
解析：根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
12.当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 .
A．(0,1) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案：(－∞，0)∪(0,1)
解析：幂函数y＝，y＝x－1在(1，＋∞)上的图象在直线y＝x的下方，即a<0或013.已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝ .
答案：－1或2
解析：∵－<－，且(－)n>(－)n，∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1，或n＝2.
14.设f(x)＝(m－1)，若f(x)为正比例函数，则m＝________；若f(x)是反比例函数，则m＝________；若f(x)是幂函数，则m＝________.
答案：± －1 2
解析：f(x)＝(m－1).若f(x)是正比例函数，则∴m＝±.若f(x)是反比例函数，则即∴m＝－1.若f(x)是幂函数，则m－1＝1，∴m＝2.
15.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)>f(10－2a)，则a的取值范围为 ．
答案：(3,5]
解析：∵f(x)＝ (x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(a＋1)>f(10－2a)，
∴解得∴3三、解答题
16.幂函数y＝(m2－m－1)，当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值，并求函数的定义域.
解：因为y＝(m2－m－1)为幂函数，
所以m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，
所以m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数.
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数，
所以m＝2，此时y＝x－3.
所以函数的定义域是{x|x∈R且x≠0}.
17.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，
又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝x2－ax－3＝2－3－在[1,3]上不单调，
则对称轴x＝满足1<<3，即2所以实数a的取值范围为(2,6)．
18.已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数的单调性，并进行证明；
(3)若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，∴m＝2或m＝0.
当m＝2时，f(x)＝，图象过点(4,2)；
当m＝0时，f(x)＝ ，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝.
(2)函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为0≤x1＜x2，＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(3)函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)＞f(2a－3)，则得≤a＜4.
综上，a的取值范围为.
19.已知幂函数f(x)＝x -m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴－m2＋2m＋3>0，
即m2－2m－3<0，
解得－1又m∈Z，∴m＝0,1,2.
而当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1，
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．
∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，
∴c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
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3.3 幂函数
知识梳理
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意点：
(1)自变量前的系数是1.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数．
(4)函数的定义域与α有关．
知识点二 幂函数的图象与性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞)减，x∈(－∞，0)减
定点 (1,1)
注意点：一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．
(4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
习题精练
选择题
1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
3.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nm>0 D．m>n>0
5.幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
6.函数y＝x的图象是( )
7.设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．c8. (多选题)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α的取值可能是( )
A．－1 B．1 C. D．3
9.已知幂函数f(x)＝xα(α∈Z)具有如下性质：f 2(1)＋f 2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
10.已知函数f(x)＝，若0A．f(a)C．f(a)二、填空题
11.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式 .
12.当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 .
A．(0,1) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
13.已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝ .
14.设f(x)＝(m－1)，若f(x)为正比例函数，则m＝________；若f(x)是反比例函数，则m＝________；若f(x)是幂函数，则m＝________.
15.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)>f(10－2a)，则a的取值范围为 ．
三、解答题
16.幂函数y＝(m2－m－1)，当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值，并求函数的定义域.
17.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
18.已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数的单调性，并进行证明；
(3)若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围．
19.已知幂函数f(x)＝x -m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
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