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2.1.1 直线的倾斜角与斜率
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°， 规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的斜率
定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示.直线的斜率具体见下表：
条件 公式
直线的倾斜角为α，且α≠90° k＝tanα
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝
3. 倾斜角α与斜率k的关系
直线情况 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减性 随α增大而增大 随α增大而增大
经典习题
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大.
B. 直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.
C. 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.
D. 直线倾斜角的取值范围是[0，π).
答案：D
解析：选项A，当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2；选项B，当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°；选项C，两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等；选项D正确.
2.下列说法正确的是( )
A.直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°
C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°
D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
答案：D
解析：直线的倾斜角为直线向上的方向与x轴的正方向所成的角，故A不正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故B不正确；和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故C不正确；只有D正确.
3.斜率为的直线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.150°
答案：A
解析：设直线的倾斜角为α，由题意，得tan α＝，所以α＝30°，故选A.
4.若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为( )
A.4 B.0 C.－4 D.1
答案：B
解析：kAB＝＝，解 得 a＝0.
5.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°≤α≤90° B.90°≤α<180° C.90°≤α<180°或α＝0° D.90°≤α≤135°
答案：C
解析：倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴.
6.斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为( )
A.4，0 B.－4，－3 C.4，－3 D.－4，3
答案：C
解析：由题意，得即解得 a＝4，b＝－3.
7.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y的值为( )
A.－ B. C.－1 D.1
答案：C
解析：由已知，得 ＝tan 45°＝1.故 y＝－1.
8.设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.[0，π) B. C. D.∪
答案：C
解析：当cos θ＝0时，方程为x＋3＝0，其倾斜角为 .当cos θ≠0时，由直线方程可得，斜率k＝－.∵cos θ∈[－1,1]，且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.综上可知，倾斜角的范围是 [，].
9.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
答案：D
解析：根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
10.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B． C.∪ D．∪
答案：B
解析：依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是.
二、填空题
11.若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为 ，斜率为 .
答案：30°或150° 或－
解析：因为直线AB与y轴的夹角为60°，所以直线AB的倾斜角为30°或150°.当倾斜角为30°时，斜率为tan 30°＝；当倾斜角为150°时，斜率为tan 150°＝－.
12.给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系.其中正确命题的序号是 .
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：①
解析：任何一条直线都有唯一的倾斜角，故①正确；倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误；所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0°，故③错误；倾斜角相同的直线有无数条，不是一一对应关系，故④错误.
13.已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .
答案：(2＋3,0)
解析：设点Q的坐标为(x,0)，则k＝＝tan 150°＝－，解得x＝2＋3.
14.若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 .
答案：(－2,1)
解析： ∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，即或解得－2
15.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 .
答案：[0,2]
解析：如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是 [0,2].
16.已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．
答案：20°≤α<200°
解析：因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
三、解答题
17. 经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值．
解析：∵A(－m,6)，B(m＋1,3m)，
∴kAB＝＝.
又直线AB的倾斜角的正切值为2，
∴kAB＝2，即＝2，解得m＝－8.
18.如图所示，菱形ABCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝.
因为OB与x轴重合，DC∥OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝；
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，
斜率kBD＝tan120°＝－.
19.已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kAC＝＝.
(2)如图所示. kBC＝＝.设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
20.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
解析：＝其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．
则kOA＝2，kOB＝．
所以得的最大值为2，最小值为．
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2.1.1 直线的倾斜角与斜率
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°， 规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的斜率
定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示.直线的斜率具体见下表：
条件 公式
直线的倾斜角为α，且α≠90° k＝tanα
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 k＝
3. 倾斜角α与斜率k的关系
直线情况 平行于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0
k的增减性 随α增大而增大 随α增大而增大
经典习题
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大.
B. 直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.
C. 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.
D. 直线倾斜角的取值范围是[0，π).
2.下列说法正确的是( )
A.直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°
C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°
D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
3.斜率为的直线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.150°
4.若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为( )
A.4 B.0 C.－4 D.1
5.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°≤α≤90° B.90°≤α<180° C.90°≤α<180°或α＝0° D.90°≤α≤135°
6.斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为( )
A.4，0 B.－4，－3 C.4，－3 D.－4，3
7.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y的值为( )
A.－ B. C.－1 D.1
8.设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.[0，π) B. C. D.∪
9.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
10.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B． C.∪ D．∪
二、填空题
11.若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为 ，斜率为 .
12.给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系.其中正确命题的序号是 .
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 .
14.若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 .
15.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 .
16.已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．
三、解答题
17. 经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值．
18.如图所示，菱形ABCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
19.已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
20.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
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