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2.2.1 直线的点斜式方程
基本知识梳理
知识点一 直线的点斜式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
知识点二 直线的斜截式方程
1.直线l在坐标轴上的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a.
2.直线的斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．
(5)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
经典习题
一、选择题
1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )
A.直线的斜率存在 B.直线的斜率不存在 C.直线不过原点 D.直线过原点
答案：A
解析：直线的点斜式方程中，斜率必须存在.
2．(2022·芜湖模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2 C．y＝x＋2 D．y＝x－2
答案：B
解析：斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
3.直线y＝x－1的斜率和在y轴上的截距分别是( )
A.－1,1 B.1,1 C.－1，－1 D.1，－1
答案：D
解析：直线y＝x－1为斜截式方程，其中斜率为1，在y轴上的截距为－1.
4．过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为( )
A．3x＋5y－3＝0 B．3x＋5y＋3＝0 C．3x＋5y－1＝0 D．5x－3y＋5＝0
答案：B
解析：方法一 设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，－3)平行，则－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二 因为直线的方向向量为a＝(5，－3)，所以所求直线的斜率k＝－，故所求直线的方程为y＝－(x＋1)，即3x＋5y＋3＝0.
5．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
答案：A
解析：因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
6.已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的定点和倾斜角分别是( )
A.(4,3)，60° B.(－3，－4)，30° C.(4,3)，30° D.(－4，－3)，60°
答案：A
解析：y－3＝(x－4)，得直线过定点(4,3).因为斜率k＝，所以倾斜角为60°.
7.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
答案：D
解析：∵直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－，∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
8.若经过原点的直线l与直线y＝x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是( )
A.0° B.60° C.0°或60° D.60°或90°
答案：C
9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的( )
答案：B
解析：直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B.
10.直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A. (1，3) B. (－1，－3) C. (3，1) D. (－3，－1)
答案：C
解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1)．
二、填空题
11. (2022·徐州模拟)无论k取任何实数，直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0必经过一个定点，该定点的坐标为________；当k＝________时，原点O到直线l的距离最大．
答案：(2,2) －3
解析：直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0，即为直线(x－2y＋2)＋k(4x＋3y－14)＝0，
由可得即定点的坐标为(2,2)，设点A(2,2)，则当OA与直线l垂直时，原点O到直线l的距离最大，此时kOA＝1，故直线的斜率为－1，故＝－1，即k＝－3.
12.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是 .
答案：(－∞，0]
解析：当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；当k＞0时，直线过第三象限；当k＜0时，直线不过第三象限.
13.和直线y＝－x＋垂直，且经过点(－2，0)的直线方程是 .
答案：y＝x＋
解析：因为y＝－x＋的斜率为－，所以与其垂直的直线的斜率为.故所求直线方程为y＝(x＋2)，即y＝x＋.
14.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 .
答案：[－2，2]
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2，2].
15.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是 .
答案： k≥1或k≤－1
解析：令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤-1.
三、解答题
16.已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
解：(1)如图所示，
因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝，
所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)．
因为∠B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
题后反思：求直线的点斜式方程的步骤及注意点：(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
17.求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解：(1)∵直线y＝x的斜率为，∴直线y＝x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为.
∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)，即x－y－2－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率kPQ＝＝＝－1.
∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
18.已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋.
由－＝－，得m＝±；
由＝，得m＝或m＝，
－·＝－1无解．
故当m＝－时，l1与l2平行；当m＝0时，l1与l2垂直．
19．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2) 解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足即解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.
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2.2.1 直线的点斜式方程
基本知识梳理
知识点一 直线的点斜式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
知识点二 直线的斜截式方程
1.直线l在坐标轴上的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a.
2.直线的斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．
(5)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
经典习题
一、选择题
1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )
A.直线的斜率存在 B.直线的斜率不存在 C.直线不过原点 D.直线过原点
2．(2022·芜湖模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2 C．y＝x＋2 D．y＝x－2
3.直线y＝x－1的斜率和在y轴上的截距分别是( )
A.－1,1 B.1,1 C.－1，－1 D.1，－1
4．过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为( )
A．3x＋5y－3＝0 B．3x＋5y＋3＝0 C．3x＋5y－1＝0 D．5x－3y＋5＝0
5．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
6.已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的定点和倾斜角分别是( )
A.(4,3)，60° B.(－3，－4)，30° C.(4,3)，30° D.(－4，－3)，60°
7.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
8.若经过原点的直线l与直线y＝x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是( )
A.0° B.60° C.0°或60° D.60°或90°
9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的( )
10.直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A. (1，3) B. (－1，－3) C. (3，1) D. (－3，－1)
二、填空题
11. (2022·徐州模拟)无论k取任何实数，直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0必经过一个定点，该定点的坐标为________；当k＝________时，原点O到直线l的距离最大．
12.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是 .
13.和直线y＝－x＋垂直，且经过点(－2，0)的直线方程是 .
14.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 .
15.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是 .
三、解答题
16.已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
17.求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
18.已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
19．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
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2.2.1 直线的点斜式方程 1/1
