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2.2.3直线的一般式方程
知识梳理
知识点 直线的一般式方程
1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，斜率不存在，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
习题精练
一、选择题
1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( )
A.45° B.135° C.1 D.－1
答案：B
解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.
2. (2022·淄博高二检测)下列说法正确的是( )
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
答案：B
解析：当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
答案：D
解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
答案：B
解析：kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.
5.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A.ab>0，bc>0 B.ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0
答案：D
解析：直线经过第一、二、三象限，则由y＝－ x－可知， 选D.
6.已知直线l1：(k－3)x＋(3－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是( )
A.2 B.3 C.2或3 D.2或－3
答案：C
解析：∵l1⊥l2，∴2(k－3)2－2(3－k)＝0，即k2－5k＋6＝0，得k＝2或k＝3.
7.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.∪
答案：C
解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围为∪.
8.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A.－2 B.2 C.－3 D.3
答案：D
解析：由已知得m2－4≠0，且＝1，解得：m＝3.
9.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是( )
A.a≠±1 B.a≠1，a≠2 C.a≠－1 D.a≠±1，a≠2
答案：A
解析：因为直线x＋ay＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1.
10.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
答案：C
解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故正确；D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错．
11. (2022·潍坊高二检测)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A.b>0，d<0，a
0，d<0，a>c C.b<0，d>0，a>c D.b<0，d>0，a答案：C
解析：由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0且k1>k2，∴a<0，c<0且a>c.又l1的纵截距－<0，l2的纵截距－>0，∴b<0，d>0，故选C.
12.已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令得∴直线恒过定点.
二、填空题
11.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.
答案：
解析：由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.
12. 直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.
答案： (－∞，－)∪(0，＋∞)
解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，解得－10.综上可知，实数a的取值范围是 (－∞，－)∪(0，＋∞).
13. 若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.
答案：2
解析：线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.
14.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.
答案：2x＋3y＋4＝0
解析：由条件可知 易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求 .
15.直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是________________.
答案：x＋2y＋4＝0
解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，∵所求直线过点A且斜率为－，∴所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.
15．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题：①直线的倾斜角是π－α；②无论α如何变化，直线不过原点；③直线的斜率一定存在；④当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1.正确的是____________.
答案：②④
解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以①不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，②正确；当α＝时，直线斜率不存在，③不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以④正确．
三、解答题
16.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解：方法一 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行.
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0垂直.
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线 l1⊥l2.
方法二 (1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
17.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；
当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2，
∴＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)，
∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∵l不经过第二象限，∴解得a≤－1.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]．
18.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2) 解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
19.已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝ ？
解 集合A，B分别为xOy平面上的点集．
集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，
集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.
由得a＝±1.
①当a＝1时，B＝ ，A∩B＝ ；
②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)，
集合B表示直线y＝－，两直线平行．A∩B＝ ；
③由l1可知(2,3) A，当(2,3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，可得a＝－4或a＝，此时A∩B＝ .
综上可知，当a的值为－4，－1,1，时，A∩B＝ .
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2.2.3 直线的一般式方程 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.2.3直线的一般式方程
知识梳理
知识点 直线的一般式方程
1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，斜率不存在，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
习题精练
一、选择题
1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( )
A.45° B.135° C.1 D.－1
2. (2022·淄博高二检测)下列说法正确的是( )
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
4.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
5.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A.ab>0，bc>0 B.ab>0，bc>0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0
6.已知直线l1：(k－3)x＋(3－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是( )
A.2 B.3 C.2或3 D.2或－3
7.直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C.∪ D.∪
8.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A.－2 B.2 C.－3 D.3
9.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是( )
A.a≠±1 B.a≠1，a≠2 C.a≠－1 D.a≠±1，a≠2
10.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
11. (2022·潍坊高二检测)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A.b>0，d<0，a0，d<0，a>c C.b<0，d>0，a>c D.b<0，d>0，a12.已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.
12. 直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.
13. 若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.
14.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.
15.直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是________________.
15．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题：①直线的倾斜角是π－α；②无论α如何变化，直线不过原点；③直线的斜率一定存在；④当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1.正确的是____________.
三、解答题
16.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
17.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
18.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
19.已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝ ？
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2.2.3 直线的一般式方程 1/1