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13.1 三角形中的边角关系
第1课时 三角形中边的关系
一、教学目标
1.理解三角形概念及其基本要素.
2.证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题.
3.经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值.
4.认识到通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学源于生活，而又在生活实践探索中得到解决.
二、教学重难点
重点：三角形三边关系的探究和归纳.
难点：三角形三边关系的应用.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【情景引入】 观察下列图形，有你熟悉的几何图形吗？ 三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，自行车，建筑物，交通标志等等，处处都有三角形的形象. 观看图片，根据老师的提问思考并回答问题. 通过观察生活中常见物体的图片引入，增强学生的代入感，让学生能够感知三角形，为后面引出三角形的概念作铺垫.
环节二 探究新知 【思考】 1.下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？ 观察上面的图形，你能说出什么样的图形是三角形吗？ 三角形的概念： 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形. 注意：三条线段必须满足： ①不在一条直线上，②首尾顺次相接. 2.构成三角形的要素有哪些呢？ 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点. 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边AC可用b表示，顶点A所对的BC可用a表示. 3.如何用符号表示三角形？ 符号表示为：△ABC(△BCA、△CAB) 注意：①字母没有先后顺序；②通常情况下按逆时针的顺序写. 4.你能给下面的三角形起个名字吗？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 底边和腰相等的等腰三角形也叫做等边三角形.(即：三条边都相等的三角形是等边三角形) 由此可知，等边三角形是特殊的等腰三角形. 5.如何给下面的三角形分类？ 通过观察上边这些三角形的边的不同特点，可以把它们分为两类：三边都相等的三角形、有两边相等的三角形，三边各不相等的三角形. 小结： 按边分类：不等边三角形、等腰三角形. 等腰三角形：底和腰不相等的等腰三角形、等边三角形. 【操作】 初始长度老师定义，设置三组数据： 比如： 第一组：3cm，4cm，5cm 第二组：2cm，3cm，5cm 第三组：1cm，2cm，8cm 让学生通过自己动手操作，看以上3组线段能否构成三角形. 通过第一组数据，让学生意识到，3条线段必须首尾相接，才能构成三角形； 通过第二组数据，让学生发现，虽然首尾顺次连结，仍不能组成三角形，并提出问题，这是为什么呢？ 小组讨论，得出一致答案：构成三角形的三条线段必须是不在同一条直线上的. 通过动手操作让学生发现，并不是任意长度的三条线段都能组成三角形. 引出问题： 要使三条线段能够构成三角形，这个三角形的三条边的长度应该满足什么关系呢？ 【探究】 任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？ 路线1：从A到C再到B路线走 路线2：沿线段AB走 路线1、路线2那条路程较短，你能说出你的根据吗？ 路线2路程较短；AC+BC>AB 依据：两点之间，线段最短. 同理有，AB+BC>AC；AB+AC>BC 你能用语言文字表述上述三角形的三边关系吗？ 三角形中两边之和大于第三边. 对前面两个不等式移项可得： BC>ABAC；BC>ACAB 即：三角形中任何两边之差小于第三边. 【做一做】 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 3，4，8 ( ) (2) 2，5，6 ( ) (3) 5，6，10 ( ) (4) 3，5，8 ( ) 答案：不能；能；能；不能. 有没有更简便的判断方法？ 只要满足较短的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形; 否则不能组成三角形. 观察、思考并回答 学生自主作答 学生思考并回答 小组交流，然后展示成果，教师汇总并补充. 学生动手操作后，小组交流展示自己的成果. 学生思考并回答 学生自主完成练习. 通过一些图形，让学生直观感受，三条线段要满足什么条件才能构成三角形.引出三角形的概念 在三角形概念的基础上，进一步提出三角形的构成元素有哪些. 增强符号表示的意识. 通过此环节让学生进一步理解、掌握等腰三角形、等边三角形的概念，以及两者之间的关系. 通过对三角形按边进行分类，巩固所学知识，同时让学生进一步理解等腰三角形与等边三角形不是独立的两类 前两组数据是为了巩固一下构成三角形必须满足2个条件：①不能在同一条直线上；②必须首尾顺次相接；通过三组数据对比，让学生意识到，并不是任意给3条线段都能够成三角形，为后面引入三边关系作铺垫. 通过探究蚂蚁从A到B的最短路径问题，让学生理解三角形中的三边关系. 通过做一做让学生掌握利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形，并总结出简便方法.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 等腰三角形中，周长为18cm. (1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长； (2)如果一边的长为4cm，求另两边长. 解：(1)设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm. 根据题意，得 x+2x+2x=18. 解方程，得x=3.6. 所以三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm. (2)若底边长为4cm，设腰长为xcm. 根据题意，得2x+4=18.解方程，得 x =7； 若腰长为4cm，设底边长为xcm. 根据题意，得 24+ x =18.解方程，得x =10. 由于4+4<10，可知以4cm为腰长不能构成周长为18cm的等腰三角形. 所以，三角形的另两边长都是7cm. 例2 在△ABC中，AC=5，BC=2，求△ABC周长L的取值范围. 解：∵ AC+BC>AB，∴AB<7 ∵ ACBC
3 可得：3环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.说出图中的各个三角形.并表示出来.并说一说每个三角形的边、顶点、角. 答：△ABE、△BCE、△CDE、△ABC、△BCD 2.上图中，以BC为边的三角形有哪些？ △BCE、△ABC、△BCD 3.已知等腰三角形的一边长为5cm，一边长为6cm，求它的周长. 解：①如果底边长为5cm，腰长为6cm， 此时三边长分别为：5，6，6，满足：5+6>6，能够成三角形； 三角形的周长L=5+6+6=17cm ②如果底边长为6cm，腰长为5cm， 此时三边长分别为：5，5，6， 满足：5+5>6，能够成三角形； 三角形的周长L=5+5+6=16cm 综上,该等腰三角形的周长为16cm或17cm. 4. 在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB为奇数，求△ABC周长L. 解：∵ ACBC环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第69页练习第1、2、3题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共22张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
1 三角形中边的关系
学习目标
三角形中边的关系
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解三角形概念及其基本要素.
2.证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题.
3.经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值.
4.认识到通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学源于生活，而又在生活实践探索中得到解决.
情境引入
观察这些实物，里边有你熟悉的几何图形吗？
下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？
思考
C
A
B
D
B
A
C
(3)
A B C D
(1)
(2)
条件：
D
E
A
B
C
①不能在同一条直线上；
②不能有“缺口”“尾巴”；
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.
构成三角形的要素有哪些？
构成三角形的要素有哪些？
组成三角形的线段叫做三角形的边；
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角
相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
AB 、AC 、BC
(c) (b) (a)
(角)；
A
B
C
a
b
c
A、B、C
∠A、∠B、∠C
思考
如何用符号表示三角形？
A
B
C
ABC
△
①字母没有先后顺序；
②通常情况下按逆时针的顺序写.
△BCA、
△CAB
思考
等腰三角形
等边三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
腰
腰
底边
底角
顶角
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
底边＝腰
你能给下面的三角形起个名字吗？
思考
特殊的等腰三角形
思考
如何给下面的三角形分类？
按边分：
三边都不相等的三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边
三角形
等腰
三角形
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
思考
设置三组小棒的长度，让学生动手操作，看能否拼成三角形
第一组：3cm，4cm，5cm(能拼成三角形)
第二组：2cm，3cm，5cm(在一条直线上，不能拼成三角形)
第三组：1cm，2cm，8cm(不能拼成三角形)
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系如何？你判断的依据是什么？
思考
任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？
C
A
B
路线1：沿A→C→B路线走
哪条路线短？为什么？
路线2：沿线段AB走
即：AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
三角形中两边之和大于第三边.
两点之间，线段最短
合作探究
任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？
C
A
B
合作探究
即：AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
BC >AB AC
BC >AC AB
三角形中两边之和大于第三边.
三角形中两边之差小于第三边.
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1) 3，4，8 ( )
(2) 2，5，6 ( )
(3) 5，6，10 ( )
(4) 3，5，8 ( )
不能
能
能
不能
有没有更简便的判断方法？
做一做
只要满足较短的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形; 否则不能组成三角形.
典型例题
(1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长；
解：设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm.
根据题意，得 x+2x+2x=18.
解方程，得x=3.6.
所以三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2cm.
例1 等腰三角形中，周长为18cm.
x
2x
2x
典型例题
(2)如果一边的长为4cm，求另两边长.
例1 等腰三角形中，周长为18cm.
是底还是腰？
分类讨论
解：若底边长为4cm，设腰长为xcm.
根据题意，得 2x+4=18.解方程，得 x =7；
若腰长为4cm，设底边长为xcm.
根据题意，得 2 4+ x =18.解方程，得 x =10.
由于4+4<10，可知以4cm为腰长不能构成周长为18cm的等腰三角形.
所以，三角形的另两边长都是7cm.
典型例题
例2 在△ABC中，AC=5，BC=2，求△ABC周长L的取值范围.
关键：第三边
5
2
C
A
B
解：∵ AC+BC>AB，∴AB<7
∵ AC BC3
可得：3∵△ABC的周长L=AC+BC+AB=AB+7
∴ L的取值范围是：10第三边的取值范围：
两边之差<第三边<两边之和
抢答
随堂练习
1.说出图中的各个三角形.并表示出来.并说一说每个三角形的边、顶点、角.
A
D
B
E
C
△ABE
△BCE
△CDE
△ABC
△BCD
2.上图中，以BC为边的三角形有哪些？
△BCE
△ABC
△BCD
抢答
随堂练习
3.已知等腰三角形的一边长为5cm，一边长为6cm，求它的周长.
①如果底边长为5cm，腰长为6cm，
此时三边长分别为：5，6，6，满足：5+6>6，能够成三角形.
三角形的周长L=5+6+6=17(cm)；
②如果底边长为6cm，腰长为5cm，
此时三边长分别为：5，5，6， 满足：5+5>6，能够成三角形；
三角形的周长L=5+5+6=16(cm).
综上，该等腰三角形的周长为16cm或17cm.
解：
抢答
随堂练习
解：∵ AC BC可得：3∵AB为奇数，
∴ AB=5.
∴ △ABC的周长L=3+5+7=15.
4. 在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB为奇数，求△ABC周长L.
三角形中边的关系
三角形的定义：
三角形的分类(按边分)：
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.
三边关系：
三角形中两边之和大于第三边.
三角形中两边之差小于第三边.
教科书第69页练习
第1、2、3题
再见(共18张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
2 三角形中角的关系
学习目标
三角形中角的关系
准备好了吗？一起去探索吧！
1.探索并掌握三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和进行角度的计算.
3.能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
4.通过探究三角形角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，并发展学生的合情推理能力，养成独立思考的习惯.
情景引入
在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结.
可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”
大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”.
老大
老二
老三
你能帮着“大哥”解释一下吗？
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
三角形按照角的大小分类，怎样分？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.
斜
三
角
形
直角三角形
思考
直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，
直角相对的边叫做斜边，
直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”.
三角形按照角分类，怎样分？
思考
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
思考
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
折叠法
剪拼图、折叠、度量
2
3
1
3
1
2
三角形的内角和等于180°
∠1+∠2+∠3=180°
思考
剪拼法
剪拼图、折叠、度量
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
三角形的内角和等于180°
三个内角的和仍然是180°
归纳总结
同一个三角形中三个内角的关系
三角形的内角和等于180°.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
∠A+∠B+∠C=180°
任意三角形
思考
你现在能解释这个问题了吗？
在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结.
可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”
大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”.
老大
老二
老三
三角形的内角和等于180°.
如图，说出各图中∠1 的度数．
80°
50°
1
105°
30°
1
22°
1
(1)
(2)
(3)
做一做
∠1=50°
∠1=45°
∠1=68°
三角形的内角和等于180°.
典型例题
例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
B
A
C
D
解析：可以从以下三个方面考虑，
①所求的角在哪个三角形内；
②所在三角形内其它两个角的度数；
③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算.
典型例题
B
A
C
D
54°
18°
解：因为BD⊥AC，(已知)
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°)
∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知)
∠A=180°–∠ABD–∠ADB
=180°–54°–90°=36°.
90°
在△ABC中，
∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC)
=180°–36°–(54°+18°)=72°.
36°
例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
抢答
随堂练习
1. 在△ABC中：
(1)已知：∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C= ；
(2)已知：∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C= .
30°
75°
三角形的内角和等于180°.
D
抢答
随堂练习
2. 已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D.
(1)写出图中所有相等的角；
(2)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边.
解：(1) ∠ACB=∠ADC=∠CDB，
∠CAB=∠DCB，
B
A
C
∠ACD=∠B.
(2) Rt△ACB，
Rt△CDB，
Rt△ADC，
AB是斜边；
CB是斜边；
AC是斜边.
抢答
随堂练习
3. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B=70°，∠BAC
=46°.求∠CAD的度数.
B
A
C
D
解：在△ABC中，
∠B=70°，∠BAC=46°，
所有∠C=180°–70°–46°=64°.
在Rt△ADC，
∠C=64°，∠ADC=90°，
所有∠CAD=180°–64°–90°=26°.
三角形中角的关系
三角形按角的大小分类：
三角形三个内角的关系：
三角形的内角和等于180°.
任意三角形
教科书第74页习题13.1
第2、3题
再见(共23张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
3 三角形中几条重要的线段
学习目标
三角形中几条重要的线段
准备好了吗？一起去探索吧！
1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念.
2.能正确作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质.
3.经历画图、观察、操作、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性，提高学生的观察能力、归纳总结能力等.
4.通过教学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生乐于探究、敢于探究.
l
A
B
如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线
画
放
移
靠
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
思考
回顾
思考
A
B
C
D
三角形的高线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
符号语言：
∵在△ABC中， AD⊥BC，
∴∠ADB ∠ADC 90°.
你还能画出三角形其它边上的高吗？
操作
A
B
C
D
E
F
试着作出△ABC的另外两条高.
观察图形，你发现了什么？
1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
2.锐角三角形的三条高交于一点.
这个结论对所有的三角形都成立吗？
操作
讨论
几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点……
A
B
C
D
E
F
试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高.
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
钝角三角形
E
F
归纳
钝角三角形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
E
F
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
归纳
相同点：三角形三条高所在的直线交于一点．
不同点：
锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
思考
你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
A
B
C
三角形的中线：
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
D
E
F
符号语言：
∵AD是△ABC的BC边的中线，
∴BD DC BC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
● 三角形的中线的特征：
(2)三角形的中线是一条线段；
(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.
归纳
A
B
C
D
E
F
三角形的重心：
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
O
思考
C
A
B
准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
C
A
B
C
A
B
D
C'
1
2
三角形的角平分线：
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
符号语言：∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1 ∠2 ∠BAC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？
C
A
B
D
F
F
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
归纳
三角形的高
三角形的
中线
三角形的
角平分线
图形
特点
数量
3
3
3
位置
三条高所在的直线交于一点
在三角形内部、外部、三角形上
三条中线在三角形内部交于一点
三条角平分线在三角形内部交于一点
思考
观察下列语句，它们有什么特征？
①无限不循环小数称为无理数.
②不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的封闭图形叫做三角形.
③三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
你还能举出类似的语句吗？试着说一说.
明确所知对象的范围
揭示了对象的特征性质.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
典型例题
例1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC 60°，∠BCE 40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
∴∠DAC ∠BAD 30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE 40°，
∴∠B 50°.
∴∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 30° 50° 100°.
A
B
C
D
E
30°
40°
典型例题
例2 在△ABC中，CD是中线，已知BC AC 5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD AD.
又∵BC AC 5cm，
△DBC的周长 BC BD CD 25cm，
∴△ADC的周长 AD CD AC
BD CD BC 5
25 5
20(cm).
A
D
B
C
AC (BC 5) cm
抢答
随堂练习
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
B
A
B
C
D
分析：
锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
抢答
随堂练习
2. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
分析：
三角形一边上的中线，把原三角形分成底相等、高相同的两个三角形，两个三角形等底同高则面积相等.
B
A
B
C
D
抢答
随堂练习
3.如图，在△ABC中，∠BAC 60°，∠B 45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
∴∠BAD ∠DAC 30°.
∵ 在△ABD中，∠B ∠ADB ∠BAD 180°，
∴∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 45° 30° 105°.
三角形中几条重要的线段
三角形的几条重要线段：
高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
定义的概念：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
教科书第73页练习
第1、2、3题
再见13.1 三角形中的边角关系
第2课时 三角形中角的关系
一、教学目标
1.探索并掌握三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和进行角度的计算.
3.能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
4.通过探究三角形角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，并发展学生的合情推理能力，养成独立思考的习惯.
二、教学重难点
重点：会用三角形内角和进行角度的计算.
难点：能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【情景引入】 在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结. 可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！” 大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”. 在小学的时候就知道三角形的内角和是180°，有的学生可能会有一些想法，先鼓励学生都说一说，教师进行引导和纠正. 那三角形的三个内角有什么关系呢？今天我们继续探究！ 学生积极思考并回答. 创设情境，引导学生用学过的知识解决故事中提出的问题，既是对旧知的回顾，也为新知的学习做铺垫.
环节二 探究新知 【探究】 三角形按照角的大小分类，怎样分？ 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 对于直角三角形，直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”. 根据角的大小我们还可以把三角形分为两大类：直角三角形和斜三角形.其中斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形. 问题：在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？ 在小学，就已经研究过这个问题，我们当时是用折叠、拼剪或用量角器度量的方法进行探究的，那你还记得得到的结论是什么吗？ 预设：三角形的内角和等于180°. 追问：回忆一下，我们是如何进行折叠和拼剪的呢？ 折叠法(如下图)： → ∠1+∠2+∠3=180°。 拼剪法(如下图)： 三个内角的和仍然是180°. 对于测量法，让学生自己在下边量一量. 【归纳总结】 三角形的内角和等于180°. 符号语言：如下图，∠A+∠B+∠C=180°. 注意：对于任意三角形都成立. 【思考】 在前讲到的故事中提出的问题，你现在知道是什么原因了吗？ 三角形的内角和等于180°.(如果老二和老大度数一样都是90°，再加上老三的度数超过了180°，就不能围成一个三角形了.) 【做一做】 如图，说出各图中∠1 的度数． 解析：根据“三角形的内角和等于180°”计算即可. 答案：(1)∠1=50°；(2)∠1=45°；(3)∠1=68°. 学生思考并回答，在教师的指导下，运用已学的知识解决问题. 思考并积极回答. 学生自主完成并及时核实答案. 让学生尝试运用学过的知识探究新知，知道如何按照角的大小对三角形进行分类. 探究三角形的内角和定理，结合小学的探究方法，让学生进一步认识、了解“三角形的内角和等于180°”. 前后呼应，让学生体会到学有所用，提高他们的应用意识. 趁热打铁，巩固新学知识“三角形的内角和等于180°”.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 解析：可以从以下三个方面考虑， ①所求的角在哪个三角形内； ②所在三角形内其它两个角的度数； ③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算. 解：因为BD⊥AC，(已知) 所以∠ADB=∠CDB=90°. 在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°) ∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知) ∠A=180°–∠ABD–∠ADB =180°–54°–90°=36°. 在△ABC中， ∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC) =180°–36°–(54°+18°)=72°. 学生思考、计算，并回答. 通过典型例题的分析和讲解，进一步加深学生对三角形内角和定理的认识和理解，并能进行简单的应用.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 在△ABC中： (1)已知：∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C= ； (2)已知：∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C= . 解析：根据“三角形的内角和等于180°”计算即可. 答案：(1) 30°；(2) 75°. 2. 已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D. (1)写出图中所有相等的角； (2)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边. 解：(1) ∠ACB=∠ADC=∠CDB， ∠CAB=∠DCB，∠ACD=∠B. (2) Rt△ACB，AB是斜边； Rt△CDB，CB是斜边； Rt△ADC，AC是斜边. 3. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数. 解：在△ABC中， ∠B=70°，∠BAC=46°， 所有∠C=180°–70°–46°=64°. 在Rt△ADC， ∠C=64°，∠ADC=90°， 所有∠CAD=180°–64°–90°=26°. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第74页习题13.1第2、3题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.13.1 三角形中的边角关系
第3课时 三角形中几条重要的线段
一、教学目标
1.理解三角形的高线、中线与角平分线的概念，了解定义、三角形的重心的概念.
2.能正确作出一个三角形的高线、中线、角平分线，并掌握相关性质.
3.经历画图、观察、操作、描述等实践过程，加深对知识的理解，感受数学语言的准确性，提高学生的观察能力、归纳总结能力等.
4.通过教学活动，让学生感受数学的严谨性，图形中蕴含的规律性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生乐于探究、敢于探究.
二、教学重难点
重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.
难点：钝角三角形高线的画法.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线 (带领学生回顾过直线外一点作已知直线的垂线的画法，类比出三角形的高的画法及概念.) 根据画图步骤画图如下(具体画图步骤查看对应的教学课件)： 提出问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗 这节课我们一起探究吧！ 观看图片，根据老师的提问思考并回答问题. 通过回顾之前学习的知识，借助学生对问题的解决，唤醒记忆，有助于新知的学习，为讲解三角形的高做铺垫.
环节二 探究新知 1. 三角形的高 【思考】 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. 符号语言： ∵在△ABC中， ADBC， ∴∠ADB∠ADC90°. 【操作】 试着作出△ABC的另外两条高.观察图形，你发现了什么？ 引导学生说出所观察的结果，可能的答案如下： 1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 2.锐角三角形的三条高交于一点. 追问：这个结论对所有的三角形都成立吗？ 继续试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高. 引导学生观察，并讨论：几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点… …，最终形成结论. 【总结】 相同点：三角形三条高所在的直线交于一点． 不同点：锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；直角三角形三条高的交点在直角顶点；钝角三角形三条高的交点在三角形的外部． 2. 三角形的中线 【思考】 你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ (指导学生分组讨论交流，并让学生说出自己的做法.并引出三角形中线的定义) 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线． 符号语言： ∵AD是△ABC的BC边的中线， ∴BDDCBC. 【操作】 任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？ 【归纳总结】 三角形的中线的特征： (1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； (2)三角形的中线是一条线段； (3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 3. 三角形的角平分线 【思考】 准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？ 三角形的角平分线： 三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 符号语言： ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线， ∴∠1∠2∠BAC. 【操作】 任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？ 小结：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 【归纳总结】 教师引导学生回顾三角形的高、中线与角平分线的定义图形及相关特点，适当总结，最后教师PPT展示表格内容. 三角形的高线、中线、角平分线的特征： 【思考】 观察下列语句，它们有什么特征？ ①无限不循环小数称为无理数. ②不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连所组成的封闭图形叫做三角形. ③三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 分析：其中①明确所知对象的范围；②③揭示了对象的特征性质. 总结得到定义的概念： 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 你还能举出类似的语句吗？试着说一说. 观察、思考并回答 实际操作，观察、思考、集体交流并汇总回答. 学生思考并回答. 实际操作，观察、思考、集体交流并汇总回答. 熟悉三角形中线的特征，认识重心. 学生思考并回答. 实际操作，观察、思考、集体交流并汇总回答. 学生思考并回答. 学生先自主思考，然后集体讨论汇总. 通过作图，提高学生的基本作图能力，并引出三角形的高的概念.发展学生的语言表述能力及用数学语言表述问题的能力. 让学生实际操作，画出每一类三角形的所有高线，观察并说一说三角形的高的特征.培养学生的观察能力和总结概括能力. 通过解决面积问题，由三角形的高自然引入三角形中线的探究，培养学生动脑、动手能力，以及语言表达能力. 进一步加深对三角形的中线的理解.并理解三角形的重心的概念. 从学生熟悉的折纸入手，为三角形的角平分线的学习做铺垫.提高学生对不同知识点的识别能力，感受数学语言的准确性. 通过折出或用量角器、直尺画出角平分线，提高学生的作图能力和总结概括能力. 对本节课内容系统的梳理并适当总结，增加学生对知识的理解. 通过对例句的分析总结，得到“定义”的概念.让学生在举例的过程中进一步熟悉对“定义”的认识.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC60°，∠BCE40°，求∠ADB的度数． (具体分析讲解过程参看对应教学课件) 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC60°， ∴∠DAC∠BAD30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE40°， ∴∠B50°. ∴∠ADB180°∠B∠BAD 180°30°50°100°. 例2 在△ABC中，CD是中线，已知BCAC5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长. (具体分析讲解过程参看对应教学课件) 解：∵CD是△ABC的中线，∴BDAD. 又∵BCAC5cm， △DBC的周长BCBDCD25cm， ∴△ADC的周长ADCDAC BDCDBC5 25520(cm). 学生思考、计算，并回答. 通过例1，巩固三角形的高与三角形的角平分线，两者结合有助于提高学生分析问题、解决问题的能力. 通过例2进一步巩固与三角形的中线有关的计算问题.
环节四 巩固新知 教师给出练习，并随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答：B 2.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 答：B 3.如图，在△ABC中，∠BAC60°，∠B45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC60°， ∴∠BAD∠DAC30°. ∵在△ABD中,∠B∠ADB∠BAD180°， ∴∠ADB180°∠B∠BAD 180°45°30°105°. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第73页练习第1、2、3题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.