2.2基本不等式 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019 ）必修第一册（无答案）

数学学科学生讲义
学生姓名： 年级： 科目：数学 学科教师：
课题 2.2基本不等式
授课类型 基础知识 经典例题 课堂练习 考试真题
教学目标
教学重难点
授课日期及时段
教学内容
知识点1： 基本不等式的形式：若，则，当且仅当时取“＝”号． 均值不等式：若为正数，则，当且仅当时取等号． 变式：． 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是，当且仅当时等号成立． 知识点2：利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 知识点3：利用基本不等式求最值问题 （1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有最小值． （2）“和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有最大值． 此外，基本不等式求最值需注意的问题： （1）各数(或式)均为正； （2）和或积为定值； （3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． 若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值． 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． 知识点4：应用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）设变量时一般把要求最值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； （3）在定义域内，求出函数的最值； （4）回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 考点1、利用基本不等式求函数的最值 例1．函数的最小值为__________． 考点2、变形技巧：“1”的代换 例2．若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．9 考点3、不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 例3．已知是全不相等的正实数，证明：． 考点4、求参数的取值范围问题 例4．已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．若是正数，且，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 2．已知，且，那么下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的最小值为（ ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．9 B．12 C．16 D．20 5．当时，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知都是正数，且，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 7．函数的最小值为__________． 8．若正数满足，，则的最大值为_______． 9．已知，，． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 知识清单 1、基本不等式 2、重要不等式 重要知识点讲解 知识点一：利用基本不等式比较大小 例题1 已知，，则，，，中哪一个最大？ 知识点二：利用基本不等式证明 【技巧指导】 （1），取等号的条件：； （2），取等号的条件：即； （3），取等号的条件：； 例题1 求证：． 例题2 已知，且．求证：． 知识点三：求值域 例题1 求函数的值域． 知识点四：不等式应用题 例题1 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于时，其价格可享受9折优惠(即原价的)，则该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由． 例题2 如下图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
例题3 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为(单位：万元)，当年产量不足80万件时，；当年产量不小于80万件时，．通过市场分析，若每万件售价为50万元，则该厂当年生产的该产品能全部销售完． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数关系式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 知识点五：利用基本不等式求参数的取值范围 例题1 设，且恒成立，求的取值范围． 重要方法与技巧讲解（求最值） 技巧一：等价法 例题1若实数满足，则的最大值是_______； 变式1已知，且，令，则的最大值为______； 变式2若实数满足，则的最大值是____________； 变式3若实数，且，则有最_______（填大，小）值为_________； 例题2已知，则的最小值是__________； 变式4设为正实数，且，则的最大值为______； 变式5已知，且，则的最小值为_______； 变式6已知直线分别与轴、轴相交于两点，若动点在线段上，则的最大值为_______；
技巧二：定义法 【技巧指导】（1），取等号的条件：； （2），取等号的条件：即； （3），取等号的条件：； 例题1已知，则函数的最小值为________； 变式1 设定义在上的函数的最小值为_______________； 变式2下列结论正确的是（ ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，无最大值 变式3已知，若恒成立，则实数的取值范围是_________； 变式4若，则的最小值等于_________； 变式5已知函数在时取得最小值，则______； 变式6若函数在处取最小值，则________； 例题2 已知，求的最大值． 技巧三：乘积法 例题1若正数满足，则的最小值是______； 变式1已知向量，其中；若，则的最小值为_________； 变式2 若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为________； 技巧四：三角换元法 例题1已知，且满足，则的最大值为_____； 变式1 已知，且满足，则的最大值为_____； 随堂练习 1．下列不等式一定成立的是( ) A． B． C． D． 2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点，与函数的图象从左至右相交于点，．记线段和在轴上的投影长度分别为．当变化时，的最小值为( ) A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于，两点，则线段长的最小值是 ． 4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则( ) A．B．C. D． 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 A．基础过关 一、选择题 1．下列函数中，最小值为2的是( ) A． B． C． D． 2．若，则函数( ) A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 3．已知，则的最小值是( ) A． B． C． D． 4．已知，若不等式恒成立，则的最大值等于( ) A． B． C． D． 5．设是内一点，且的面积为1，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是( ) A．8 B．9 C．16 D．18 二、填空题 6．已知：都是正实数，且，，则与的大小关系是 ． 7．若正数满足，则的取值范围是 ． 8．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ． 三、解答题 9．已知，且，，求证：． 10．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？ B．能力提升 一、选择题 1．已知，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 2．若正实数满足，则( ) A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 3．已知，且，则取得最小值时，等于( ) A． B． C． D． 4．已知正数满足恒成立，则实数的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．已知，且，则的最小值是 ． 7．已知，且，则的最小值是 ． 8．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ． 9．一个矩形的周长为，面积为，给出：①；②；③；④．其中可作为取值的实数对的序号是 ． 10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是万元 ． 三、解答题 11．记，．若对任意的，恒有，求出的取值范围．