3.1椭圆 北京名校期末试题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆 北京名校期末试题汇编（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-30 04:27:52 | ||
图片预览
文档简介
3.1椭圆 期末试题汇编（北京名校）
一．选择题
1．（2021秋 顺义区期末）已知椭圆C：x2+＝1，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
2．（2021秋 怀柔区期末）已知椭圆，那么其离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋 延庆区期末）下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A． B．4x2+y2＝4
C．3x2+2y2＝6 D．4x2+y2＝1
4．（2022春 东城区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（ ）
A．﹣或﹣1 B．或﹣1 C．﹣ D．﹣1
5．（2022春 东城区校级期末）已知椭圆C与双曲线＝1焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点距离和为10（ ）
A．3 B．6 C． D．2
6．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C的方程为x2+4|y|＝4，则下列说法正确的是（ ）
①曲线C关于坐标原点对称；
②曲线C是一个椭圆；
③曲线C围成区域的面积小于椭圆E：＝1围成区域的面积．
A．① B．①② C．③ D．①③
7．（2021秋 昌平区期末）设椭圆的两个焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|＝82|+|BF2|的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
8．（2022春 海淀区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 平谷区期末）已知点P是椭圆方程+y2＝1上的动点，M，N是直线l：y＝x上的两个动点，且满足|MN|＝t，则（ ）
A．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个
B．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个
C．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个
D．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P有无数个
10．（2022春 海淀区校级期末）在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G﹣Monge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆C的离心率为e1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则＝（ ）
A． B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆＝1内有一点P（1，﹣1），F为椭圆的右焦点，则|MP|+|MF|的最大值为（ ）
A．3﹣ B．3+ C．4﹣ D．4+
12．（2021秋 海淀区校级期末）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，从F2引∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
二．填空题
13．（2021秋 延庆区期末）椭圆C上一点P到两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之和等于6，则C的标准方程为 ．
14．（2021秋 东城区期末）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点），远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 km．
15．（2021秋 西城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为 ．
16．（2022春 东城区校级期末）如图，椭圆E的左、右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k＝ ；椭圆E的离心率e＝ ．
三．解答题
17．（2021秋 西城区期末）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|
18．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
19．（2022春 西城区期末）如图，设点A，B在x轴上，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．
20．（2022春 石景山区期末）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1、B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．
（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．
3.1椭圆 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 顺义区期末）已知椭圆C：x2+＝1，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【解答】解：椭圆C：x2+＝1，所以椭圆的长轴长为：4．
故选：B．
2．（2021秋 怀柔区期末）已知椭圆，那么其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，可得a＝5，则c＝3，
所以椭圆的离心率为：e＝＝．
故选：B．
3．（2021秋 延庆区期末）下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A． B．4x2+y2＝4
C．3x2+2y2＝6 D．4x2+y2＝1
【解答】解：椭圆的焦点坐标是，可知A不正确；
2x2+y2＝6化为x2+＝1，所以B正确；
3x2+7y2＝6化为＝1，±1）；
5x2+y2＝3化为＝1，±），所以D不正确；
故选：B．
4．（2022春 东城区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（ ）
A．﹣或﹣1 B．或﹣1 C．﹣ D．﹣1
【解答】解：椭圆5x2﹣ky5＝5化为标准形式，得x2﹣＝1，
∵椭圆线5x2﹣ky2＝3的焦距为4，
∴当椭圆焦点在x轴上时，a2＝3，a＝1，
当椭圆焦点在y轴上时，a2＝﹣，b2＝1，
∴﹣﹣1＝25，解得k＝﹣1，
综上所述，k的值为﹣1．
故选：D．
5．（2022春 东城区校级期末）已知椭圆C与双曲线＝1焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点距离和为10（ ）
A．3 B．6 C． D．2
【解答】解：因为椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以2a＝10，
因为椭圆C与双曲线的焦点相同，c4＝3+13＝16，即c＝4，
∴b＝＝3．
故选：B．
6．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C的方程为x2+4|y|＝4，则下列说法正确的是（ ）
①曲线C关于坐标原点对称；
②曲线C是一个椭圆；
③曲线C围成区域的面积小于椭圆E：＝1围成区域的面积．
A．① B．①② C．③ D．①③
【解答】解：在曲线C的方程x2+4|y|＝7中，x换为﹣x，方程不变，
故曲线C关于坐标原点对称，所以①正确，
当y≥0时，曲线C的方程化为，
当y＜0时，曲线C的方程化为，
所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆．
当y≥0，3≤x≤2时，设，，
设，则0≤t≤1，，
所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方．
根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部（四个顶点在曲线C上），
所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．
故选：D．
7．（2021秋 昌平区期末）设椭圆的两个焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|＝82|+|BF2|的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
【解答】解：椭圆可得长轴长为：10，
椭圆的两个焦点为F5，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，
则|AF3|+|BF2|＝4a﹣|AB|＝20﹣2＝12．
故选：C．
8．（2022春 海淀区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2＝a2，与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，
所以，可得3b8＝3（a2﹣c3）＜a2，即，又0＜e＜5，
所以．
故选：B．
9．（2021秋 平谷区期末）已知点P是椭圆方程+y2＝1上的动点，M，N是直线l：y＝x上的两个动点，且满足|MN|＝t，则（ ）
A．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个
B．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个
C．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个
D．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P有无数个
【解答】解：设与直线y＝x平行的直线方程为：y＝x+m，根据对称性不妨取m＞0．
假设此两条直线的距离d＝＝t，可得m＝，
联立，化为：8x2+5tx+9t6﹣6＝0，
由Δ＝（2t）2﹣32（8t2﹣6）≥4，
解得：0＜t≤，
因此当0＜t≤时，可知：椭圆上一定存在两个或四个点P满足：使得△MNP为正三角形．
故只有②正确．
故选：B．
10．（2022春 海淀区校级期末）在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G﹣Monge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆C的离心率为e1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则＝（ ）
A． B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
【解答】解：令|PF1| |PF2|＝m，
∵|PF8|+|PF2|＝2a，则|PF6|2+|PF2|3+2|PF1| |PF3|＝4a2，
∴＝4a2﹣7m，
∵，
∴＝6，①
﹣＝，②，
①+②，得：5a2﹣4m＝2+4c7，解得＝2a8﹣c2﹣m，
∴|PM| |PN|＝（r﹣|PO|）（r+|PO|）＝r2﹣|PO|5＝a2+b2﹣（4a2﹣c2﹣m）＝m，
∴＝1．
故选：B．
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆＝1内有一点P（1，﹣1），F为椭圆的右焦点，则|MP|+|MF|的最大值为（ ）
A．3﹣ B．3+ C．4﹣ D．4+
【解答】解：如图，
由椭圆＝12＝4，a＝2．
设椭圆左焦点为F′，则|MF|＝6a﹣|MF′|＝4﹣|MF′|，
∴|MP|+|MF|＝4﹣|MF′|+|MP|＝5+（|MP|﹣|MF′|）．
由图可知，当M为PF′的延长线与椭圆的交点时．
∴|MP|+|MF|的值最大值为4+．
故选：D．
12．（2021秋 海淀区校级期末）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，从F2引∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
【解答】解：由题意，延长F1P，与F2Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F7PM的平分线，且PQ⊥MF2，
∴△F2MP中，|PF4|＝|PM|且Q为MF2的中点，
由三角形中位线定理，得|OQ|＝1|＝（|MP|+|PF1|），
∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，（2a是椭圆的长轴），
可得|MP|+|PF3|＝2a，
∴|OQ|＝（|MP|+|PF1|）＝a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y3＝a2，
∴点Q的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋 延庆区期末）椭圆C上一点P到两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之和等于6，则C的标准方程为 ．
【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程：，c＝3，
椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6，即2a＝8，
b2＝a2﹣c5＝5，
∴椭圆的标准方程：．
故答案为：．
14．（2021秋 东城区期末）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点），远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 15565 km．
【解答】解：这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为2a，
由题意可得a+c＝2384+6371，a﹣c＝439+6371，
故答案为：15565．
15．（2021秋 西城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为 9 ．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，|MF1|+|MF6|＝6，
所以|MF1| |MF3|≤（）2＝9，当且仅当|MF3|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF6| |MF2|的最大值为9．
故答案为：6．
16．（2022春 东城区校级期末）如图，椭圆E的左、右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k＝ ；椭圆E的离心率e＝ ．
【解答】解：连接PF2，由于l是圆F2的切线，所以PF4⊥PF2．
在Rt△PF1F8中，|PF2|＝|OF1|＝|OF3|＝c，
所以，所以．
，
根据椭圆的定义可知．
故答案为：；．
三．解答题（共4小题）
17．（2021秋 西城区期末）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．
由题意得
解得a＝2，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由 得5x2+4mx+4（m2﹣7）＝0，
由Δ＝（8m）4﹣4×5×3（m2﹣1）＞5，解得﹣，
设A（x3，y1），B（x2，y8），则，
设线段AB的中点为D，
则，，
“|PA|＝|PB|”等价于“PD⊥AB”，
所以，
解得，符合题意，
所以．
18．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的方程可得a2＝25，b2＝24，可得c7＝a2﹣b2＝25﹣24＝3，
所以a＝5，c＝1，
可得椭圆的离心率e＝＝；
（Ⅱ）由（1）可得椭圆的右焦点为（1，6），0），
即＝8，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（Ⅲ）由（2）可知抛物线的准线方程为x＝﹣3，
设A（m，n），而|AF|＝6，
所以m+1＝5，可得m＝52＝3×5，可得n＝±2，
所以A的坐标为（5，±2）．
19．（2022春 西城区期末）如图，设点A，B在x轴上，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设A（﹣c，0），0）．
则直线PA的方程为y＝7（x+c），直线PB的方程为．
由解得
所以．
故△PAB的面积．
所以，
解得c＝5．
所以点P的坐标为（﹣3，4）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣5，0），6）．
所以，．
设以A，B为焦点且过点P的椭圆方程为．
则，又b7＝a2﹣c2＝20，
所以椭圆C的方程为．
所以，即．
因为﹣1＜x0＜7，所以．
所以．
所以y0的取值范围是．
20．（2022春 石景山区期末）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1、B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．
（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．
【解答】解：（Ⅰ）因为△B1F1B3是边长为4的等边三角形，
所以．
所以a＝4．
所以，椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线PB1，PB2的斜率分别为k，k'6的方程为y＝kx+2．
由RB1⊥PB3，直线RB1的方程为x+k（y﹣2）＝8．
将y＝kx+2代入，得（5k2+1）x2+16kx＝0，
因为P是椭圆上异于点B1，B8的点，所以xP＝．
所以．
由RB2⊥PB2，所以直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．
由，得．
所以．
一．选择题
1．（2021秋 顺义区期末）已知椭圆C：x2+＝1，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
2．（2021秋 怀柔区期末）已知椭圆，那么其离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋 延庆区期末）下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A． B．4x2+y2＝4
C．3x2+2y2＝6 D．4x2+y2＝1
4．（2022春 东城区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（ ）
A．﹣或﹣1 B．或﹣1 C．﹣ D．﹣1
5．（2022春 东城区校级期末）已知椭圆C与双曲线＝1焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点距离和为10（ ）
A．3 B．6 C． D．2
6．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C的方程为x2+4|y|＝4，则下列说法正确的是（ ）
①曲线C关于坐标原点对称；
②曲线C是一个椭圆；
③曲线C围成区域的面积小于椭圆E：＝1围成区域的面积．
A．① B．①② C．③ D．①③
7．（2021秋 昌平区期末）设椭圆的两个焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|＝82|+|BF2|的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
8．（2022春 海淀区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 平谷区期末）已知点P是椭圆方程+y2＝1上的动点，M，N是直线l：y＝x上的两个动点，且满足|MN|＝t，则（ ）
A．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个
B．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个
C．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个
D．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P有无数个
10．（2022春 海淀区校级期末）在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G﹣Monge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆C的离心率为e1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则＝（ ）
A． B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆＝1内有一点P（1，﹣1），F为椭圆的右焦点，则|MP|+|MF|的最大值为（ ）
A．3﹣ B．3+ C．4﹣ D．4+
12．（2021秋 海淀区校级期末）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，从F2引∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
二．填空题
13．（2021秋 延庆区期末）椭圆C上一点P到两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之和等于6，则C的标准方程为 ．
14．（2021秋 东城区期末）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点），远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 km．
15．（2021秋 西城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为 ．
16．（2022春 东城区校级期末）如图，椭圆E的左、右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k＝ ；椭圆E的离心率e＝ ．
三．解答题
17．（2021秋 西城区期末）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|
18．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
19．（2022春 西城区期末）如图，设点A，B在x轴上，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．
20．（2022春 石景山区期末）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1、B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．
（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．
3.1椭圆 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 顺义区期末）已知椭圆C：x2+＝1，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【解答】解：椭圆C：x2+＝1，所以椭圆的长轴长为：4．
故选：B．
2．（2021秋 怀柔区期末）已知椭圆，那么其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，可得a＝5，则c＝3，
所以椭圆的离心率为：e＝＝．
故选：B．
3．（2021秋 延庆区期末）下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A． B．4x2+y2＝4
C．3x2+2y2＝6 D．4x2+y2＝1
【解答】解：椭圆的焦点坐标是，可知A不正确；
2x2+y2＝6化为x2+＝1，所以B正确；
3x2+7y2＝6化为＝1，±1）；
5x2+y2＝3化为＝1，±），所以D不正确；
故选：B．
4．（2022春 东城区校级期末）椭圆5x2﹣ky2＝5的焦距为4，则k的值为（ ）
A．﹣或﹣1 B．或﹣1 C．﹣ D．﹣1
【解答】解：椭圆5x2﹣ky5＝5化为标准形式，得x2﹣＝1，
∵椭圆线5x2﹣ky2＝3的焦距为4，
∴当椭圆焦点在x轴上时，a2＝3，a＝1，
当椭圆焦点在y轴上时，a2＝﹣，b2＝1，
∴﹣﹣1＝25，解得k＝﹣1，
综上所述，k的值为﹣1．
故选：D．
5．（2022春 东城区校级期末）已知椭圆C与双曲线＝1焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点距离和为10（ ）
A．3 B．6 C． D．2
【解答】解：因为椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以2a＝10，
因为椭圆C与双曲线的焦点相同，c4＝3+13＝16，即c＝4，
∴b＝＝3．
故选：B．
6．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C的方程为x2+4|y|＝4，则下列说法正确的是（ ）
①曲线C关于坐标原点对称；
②曲线C是一个椭圆；
③曲线C围成区域的面积小于椭圆E：＝1围成区域的面积．
A．① B．①② C．③ D．①③
【解答】解：在曲线C的方程x2+4|y|＝7中，x换为﹣x，方程不变，
故曲线C关于坐标原点对称，所以①正确，
当y≥0时，曲线C的方程化为，
当y＜0时，曲线C的方程化为，
所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆．
当y≥0，3≤x≤2时，设，，
设，则0≤t≤1，，
所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方．
根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部（四个顶点在曲线C上），
所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．
故选：D．
7．（2021秋 昌平区期末）设椭圆的两个焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|＝82|+|BF2|的值为（ ）
A．2 B．10 C．12 D．14
【解答】解：椭圆可得长轴长为：10，
椭圆的两个焦点为F5，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，
则|AF3|+|BF2|＝4a﹣|AB|＝20﹣2＝12．
故选：C．
8．（2022春 海淀区校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2＝a2，与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，
所以，可得3b8＝3（a2﹣c3）＜a2，即，又0＜e＜5，
所以．
故选：B．
9．（2021秋 平谷区期末）已知点P是椭圆方程+y2＝1上的动点，M，N是直线l：y＝x上的两个动点，且满足|MN|＝t，则（ ）
A．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个
B．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个
C．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个
D．存在实数t使△MNP为等腰直角三角形的点P有无数个
【解答】解：设与直线y＝x平行的直线方程为：y＝x+m，根据对称性不妨取m＞0．
假设此两条直线的距离d＝＝t，可得m＝，
联立，化为：8x2+5tx+9t6﹣6＝0，
由Δ＝（2t）2﹣32（8t2﹣6）≥4，
解得：0＜t≤，
因此当0＜t≤时，可知：椭圆上一定存在两个或四个点P满足：使得△MNP为正三角形．
故只有②正确．
故选：B．
10．（2022春 海淀区校级期末）在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2＝a2+b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G﹣Monge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆C的离心率为e1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则＝（ ）
A． B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
【解答】解：令|PF1| |PF2|＝m，
∵|PF8|+|PF2|＝2a，则|PF6|2+|PF2|3+2|PF1| |PF3|＝4a2，
∴＝4a2﹣7m，
∵，
∴＝6，①
﹣＝，②，
①+②，得：5a2﹣4m＝2+4c7，解得＝2a8﹣c2﹣m，
∴|PM| |PN|＝（r﹣|PO|）（r+|PO|）＝r2﹣|PO|5＝a2+b2﹣（4a2﹣c2﹣m）＝m，
∴＝1．
故选：B．
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆＝1内有一点P（1，﹣1），F为椭圆的右焦点，则|MP|+|MF|的最大值为（ ）
A．3﹣ B．3+ C．4﹣ D．4+
【解答】解：如图，
由椭圆＝12＝4，a＝2．
设椭圆左焦点为F′，则|MF|＝6a﹣|MF′|＝4﹣|MF′|，
∴|MP|+|MF|＝4﹣|MF′|+|MP|＝5+（|MP|﹣|MF′|）．
由图可知，当M为PF′的延长线与椭圆的交点时．
∴|MP|+|MF|的值最大值为4+．
故选：D．
12．（2021秋 海淀区校级期末）已知F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，从F2引∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
【解答】解：由题意，延长F1P，与F2Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F7PM的平分线，且PQ⊥MF2，
∴△F2MP中，|PF4|＝|PM|且Q为MF2的中点，
由三角形中位线定理，得|OQ|＝1|＝（|MP|+|PF1|），
∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，（2a是椭圆的长轴），
可得|MP|+|PF3|＝2a，
∴|OQ|＝（|MP|+|PF1|）＝a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y3＝a2，
∴点Q的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋 延庆区期末）椭圆C上一点P到两个焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之和等于6，则C的标准方程为 ．
【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程：，c＝3，
椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6，即2a＝8，
b2＝a2﹣c5＝5，
∴椭圆的标准方程：．
故答案为：．
14．（2021秋 东城区期末）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点），远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 15565 km．
【解答】解：这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为2a，
由题意可得a+c＝2384+6371，a﹣c＝439+6371，
故答案为：15565．
15．（2021秋 西城区校级期末）已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上1| |MF2|的最大值为 9 ．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，|MF1|+|MF6|＝6，
所以|MF1| |MF3|≤（）2＝9，当且仅当|MF3|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF6| |MF2|的最大值为9．
故答案为：6．
16．（2022春 东城区校级期末）如图，椭圆E的左、右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k＝ ；椭圆E的离心率e＝ ．
【解答】解：连接PF2，由于l是圆F2的切线，所以PF4⊥PF2．
在Rt△PF1F8中，|PF2|＝|OF1|＝|OF3|＝c，
所以，所以．
，
根据椭圆的定义可知．
故答案为：；．
三．解答题（共4小题）
17．（2021秋 西城区期末）已知椭圆的一个顶点为P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．
由题意得
解得a＝2，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由 得5x2+4mx+4（m2﹣7）＝0，
由Δ＝（8m）4﹣4×5×3（m2﹣1）＞5，解得﹣，
设A（x3，y1），B（x2，y8），则，
设线段AB的中点为D，
则，，
“|PA|＝|PB|”等价于“PD⊥AB”，
所以，
解得，符合题意，
所以．
18．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的方程可得a2＝25，b2＝24，可得c7＝a2﹣b2＝25﹣24＝3，
所以a＝5，c＝1，
可得椭圆的离心率e＝＝；
（Ⅱ）由（1）可得椭圆的右焦点为（1，6），0），
即＝8，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（Ⅲ）由（2）可知抛物线的准线方程为x＝﹣3，
设A（m，n），而|AF|＝6，
所以m+1＝5，可得m＝52＝3×5，可得n＝±2，
所以A的坐标为（5，±2）．
19．（2022春 西城区期末）如图，设点A，B在x轴上，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设A（﹣c，0），0）．
则直线PA的方程为y＝7（x+c），直线PB的方程为．
由解得
所以．
故△PAB的面积．
所以，
解得c＝5．
所以点P的坐标为（﹣3，4）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣5，0），6）．
所以，．
设以A，B为焦点且过点P的椭圆方程为．
则，又b7＝a2﹣c2＝20，
所以椭圆C的方程为．
所以，即．
因为﹣1＜x0＜7，所以．
所以．
所以y0的取值范围是．
20．（2022春 石景山区期末）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），B1、B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1、B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．
（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．
【解答】解：（Ⅰ）因为△B1F1B3是边长为4的等边三角形，
所以．
所以a＝4．
所以，椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线PB1，PB2的斜率分别为k，k'6的方程为y＝kx+2．
由RB1⊥PB3，直线RB1的方程为x+k（y﹣2）＝8．
将y＝kx+2代入，得（5k2+1）x2+16kx＝0，
因为P是椭圆上异于点B1，B8的点，所以xP＝．
所以．
由RB2⊥PB2，所以直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．
由，得．
所以．