3.1.1函数的概念 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（无答案）

数学学科学生讲义
学生姓名： 年级： 科目：数学 学科教师：
课题 3.1.1 函数的概念
授课类型 基础知识 经典例题 课堂练习 考试真题
教学目标 掌握函数的概念，定义域的求法
教学重难点 抽象函数定义域
授课日期及时段
教学内容
知识清单 1．函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种① 对应关系，使对于集合中的② 一个数，在集合中都有③ 的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作④ ，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的⑤ ；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的⑥ ； 2．区间的概念 （1）一般区间的表示(为实数，且) 定义名称符号数轴表示 闭区间 ⑦ 开区间 ⑧ 半开半闭区间 ⑨ 半开半闭区间 ⑩
（2）特殊区间的表示 定义R符号
知识点一：函数的概念 【解题指导】 1．都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在； 2．对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系确定时，值域也就确定了； 3．对于对应关系，它是函数的本质特征； 例题1 下列各题的对应关系是否给出了实数集上的一个函数？为什么？（★☆☆☆☆） (1) 把对应到； (2) 把对应到； (3) 把对应到； (4) 把对应到. 例题2 下列图形中，不能确定是的函数的是（ ）（★☆☆☆☆） 变式1 下列图形（横轴表示轴，纵轴表示轴）中，表示是的函数的是（ ）（★☆☆☆☆） 知识点二：区间 【解题指导】（1）区间要按照数轴方向的顺序（从小到大）； （2）对于某些点，只能用集合表示，然后与区间求并集； （3）定义域、值域、单调区间都要用区间表示；取值范围、解集要用集合表示； 1．满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为_____________； 2．满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为_____________； 3．满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_____________和_____________； 4．实数用区间可表示为______________； 5．满足的集合用区间分别表示为__________，_________，_________和____________； 例题1 把下列数集用区间表示：（★☆☆☆☆） ； (2)； (3) ； 例题2 将下列集合用区间表示：（★★☆☆☆） （1）； （2）； 变式1 将下列集合用区间表示：（★★☆☆☆） （1）； （2）； 知识点三：定义域 A.求一般函数的定义域 【解法指导】所谓求定义域就是求自变量的取值范围，并用区间形式表示。主要根据以下几个方面求解： （1）分母不等于零； （2）偶次根式被开方数要大于或等于零； （3）零次幂中，底数不能等于零； 【解题过程】根据上述四个方面列不等式，并联立成不等式组求解，最终的结果是所有不等式解的交集。 例题1 求下列函数的定义域（★★☆☆☆） （1）； （2）； （3）； 变式1 求下列函数的定义域（★★☆☆☆） （1）函数的定义域为____________________； （2）的定义域为____________； （3）的定义域为____________； （4）的定义域为____________； （5）； （6）； 例题2 把长度为的细铁丝围成一个长方形，设这个长方形的一个边长是，长方形的面积是，把表示为的函数，并求出这个函数的定义域；（★★★☆☆） B.求抽象函数的定义域 【解题指导】 对于抽象函数（没有解析式的函数）定义域的求解过程需要注意： （1）括号整体范围相同；（2）定义域是值括号中的范围； 例题1 （1）已知的定义域为，求的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域；（★★☆☆☆） 变式1 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域；（★★☆☆☆） 变式2 若函数的定义域是，则的定义域是________；函数的定义域是________；（★★★☆☆） 知识点四：代入求值 A：一般函数代入求值 例题1已知，且，；（1）求的值；（2）求的值；（3）求；（★★☆☆☆） 变式1 已知函数，那么_______；（★★★☆☆） 变式2 已知，则_______；_____；（★★☆☆☆） B：抽象函数代入求值 例题1 已知函数对一切实数都有；（1）求的值；（2）若，试用表示；（★★★★☆） C：递归函数代入求值 例题1 已知函数满足：；（1）求；（2）探索有何规律？能否根据规律写出的一个解析式？（可用公式；（★★★★☆） 知识点四：值域 【解题指导】 思考 1．（★★☆☆☆） 2．（★★★☆☆） A、二次函数的值域 例题1 求下列函数的值域（★★☆☆☆） （1）； （2）； （3）； （4）； 变式1 已知函数的定义域和值域都是，求实数的值； B、无理函数的值域 例题1 求下列函数的值域（★★★☆☆） （1）； (2) ； 例题2 求下列函数的值域（★★★☆☆） ； （2）； 变式1 函数的值域为________；（★★★☆☆） C、分式函数的值域 例题1 求下列函数的值域（★★★☆☆） （1）；（2）；（3）； 变式1 求下列函数的值域（★★★☆☆） （1） 知识点五：相等函数的判断 【解题指导】 1．判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同，只有定义域，对应关系和值域都相同的两个函数才是同一个函数。 2．应注意的问题：（1）与用哪个字母表示无关；（2）在化简解析式时，必须是等价变形； 例题1 判断下列各组函数是否是相等函数；（★★☆☆☆） (1) ，； (2) ，. 变式1 下列各题中两个函数是否表示同一函数？（★★☆☆☆） （1）； （2）； （3）； （4）； 变式2 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）（★★☆☆☆） A．， B．， C．， D．， A.基础过关 一、选择题 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）（★★☆☆☆） A．与 B．与 C．与 D．与 2．设，，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）（★★☆☆☆） 3．函数的定义域是（ ）（★★☆☆☆） A. B. C. D. 4．函数的值域是（ ）（★★☆☆☆） A. B. C. D. 5．若函数的定义域是，则的定义域是（ ）（★★★☆☆） A. B. C. D. 二、填空题 6．下表表示是的函数，则函数的值域是 ；（★★☆☆☆）
函数的定义域为，值域为，则集合与的关系是 ； 8.函数的定义域是 ；（★★★☆☆） 9.函数的值域为 ；（★★★☆☆） 三、解答题 10.求函数的定义域，并用区间表示；（★★★☆☆） 11.若函数的定义域为，求实数的取值范围；（★★★★☆） 12.已知函数； (1)求函数的定义域； (2)求，的值；（★★★☆☆） 13.求下列函数的值域；（★★★☆☆） (1) ；(2) ； B.能力提升 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）（★★★☆☆） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ） A. B. C. D. 3.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）（★★★☆☆） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）（★★★☆☆） A. B. C. D. 5. 下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图像是 （ ） 6. 已知集合是函数的定义域，集合是其值域，则的子集的个数为（ ）（★★★☆☆） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为（ ）（★★★☆☆） A. B. C. D. 8. 函数的定义域是 ；（★★★☆☆） 9. 函数的定义域是，则函数的定义域为 ；（★★★☆☆） 10. 函数的定义域是 ；（★★☆☆☆） 11. 求下列函数的定义域：（★★★☆☆） (1) ； (2) ；