3.2双曲线 北京名校期末试题汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线 北京名校期末试题汇编（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 343.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-30 04:31:31 | ||
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文档简介
双曲线 期末试题汇编（北京名校）
一．选择题
1．（2021秋 海淀区校级期末）设P是双曲线上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．（2021秋 通州区期末）已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋 通州区期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋 海淀区校级期末）双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2
5．（2021秋 延庆区期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，点P是C上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为12的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022春 海淀区校级期末）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2022春 海淀区校级期末）已知双曲线的虚轴长为2，离心率为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021秋 顺义区期末）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2021秋 西城区期末）已知椭圆，双曲线，其中a＞b＞0．若C1与C2的焦距之比为1：3，则C2的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021秋 顺义区期末）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，“单曲直线”是（ ）
①y＝x+2；
②x＝4；
③；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
12．（2021秋 丰台区期末）已知椭圆M：（a＞b＞0），双曲线N：（m＞0，n＞0）．设椭圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|＝2|PF1|，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题
13．（2021秋 怀柔区期末）双曲线的实轴长为 ．
14．（2021秋 朝阳区期末）已知双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，B两点．若，则双曲线的离心率为 ．
15．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C：＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则符合条件的m的一个整数值为 ．
16．（2021秋 密云区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝2x﹣10过双曲线C的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为 ；若点，则|MF1|﹣|MF2|的值为 ．
17．（2021秋 平谷区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x ；若a＝2，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为 ．
18．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则的值为 ．
三．解答题
19．（2021秋 通州区期末）已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求a的值．
20．（2021秋 延庆区期末）圆锥曲线C的方程是．
（Ⅰ）若C表示焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若C表示焦点在x轴上且焦距为8的双曲线，求m的值．
双曲线 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 海淀区校级期末）设P是双曲线上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【解答】解：由双曲线，可得a＝4，
根据双曲线的定义可得：||PF3|﹣|PF2||＝2a＝5，
故选：C．
2．（2021秋 通州区期末）已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线，a＝，则c＝3，
可得e＝＝＝．
故选：D．
3．（2021秋 通州区期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．
故选：A．
4．（2021秋 海淀区校级期末）双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2
【解答】解：因为双曲线与椭圆，
所以a+2＝4﹣a5，且2＞a＞0，
解得a＝5，
故选：A．
5．（2021秋 延庆区期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，点P是C上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|PF1|＝3|PF4|，而|PF1|﹣|PF2|＝4a，
所以|PF1|＝3a，|PF6|＝a，
因为|PF1|+|PF2|≥|F4F2|，即3a+a≥3c≤2，
可得1+≤4≤，
渐近线与x轴的夹角的取值范围（0，]，
故选：B．
6．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为12的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设椭圆的离心率为e1，则e1＝，
双曲线的离心率为e2，则，
∵椭圆和双曲线，
∴，解得m＝，
∴双曲线C2的两条渐近线分别为y＝或y＝，
∴双曲线C3的两条渐近线的倾斜角分别为或．
故选：C．
7．（2022春 海淀区校级期末）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：椭圆C1：的离心率为：e1＝＝，
椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，
可得双曲线的离心率为：e2＝8，可得，可得＝，
则双曲线C2的两条渐近线的斜率为：±，所以双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为：；．
故选：D．
8．（2022春 海淀区校级期末）已知双曲线的虚轴长为2，离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知：．由于c2＝a2+b5，解得：a＝2．
所求双曲线方程为：．
故选：C．
9．（2021秋 顺义区期末）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，
可得，∴e2＝6+＝，
∴e＝，
故选：D．
10．（2021秋 西城区期末）已知椭圆，双曲线，其中a＞b＞0．若C1与C2的焦距之比为1：3，则C2的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，双曲线．C1与C2的焦距之比为4：3，
可得，可得，
所以双曲线的渐近线方程：2xy＝6．
故选：A．
11．（2021秋 顺义区期末）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，“单曲直线”是（ ）
①y＝x+2；
②x＝4；
③；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解答】解：因为|PM|﹣|PN|＝8，所以点P在以M，
且2a＝7，c＝5，c＝5，
所以b3＝c2﹣a2＝4，
所以其标准方程为：．
对于①，联立y＝x+2和2+64x+208＝0，
所以Δ＝647﹣4×7×208＜6，所以①不是单曲直线；
对于②，联立x＝4和，所以②是单曲直线；
对于③，因为是，所以③不是单曲直线；
对于④，联立和2+16x﹣160＝0，
所以Δ＝164﹣4×5×（﹣160）＞7，所以④是单曲直线．
故选：D．
12．（2021秋 丰台区期末）已知椭圆M：（a＞b＞0），双曲线N：（m＞0，n＞0）．设椭圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|＝2|PF1|，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意如图所示：因为PF1⊥PF2且|F6F2|＝2|PF4|，
所以可得|PF1|＝c，|PF2|＝c，∠PF1O＝60°，|PF1|＝|OF6|，
所以△POF1为等边三角形，
所以∠POF1＝60°，即tan∠POF6＝，
由椭圆的定义可得2a＝|PF3|+|PF2|＝（1+）c1＝＝＝﹣1；
由双曲线的渐近线为y＝±x，所以＝，
可得双曲线的离心率e2＝＝＝2，
所以可得＝，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．（2021秋 怀柔区期末）双曲线的实轴长为 4 ．
【解答】解：双曲线，可得a＝2．
故答案为：3．
14．（2021秋 朝阳区期末）已知双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，B两点．若，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，
由，解得A（c，），
由，解得B（c，），
∵F（c，0），，
∴＝（4，＝（0，），
∴＝，
∴c＝2b，
∴a＝＝c，
∴e＝＝，
故答案为：．
15．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C：＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则符合条件的m的一个整数值为 ﹣2．（答案不唯一） ．
【解答】解：根据题意，曲线C：，
则有，解可得：m＜﹣6；
符合条件的m的一个整数值不妨为﹣2，
故答案为：﹣2．（答案不唯一）
16．（2021秋 密云区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝2x﹣10过双曲线C的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为 ；若点，则|MF1|﹣|MF2|的值为 ．
【解答】解：在直线l的方程中，令y＝0可得x＝5，
由于直线l：y＝2x﹣10与双曲线C的一条渐近线平行，则，解得，
因此，双曲线C的方程为﹣；
因为﹣＝4，故|MF1|﹣|MF2|＝﹣4a＝﹣2．
故答案为：﹣＝3．
17．（2021秋 平谷区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x ；若a＝2，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：y＝±x，
所以由题意可得：，
所以离心率e＝＝＝＝，
a＝4，则b＝3，0），
双曲线的右焦点到渐近线的距离为：＝3．
故答案为：；3．
18．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则的值为 2 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝1，所以c4＝a2+b2＝2+1＝5，
可得a＝7，c＝1|﹣|PF7||＝2a＝4，|F8F2|＝2c＝3，
因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2+|PF3|2＝|F1F5|2，
可得（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF2| |PF2|＝|F1F4|2，
所以16+2|PF7| |PF2|＝20，
可得|PF1| |PF3|＝2，
所以＝|PF1| |PF2|＝5，
故答案为：2．
三．解答题（共2小题）
19．（2021秋 通州区期末）已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求a的值．
【解答】解：（I）当a＝1时，由，消去y得2x2﹣2x﹣2＝0．
设A（x2，y1），B（x2，y3）．
x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，
所心＝＝；
（II）联立 ，消去y得2）x2﹣8ax﹣2＝0．
∵直线y＝ax+8与双曲线3x2﹣y5＝1相交于A、B两点，
∴3﹣a7≠0，即a≠±．
由Δ＝（﹣5a）2+8（8﹣a2）＝24﹣4a4＞0，得﹣．
∴﹣＜a＜．
设A（x1，y1），B（x7，y2）．
则x1+x8＝，x1x2＝﹣．
所以y8y2＝（ax1+3）（ax2+1）＝a5x1x2+a（x8+x2）+1
＝a8 （﹣）+a ．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以x1x2+y5y2＝0．
即（﹣）+4＝0．
满足﹣＜a＜，
所以a的值是±1．
20．（2021秋 延庆区期末）圆锥曲线C的方程是．
（Ⅰ）若C表示焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若C表示焦点在x轴上且焦距为8的双曲线，求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的方程是表示焦点在x轴上的椭圆可得3﹣m＞m﹣5＞0，
解得：7＜m＜7，
所以m的取值范围为（5，2）；
（Ⅱ）由曲线C的方程是表示焦点在x轴上的双曲线7＝9﹣m，b2＝2﹣m＞0，
所以c2＝a8+b2＝9﹣m+7﹣m＝14﹣2m，即c＝，
再由焦距为7，可得8＝2，
所以m的值﹣1．
一．选择题
1．（2021秋 海淀区校级期末）设P是双曲线上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．（2021秋 通州区期末）已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋 通州区期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋 海淀区校级期末）双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2
5．（2021秋 延庆区期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，点P是C上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为12的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022春 海淀区校级期末）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2022春 海淀区校级期末）已知双曲线的虚轴长为2，离心率为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021秋 顺义区期末）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2021秋 西城区期末）已知椭圆，双曲线，其中a＞b＞0．若C1与C2的焦距之比为1：3，则C2的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021秋 顺义区期末）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，“单曲直线”是（ ）
①y＝x+2；
②x＝4；
③；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
12．（2021秋 丰台区期末）已知椭圆M：（a＞b＞0），双曲线N：（m＞0，n＞0）．设椭圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|＝2|PF1|，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二．填空题
13．（2021秋 怀柔区期末）双曲线的实轴长为 ．
14．（2021秋 朝阳区期末）已知双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，B两点．若，则双曲线的离心率为 ．
15．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C：＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则符合条件的m的一个整数值为 ．
16．（2021秋 密云区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝2x﹣10过双曲线C的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为 ；若点，则|MF1|﹣|MF2|的值为 ．
17．（2021秋 平谷区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x ；若a＝2，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为 ．
18．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则的值为 ．
三．解答题
19．（2021秋 通州区期末）已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求a的值．
20．（2021秋 延庆区期末）圆锥曲线C的方程是．
（Ⅰ）若C表示焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若C表示焦点在x轴上且焦距为8的双曲线，求m的值．
双曲线 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 海淀区校级期末）设P是双曲线上的点，若F1，F2是双曲线的两个焦点，则||PF1|﹣|PF2||等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【解答】解：由双曲线，可得a＝4，
根据双曲线的定义可得：||PF3|﹣|PF2||＝2a＝5，
故选：C．
2．（2021秋 通州区期末）已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线，a＝，则c＝3，
可得e＝＝＝．
故选：D．
3．（2021秋 通州区期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．
故选：A．
4．（2021秋 海淀区校级期末）双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2
【解答】解：因为双曲线与椭圆，
所以a+2＝4﹣a5，且2＞a＞0，
解得a＝5，
故选：A．
5．（2021秋 延庆区期末）若双曲线的两个焦点为F1，F2，点P是C上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|PF1|＝3|PF4|，而|PF1|﹣|PF2|＝4a，
所以|PF1|＝3a，|PF6|＝a，
因为|PF1|+|PF2|≥|F4F2|，即3a+a≥3c≤2，
可得1+≤4≤，
渐近线与x轴的夹角的取值范围（0，]，
故选：B．
6．（2021秋 海淀区校级期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为12的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设椭圆的离心率为e1，则e1＝，
双曲线的离心率为e2，则，
∵椭圆和双曲线，
∴，解得m＝，
∴双曲线C2的两条渐近线分别为y＝或y＝，
∴双曲线C3的两条渐近线的倾斜角分别为或．
故选：C．
7．（2022春 海淀区校级期末）椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：椭圆C1：的离心率为：e1＝＝，
椭圆C1：与双曲线C2：的离心率之积为1，
可得双曲线的离心率为：e2＝8，可得，可得＝，
则双曲线C2的两条渐近线的斜率为：±，所以双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为：；．
故选：D．
8．（2022春 海淀区校级期末）已知双曲线的虚轴长为2，离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知：．由于c2＝a2+b5，解得：a＝2．
所求双曲线方程为：．
故选：C．
9．（2021秋 顺义区期末）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，
可得，∴e2＝6+＝，
∴e＝，
故选：D．
10．（2021秋 西城区期末）已知椭圆，双曲线，其中a＞b＞0．若C1与C2的焦距之比为1：3，则C2的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，双曲线．C1与C2的焦距之比为4：3，
可得，可得，
所以双曲线的渐近线方程：2xy＝6．
故选：A．
11．（2021秋 顺义区期末）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，“单曲直线”是（ ）
①y＝x+2；
②x＝4；
③；
④．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解答】解：因为|PM|﹣|PN|＝8，所以点P在以M，
且2a＝7，c＝5，c＝5，
所以b3＝c2﹣a2＝4，
所以其标准方程为：．
对于①，联立y＝x+2和2+64x+208＝0，
所以Δ＝647﹣4×7×208＜6，所以①不是单曲直线；
对于②，联立x＝4和，所以②是单曲直线；
对于③，因为是，所以③不是单曲直线；
对于④，联立和2+16x﹣160＝0，
所以Δ＝164﹣4×5×（﹣160）＞7，所以④是单曲直线．
故选：D．
12．（2021秋 丰台区期末）已知椭圆M：（a＞b＞0），双曲线N：（m＞0，n＞0）．设椭圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|＝2|PF1|，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意如图所示：因为PF1⊥PF2且|F6F2|＝2|PF4|，
所以可得|PF1|＝c，|PF2|＝c，∠PF1O＝60°，|PF1|＝|OF6|，
所以△POF1为等边三角形，
所以∠POF1＝60°，即tan∠POF6＝，
由椭圆的定义可得2a＝|PF3|+|PF2|＝（1+）c1＝＝＝﹣1；
由双曲线的渐近线为y＝±x，所以＝，
可得双曲线的离心率e2＝＝＝2，
所以可得＝，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．（2021秋 怀柔区期末）双曲线的实轴长为 4 ．
【解答】解：双曲线，可得a＝2．
故答案为：3．
14．（2021秋 朝阳区期末）已知双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，B两点．若，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，
由，解得A（c，），
由，解得B（c，），
∵F（c，0），，
∴＝（4，＝（0，），
∴＝，
∴c＝2b，
∴a＝＝c，
∴e＝＝，
故答案为：．
15．（2021秋 顺义区期末）已知曲线C：＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则符合条件的m的一个整数值为 ﹣2．（答案不唯一） ．
【解答】解：根据题意，曲线C：，
则有，解可得：m＜﹣6；
符合条件的m的一个整数值不妨为﹣2，
故答案为：﹣2．（答案不唯一）
16．（2021秋 密云区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l：y＝2x﹣10过双曲线C的一个焦点，并且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的方程为 ；若点，则|MF1|﹣|MF2|的值为 ．
【解答】解：在直线l的方程中，令y＝0可得x＝5，
由于直线l：y＝2x﹣10与双曲线C的一条渐近线平行，则，解得，
因此，双曲线C的方程为﹣；
因为﹣＝4，故|MF1|﹣|MF2|＝﹣4a＝﹣2．
故答案为：﹣＝3．
17．（2021秋 平谷区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x ；若a＝2，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：y＝±x，
所以由题意可得：，
所以离心率e＝＝＝＝，
a＝4，则b＝3，0），
双曲线的右焦点到渐近线的距离为：＝3．
故答案为：；3．
18．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝90°，则的值为 2 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝1，所以c4＝a2+b2＝2+1＝5，
可得a＝7，c＝1|﹣|PF7||＝2a＝4，|F8F2|＝2c＝3，
因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2+|PF3|2＝|F1F5|2，
可得（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF2| |PF2|＝|F1F4|2，
所以16+2|PF7| |PF2|＝20，
可得|PF1| |PF3|＝2，
所以＝|PF1| |PF2|＝5，
故答案为：2．
三．解答题（共2小题）
19．（2021秋 通州区期末）已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求a的值．
【解答】解：（I）当a＝1时，由，消去y得2x2﹣2x﹣2＝0．
设A（x2，y1），B（x2，y3）．
x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，
所心＝＝；
（II）联立 ，消去y得2）x2﹣8ax﹣2＝0．
∵直线y＝ax+8与双曲线3x2﹣y5＝1相交于A、B两点，
∴3﹣a7≠0，即a≠±．
由Δ＝（﹣5a）2+8（8﹣a2）＝24﹣4a4＞0，得﹣．
∴﹣＜a＜．
设A（x1，y1），B（x7，y2）．
则x1+x8＝，x1x2＝﹣．
所以y8y2＝（ax1+3）（ax2+1）＝a5x1x2+a（x8+x2）+1
＝a8 （﹣）+a ．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以x1x2+y5y2＝0．
即（﹣）+4＝0．
满足﹣＜a＜，
所以a的值是±1．
20．（2021秋 延庆区期末）圆锥曲线C的方程是．
（Ⅰ）若C表示焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若C表示焦点在x轴上且焦距为8的双曲线，求m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的方程是表示焦点在x轴上的椭圆可得3﹣m＞m﹣5＞0，
解得：7＜m＜7，
所以m的取值范围为（5，2）；
（Ⅱ）由曲线C的方程是表示焦点在x轴上的双曲线7＝9﹣m，b2＝2﹣m＞0，
所以c2＝a8+b2＝9﹣m+7﹣m＝14﹣2m，即c＝，
再由焦距为7，可得8＝2，
所以m的值﹣1．