3.3 抛物线 试题汇编（含解析）

3.3 抛物线 期末试题汇编（北京名校）
一．选择题
1．（2022春 平谷区期末）抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021秋 海淀区校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（3，1），M为抛物线上一点（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022春 北京期末）已知抛物线C：y2＝4x上一点P到抛物线C的焦点的距离为5，则点P到y轴的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022春 大兴区校级期末）抛物线 C：y2＝2px的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，若△PKF是斜边长为的等腰直角三角形（　　）
A． B． C． D．
5．（2021秋 海淀区校级期末）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列说法不正确的是（　　）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径是
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
6．（2021秋 平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝ax（a＞0）上点M（1，m）到焦点的距离为3（　　）
A．2 B．8 C．1 D．4
7．（2021秋 昌平区期末）直线3x﹣4y＝0与抛物线W：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021秋 西城区期末）设抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴上．过F的直线交抛物线于点A，则以AF为直径的圆（　　）
A．必过原点 B．必与x轴相切
C．必与y轴相切 D．必与抛物线的准线相切
9．（2022春 东城区校级期末）A，B是抛物线y2＝2x上的两个动点，O为坐标原点，当OA⊥OB时（　　）
A． B．4 C．8 D．64
10．（2021秋 密云区期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则点A到y轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，则下列说法错误的是（　　）
A．使得的点M有且仅有4个
B．使得的点M有且仅有4个
C．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
D．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
12．（2021秋 大兴区期末）如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为a，b（a＜b）的正方形草坪，O为AD的中点，则等于（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题
13．（2021秋 海淀区校级期末）关于方程xy（x+y）＝2020所表示的曲线，说法正确的是 　 　．
①关于x轴对称；
②关于y轴对称；
③关于原点对称；
④关于直线y＝x对称．
14．（2021秋 平谷区期末）已知曲线C的方程是x2+y2＝|x|+|y|，给出下列四个结论：
①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C有4条对称轴；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于1；
④曲线C所围成图形的面积大于4；
其中，所有正确结论的序号是 　 　．
15．（2022春 东城区校级期末）已知点P是抛物线y＝﹣x2上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A（﹣4，﹣）　 　．
16．（2021秋 海淀区校级期末）关于曲线C：x2+xy+y2＝4，给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2．
其中，正确结论的序号是 　 　．
三．解答题
17．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；
（Ⅱ）若P点到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
18．（2021秋 延庆区期末）已知直线l：y＝x+m，抛物线C：y2＝4x．
（Ⅰ）l与C有公共点，求m的取值范围；
（Ⅱ）O是坐标原点，l过C的焦点且与C交于A，B两点
19．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
20．（2021秋 海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点P（2，4）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
21．（2022春 东城区校级期末）如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），
A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值．
3.3 抛物线 期末试题汇编（北京名校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2022春 平谷区期末）抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由抛物线y2＝2x的方程可得7p＝2，所以p＝1，
焦点到其准线的距离是p＝8，
故选：A．
2．（2021秋 海淀区校级期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（3，1），M为抛物线上一点（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解析：设M（x0，y0），过点M作准线x＝﹣3的垂线，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，F，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为|AH|＝3﹣（﹣1）＝4，
故选：B．
3．（2022春 北京期末）已知抛物线C：y2＝4x上一点P到抛物线C的焦点的距离为5，则点P到y轴的距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝﹣4，
∵P到抛物线C的焦点的距离为5，
∴点P到y轴的距离为5﹣3＝4，
故选：C．
4．（2022春 大兴区校级期末）抛物线 C：y2＝2px的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，若△PKF是斜边长为的等腰直角三角形（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△PKF是斜边长为的等腰直角三角形，
∴|KF|＝2，过M作MN垂直准线于N点，
∴，即，
∴，
即|MF|＝3﹣2，
故选：D．
5．（2021秋 海淀区校级期末）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则下列说法不正确的是（　　）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径是
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【解答】解：由曲线C：mx2+ny2＝5，得，
若m＞n＞8，则＞＞6，其焦点在y轴上；
若mn＜0，则C是双曲线，焦点在x轴上，，
渐近线方程为y＝，当m＜0时，a＝，
渐近线方程为y＝，所以若mn＜0，
则C是双曲线，其渐近线方程为；
若m＝n＞0，则C是圆，故C错误；
若m＝0，n＞0，是两条直线．
故选：C．
6．（2021秋 平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝ax（a＞0）上点M（1，m）到焦点的距离为3（　　）
A．2 B．8 C．1 D．4
【解答】解：抛物线y2＝ax（a＞0）的准线方程为：x＝﹣，
∴由抛物线的定义得：1﹣（﹣）＝8，
解得：a＝8．
即焦点到准线的距离为4，
故选：D．
7．（2021秋 昌平区期末）直线3x﹣4y＝0与抛物线W：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x8，y2），
联立，可得：或，
所以|AB|＝＝＝
而|AB|＝3，
可得＝5，即F（，
所以F到直线AB的距离d＝＝，
所以S△ABF＝ |AB| d＝＝，
故选：B．
8．（2021秋 西城区期末）设抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴上．过F的直线交抛物线于点A，则以AF为直径的圆（　　）
A．必过原点 B．必与x轴相切
C．必与y轴相切 D．必与抛物线的准线相切
【解答】解：由题意设抛物线的方程为：y2＝2px，则焦点F（，准线方程为：x＝﹣，
设A（x1，y3），由题意可得|AF|＝x1+，
所以以AF为直径的圆的半径r＝＝+，
而AF的中点的横坐标为＝+，
所以可得以AF为直径的圆必与y轴相切，
故选：C．
9．（2022春 东城区校级期末）A，B是抛物线y2＝2x上的两个动点，O为坐标原点，当OA⊥OB时（　　）
A． B．4 C．8 D．64
【解答】解：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，
∵OA⊥OB，
∴直线OB的方程为y＝﹣x，
由，解得，），则|OA|2＝+，
由，解得2，﹣2k），则|OB|3＝4k4+3k2，
∴（|OA| |OB|）2＝（+）（4k4+4k2）＝16（2++k2）
≥16（5+2）＝64，
∴|OA| |OB|的最小值为8．
故选：C．
10．（2021秋 密云区期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则点A到y轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：焦点F到准线的距离为p＝2，
过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，
则△BCE∽△ACD，
所以＝＝＝，
记BC＝x，则AC＝2x，
因为|AF|＝2|FB|，
所以BF＝AB＝xx，
所以sin∠ACD＝＝，
∴GF＝CF，又∵CF＝BC+BF＝x，
∴AF＝3，
即点A到y轴的距离为8﹣＝2．
故选：B．
11．（2021秋 海淀区校级期末）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，则下列说法错误的是（　　）
A．使得的点M有且仅有4个
B．使得的点M有且仅有4个
C．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个
D．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个
【解答】若∠MKF＝的M在第一象限，
代入抛物线的方程可得x3﹣px+＝3，
由对称性可得M在第四象限只有一个，
则满足∠MKF＝的M有且只有6个；
使得∠MKF＝的点M在第一象限（x+），
代入抛物线的方程，可得x2﹣7px+＝42﹣p2＝24p8＞0，
可得点M有2个；
若M在第四象限，由对称性可得也有4个，
则使得∠MKF＝的点M有且只有4个；
由△MFK为等腰三角形，若KF＝MF；
若MK＝MF，则不存在，则M有两个点，
则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个，故C正确；
由△MFK中∠MFK为直角的点M有两个；
∠MKF为直角的点M不存在；∠FMK为直角的点M有两个，
则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个，故D正确．
故选：A．
12．（2021秋 大兴区期末）如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为a，b（a＜b）的正方形草坪，O为AD的中点，则等于（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：建立以O为原点，AD为x轴，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），
∴，，，
∵抛物线y2＝7ax（a＞）经过C，F两点，
∴，两边同时除以a2，化简整理可得，，解得（舍去）．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋 海淀区校级期末）关于方程xy（x+y）＝2020所表示的曲线，说法正确的是 　④　．
①关于x轴对称；
②关于y轴对称；
③关于原点对称；
④关于直线y＝x对称．
【解答】解：根据题意，对于方程xy（x+y）＝2020，
对于①，将方程中的y换为﹣y，与原方程不同；
对于②，将方程中的x换为﹣x，与原方程不同；
对于③，将方程中的x换为﹣x，则有﹣xy（x+y）＝2020，则方程xy（x+y）＝2020所表示的曲线不关于原点对称；
对于④，将方程中的x换为y2+x2y＝8与原方程相同，故曲线关于直线y＝x对称，
其中④正确；
故答案为：④．
14．（2021秋 平谷区期末）已知曲线C的方程是x2+y2＝|x|+|y|，给出下列四个结论：
①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C有4条对称轴；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于1；
④曲线C所围成图形的面积大于4；
其中，所有正确结论的序号是 　②④　．
【解答】解：曲线C的简图如下：
根据图象以及方程可知，曲线C恰好经过9个整点，0），6），﹣1），0），7），﹣1），0），2），﹣1）；
由图可知，曲线C有4条对称轴，y轴，②正确；
由图可知，曲线C上任意一点到原点的距离都不小于4，0）故③不正确；
由图可知，曲线C所围成图形的面积等于．
故答案为：②④．
15．（2022春 东城区校级期末）已知点P是抛物线y＝﹣x2上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A（﹣4，﹣）　　．
【解答】解：依题意可知，抛物线y＝﹣x3即抛物线﹣2y＝x2焦点为（7，﹣），准线方程为y＝，
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值，
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，
由两点间距离公式得|FA|＝＝4，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣＝3﹣＝．
故答案为：．
16．（2021秋 海淀区校级期末）关于曲线C：x2+xy+y2＝4，给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2；
③曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2．
其中，正确结论的序号是 　①②　．
【解答】解：关于曲线C：x2+xy+y2＝7，
在①中，x＝0时；y＝0时；x＝7；y＝2．
∴曲线C恰好经过6个整点（2，2），﹣2），3），0），﹣2），6）；
在②中，曲线C上任意一点到原点的距离：
对于④，x2+xy+y2＝2，由于|xy|≤≤xy≤2+y2≤8，
即d＝＝≤2，故②正确；
在③中，曲线C上任意一点到原点的距离：
当yx＞4时，d＝＝，故③错误．
故答案为：①②．
三．解答题（共5小题）
17．（2021秋 海淀区校级期末）已知双曲线，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点P（x0，y0）为抛物线上一点．
（Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；
（Ⅱ）若P点到抛物线的焦点的距离是5，求x0的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为，
所以a2＝8，b2＝3，
所以c2＝a2+b2＝2．所以c＝2，
所以双曲线的焦点坐标为（﹣2，6），0）；
（Ⅱ）因为抛物线y2＝3px（p＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线y2＝5px（p＞0）的焦点是（2，8），
所以p＝4，
因为点P（x0，y6）为抛物线上一点，
所以点P（x0，y0）到抛物线的焦点的距离等于点P（x5，y0）到抛物线的准线x＝﹣2的距离．
因为P点到抛物线的焦点的距离是4，所以x0+2＝4，
所以x0＝3．
18．（2021秋 延庆区期末）已知直线l：y＝x+m，抛物线C：y2＝4x．
（Ⅰ）l与C有公共点，求m的取值范围；
（Ⅱ）O是坐标原点，l过C的焦点且与C交于A，B两点
【解答】解：（I）由题意可得，，消去x，y8﹣4y+4m＝2，
∵l与C有公共点，
∴Δ＝16﹣16m≥0，解得m≤1，
故m的取值范围为（﹣∞，2]．
（II）抛物线C：y2＝4x的焦点F（5，0），
则m＝﹣1，
设A（x5，y1），B（x2，y4），
由（1）知，y1+y2＝4，y1y2＝3m＝﹣4，
则|y1﹣y4|＝，
∴，
故△OAB的面积为．
19．（2021秋 通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆W的离心率；
（Ⅱ）求抛物线C的方程；
（Ⅲ）设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的方程可得a2＝25，b2＝24，可得c5＝a2﹣b2＝25﹣24＝4，
所以a＝5，c＝1，
可得椭圆的离心率e＝＝；
（Ⅱ）由（1）可得椭圆的右焦点为（1，2），0），
即＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（Ⅲ）由（2）可知抛物线的准线方程为x＝﹣6，
设A（m，n），而|AF|＝6，
所以m+1＝2，可得m＝52＝4×5，可得n＝±2，
所以A的坐标为（5，±2）．
20．（2021秋 海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点P（2，4）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
【解答】解：（1）∵点P（2，4）在抛物线C上8＝2p×2，∴p＝2，
故抛物线的方程为y2＝8x；
（2）设P（x3，y1），Q（x2，y7），联立，
得x5+（2m﹣8）x+m8＝0，Δ＝（2m﹣7）2﹣4m2＞0，得m＜2，
∴x8+x2＝8﹣3m，x1x2＝m7，
又OP⊥OQ，则＝x1x2+y3y2＝0，
∴x7x2+y1y7＝x1x2+（x2+m）（x2+m）＝2x4x2＝+m（x1+x3）+m2＝2m7+m（8 2m）+m3＝0，
∴m＝﹣8或m＝3，经检验，直线过坐标原点，
又m＝﹣8＜2，
综上：m的值为﹣3．
21．（2022春 东城区校级期末）如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），
A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值．
【解答】（Ⅰ）解：设抛物线的方程为x2＝2py（p＞7），
由点P（2，1）在抛物线上，
即有82＝2p，解得p＝8，
则有抛物线的方程为x2＝4y；
（Ⅱ）证明：若∠APB的平分线垂直于y轴，
则有kAP+kBP＝8，
即+＝3，
即有+＝0，
化简得，（x1+2）+（x2+5）＝0，
即为x1+x3＝﹣4，
则有kAB＝＝＝（x1+x2）＝﹣7．