2.2.2不等式的解集
常考题型目录
题型1 一元一次不等式(组）的解法 3
类型1 一元一次不等式 3
类型2 一元一次不等式组 5
题型2 含参一元一次不等式(组）的解法 7
类型1 含参一元一次不等式 7
类型2 含参一元一次不等式（组） 9
题型3含有绝对值不等式 13
类型1 小于取中间大于取两边 14
类型2 零点分段法 16
类型3 平方法 18
题型4 距离问题与中点问题 19
题型5 含参绝对值不等式已知解集问题 21
类型1 已知解集问题 21
类型2 绝对值不等式与充分条件必要条件结合问题 22
类型3 恒成立问题 23
类型4 有解问题 25
类型5 最值问题 25
类型6 含参整数解问题问题 25
类型7 含参不等式取值范围问题 25
考点 学习目标 核心素养
不等式的解集与不等式组的解集 会求解一元一次不等式 及一元一次不等式组的解集 数学运算
绝对值不等式 能借助绝对值的几何 意义求解含绝对值的不等式的解集 数学运算
知识梳理：
知识点一: 不等式（组）的解集
不等式的解集：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
注意：解不等式的理论依据是：不等式的性质.
知识点二: 绝对值不等式
1.绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2.绝对值不等式的解集
不等式 m>0时不等式的解集 m<0时不等式的解集 m=0时不等式的解集
x|
|x|>m {x|x>m或x<-m} R {x|x≠0且x∈R}
提升：(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
3.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
①.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
②.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
4.绝对值不等式的几何意义
（1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB =|a-b|
（2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标
绝对值不等式的几何意义.
不等式（m>0） 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x-b||x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义
（4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离.
（5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题. 思考
注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。
题型分类
题型1 一元一次不等式(组）的解法
方法总结：
1.一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（或等）的形式（其中）；
（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．
2.解一元一次不等式组的一般步骤
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
类型1 一元一次不等式
【例题1-1】（2021·海南二中高一阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的解法求得正确答案.
【详解】，.所以不等式的解集为.故选：A
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接求解一元一次不等式.
【详解】，得，所以不等式的解集是.故选：C
【变式1-1】2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，集合，那么集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求解集合A，最后求集合的交集即可.
【详解】因为集合，所以，又集合，所以，故选：C
【变式1-1】3．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是___________ .
【答案】
【分析】由不等式性质，计算即可得出结果.
【详解】去括号得， 2x-2 【变式1-1】4．（2019·河北·张北县第一中学高一期中）关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件及不等式,即可求解.
【详解】因为的不等式化简可得
则解不等式组可得即所以不等式的解集为
故答案为:
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,解二次根式不等式,属于基础题.
【变式1-2】（2021·全国·高一课时练习）不等式的负整数解有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据解不等式的步骤解出不等式的解集，再找出符合条件的整数即可．
【详解】由可得，所以不等式的负整数解有，，共2个，故选B.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤是关键．
类型2 一元一次不等式组
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）不等式组的解集为________.
【答案】
【分析】分别求得两个不等式的解，然后取它们的交集，由此求得不等式组的解集.
【详解】记原不等式组为解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥－4.故原不等式组的解集为.故答案为：
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
【变式1-3】1．不等式组的解集在数轴上表示为( )
解析：选C.解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，故不等式组的解集为[3，＋∞)．选C.
【变式1-3】2．（2020·上海·高一专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别解2个一元一次不等式，再求交集即可.
【详解】解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，,故不等式组的解集为[3，＋∞).在数轴上表示为故选：C.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，最后应该求各个不等式的交集才是最后的答案.
【变式1-3】3．（2021·全国·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元一次不等式组，再根据集合的包含关系判断可得；
【详解】解：因为不等式，解得，解得，综上可得，所以原不等式组的解得，所以，真包含于，真包含于故选：D
【变式1-3】4．（2020·全国·高一课时练习）在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】分别解两个不等式，然后求交集得不等式组的解集，写出其中的整数即得．
【详解】解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．故选：C．
【点睛】本题考查解一元不等式组，解题时可分别解不等式，然后求交集．
【变式1-3】5．（2019·全国·高一课时练习）不等式组的整数解有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解．
【详解】解不等式，得，解不等式，得，原不等式组的解集为.又 为整数， ，，0，1，2.故选C.
【点睛】注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解，所以要找出在这范围内的整数．
【变式1-3】6．（2022·全国·高一专题练习）不等式组的所有正整数解的和为________．
【答案】6
【分析】解不等式组得不等式组的解集，其中整数相加即得．
【详解】由得，，，由得．∴原不等式组的解是－≤x＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，
故它们的和为1＋2＋3＝6.故答案为：6．
【点睛】本题考查解不等式组，解一元不等式组，可分别求出不等式的解集，然后求交集即得．
题型2 含参一元一次不等式(组）的解法
类型1 含参一元一次不等式
【例题2-1】（2021·全国·高一课时练习）求关于x的不等式的解集：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）根据一元一次不等式的解法解得；
（2）对参数分类讨论解得.
【详解】解：（1）∵，∴，解得，∴不等式的解集为．
（2）当时，解得，不等式的解集为；当时，不成立，不等式的解集为；当时，解得，不等式的解集为．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法和含参的一元一次不等式的解法，属于基础题.
【变式2-1】1．（2021·全国·高一课时练习）设，解关于x的不等式：．
【答案】当时，R；当时，；当时，．
【分析】首先把不等式整理为，然后分，，三种情况求解即可.
【详解】由，得，
当时，原不等式为，所以不等式的解集为R；
当时，由，得，所以不等式的解集为；
当时，由，得，所以不等式的解集为.
综上知：当时，解集为R；当时，解集为；
当时，解集为．
【变式2-1】2．（2022·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据含参数的一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，不等式，可化为，
当时，即时，不等式为不成立，所以解集为空集；
当时，即时，可得，即解集为；
当时，即时，可得，即解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【变式2-1】3．（2022·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集为_______;
【答案】
【分析】由题设条件确定，再按一元一次不等式的解法求解即得.
【详解】因，则，不等式变形为不等式，解得，即，所以不等式的解集为.
故答案为：
【变式2-1】4.（2021·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集，求出参数的值，再代入不等式中，求解即可．
【详解】关于的不等式的解集是，
，把代入得，解得，故选A.
【点睛】本题考查不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键．
类型2 含参一元一次不等式（组）
考点1 已知解集取值问题
【例题2-2】（2022·全国·高一专题练习）已知不等式组解为，则的值为________.
【答案】1
【分析】根据已知求出的值即得解.
【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2【变式2-2】（2019·全国·高一课时练习）如果不等式组的解集是，那么的值为_______.
【答案】1
【分析】先用含有a、b的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已知的解集，进行比对，得到两个方程，解方程求出a、b，即可求解
【详解】解:不等式组的解集为，它的解集是， ，解得，， .故答案为1
【点睛】本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b的方程，从而求得a、b．
考点2 已知解集取值范围问题
【变式2-3】1.（2021·江苏·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简不等式组得到，结合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范围.
【详解】,可化为 因为不等式组的解集是所以，解得：故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题.
【变式2-3】2．（2019·全国·高一课时练习）一元一次不等式组的解集是，则与的关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同大取大即可得．
【详解】不等式组的解集是， ，故选A.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2-3】3．（2019·全国·高一课时练习）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x＜2可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解①得，解②得，不等式组的解集为， ， .故选D.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
考点3有解问题
【变式2-4】（2020·全国·高一课时练习）若不等式组有解，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别解两个不等式，根据原不等式组有解可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】解不等式可得；解不等式，即，解得.由于原不等式组有解，则，解得.故选：C.
【点睛】本题考查根据不等式组有解求参数，考查计算能力，属于基础题.
考点4 无解问题
【变式2-5】1．（2019·全国·高一课时练习）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别解两个不等式，再利用交集为空集列不等式求解即可
【详解】解不等式①，得，解不等式②，得.原不等式组的解集是， ，解得.故选A.
【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，考查交集运算，是基础题
【变式2-5】2．（2019·全国·高一课时练习）若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出各不等式的解集，由题意各不等式的解集为空集，即可求出参数的取值范围．
【详解】由①得，，由②得，，又因为不等式组无解，所以.故选A.
【点睛】本题考查不等式组无解问题，属于基础题．
【变式2-5】3．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组无解，求的取值范围.
【答案】
【分析】分别求解不等式①和②，根据不等式组没有解，求得的取值范围.
【详解】解不等式①，得，解不等式②，得，因为不等式组无解，所以.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
考点5 解集为R问题
【变式2-6】（2022·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】当时，恒成立，即可得到答案；
【详解】当时，恒成立，不等式的解集为，故选：B
考点6 整数解问题
【变式2-7】（2022·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则，
故0一定为不等式组的一个整数解，若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则，解得；当不等式的4个整数解为时，则，不等式组无解，综上所述，a的取值范围是.故答案为：.
考点7 综合大题
【变式2-8】1.（2019·全国·高一课时练习）已知关于的不等式组
（1）当时，求不等式组的解集；
（2）当取何值时.该不等式组的解集是
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将解不等式求交集即可（2）解不等式利用交集为空集列不等式求解即可
【详解】（1）当时，解不等式①得，解不等式②得，不等式组的解集为.
（2）解不等式，得.不等式组的解集为， ，
.
【点睛】本题考查了解一次不等式组，准确计算是关键，能根据空集求出不等式组的解集是解此题的关键．
【变式2-8】2．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，求，的值；
（2）若，求，满足的关系式．
【答案】（1）,
（2）
【分析】（1）根据，可得，求出集合的等价条件，进而列方程即可求，的值；
（2）根据集合A，B的元素，结合}，对的正负分类讨论，即可建立条件关系，得，之间的关系．
【详解】（1）若，
则必有，即则，即；
（2），当时，；当时，（舍）
即：
【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键．
题型3含有绝对值不等式
方法总结：
含有绝对值不等式的解法
（1）|x|0);|x|0)的口诀：小于取中间大于取两边.
（3）形如|a|<|b|的绝对值不等式的常用方法：两边平方.
（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式）
（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
类型1 小于取中间大于取两边
【例题3-1】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可.
【详解】由解得，
即所以不等式的解集为.故答案为：.
【变式3-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值不等式的解法，对分类讨论求解即可.
【详解】解：当时，即时，有，解得；
当时，即时，有，解得；
综上不等式的解集为或.故选：D.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
【变式3-1】2．（2019·全国·高一课时练习）已知集合，则集合中的最大整数为__________．
【答案】60
【详解】求解绝对值不等式可得：，
集合中的最大整数为.
【变式3-2】1．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，命题 ，则A是B的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】由得，则，所以集合，
集合，显然是的子集，所以A是B必要不充分条件.故选：B.
【变式3-2】2．（2021·江苏·如皋市第一中学高一阶段练习）已知集合，0，1，，则（ ）
A． B．0，
C．0，1， D．0，1，
【答案】A
【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】因为，0，1，，所以，故选：A．
【变式3-2】3．（2019·全国·高一课时练习）集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求出N={-1,0,1,2,3},再求得解.
【详解】由题得N={x|-1≤x≤3，={-1,0,1,2,3},所以.故选D
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【变式3-3】1．（2022·全国·高一课时练习）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；由能推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
方法小结：
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
【变式3-3】2．（2021·辽宁·大连八中高一阶段练习）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.
【详解】 ， ，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.
类型2 零点分段法
【例题3-4】（2020·全国·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（2）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（3）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（4）采用零点分区间法，分类讨论解答.
【详解】解：（1）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
（2）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，即解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，可得原不等式的解集为．
（3）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，可得原不等式的解集为．
（4）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，采用零点分区间法或绝对值的几何意义是两种有效的方法，属于基础题.
【变式3-4】1．（2019·全国·高一课时练习）关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C．∪ D．[-1，2]
【答案】C
【分析】按照,,讨论去绝对值解不等式后再相并可得答案.
【详解】当时，，解得： 当时，，不成立，当时，，解得：综上，不等式的解集是， 故选:C．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,解题关键是分三种情况去绝对值,属于基础题.
【变式3-4】2．（2021·全国·高一课时练习）请写出一个满足不等式的值：______.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】取即可得出答案.
【详解】当时，满足题意故答案为：1（答案不唯一）
【变式3-4】3．（2022·全国·高一专题练习）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果.
【详解】原不等式可化为或或，解得0≤x≤3，所以最小整数解是0，故选：A.
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目.
【变式3-4】4．（2021·全国·高一课时练习）不等式的解集为____________；
【答案】
【分析】根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．故答案为．
【点睛】本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．
【变式3-4】5．关于x的方程的解集是__________．
【答案】【分析】利用零点分段法，去绝对值解方程.
【详解】当时，恒成立，
当时，，解得：不成立，
当时，，解得：，不成立，
当时，恒成立，综上可知方程的解集是.
故答案为：
【变式3-4】6．（2019·全国·高一课时练习）不等式1≤|x＋1|＜3的解集为___________
【答案】(－4，－2]∪[0，2)
【分析】对x＋1进行分类讨论，去掉绝对值可得.
【详解】当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得；综上可得不等式1≤|x＋1|＜3的解集为(－4，－2]∪[0，2).
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
类型3 平方法
【例题3-5】（2019·全国·高一课时练习）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0 不等式|x﹣2|＞|x﹣1| （x﹣2）2＞（x﹣1）2即可求得答案．
【详解】∵|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0，∴|x﹣2|＞|x﹣1|≥0，∴（x﹣2）2＞（x﹣1）2，
可得﹣4x+4＞﹣2x+1∴x＜．∴不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0的解集为{x|x＜}．
故选A.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，将绝对值不等式转化为二次不等式是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．
【变式3-5】1.不等式的解集为
解析 由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为.
【变式3-5】2.解下列不等式：．
【答案】
分析：不等式变形为，然后由，根式有意义，再平方后求解．
解析：原不等式化为，所以，解得或，所以．
所以原不等式的解集为．
题型4 距离问题与中点问题
类型1 距离问题
【例题4-1】（2021·全国·高一课时练习）在数轴上，已知，，原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由与互为相反数，即可得到答案；
【详解】 与互为相反数， ，故选：D
【变式4-1】1．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（ ）.
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上两点、的距离公式即可得．
【详解】.
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题．
【变式4-1】2.（2020·全国·高一课时练习）数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则MP-PN等于（ ）
A．-4 B．4 C．12 D．-12
【答案】B
【分析】直接根据距离公式计算可得；
【详解】解：，，.
故选：B
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用，属于基础题.
类型2 中点问题
【例题4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，则设点的坐标为，再根据列出等式化简即可解决．
【详解】设点的坐标为.，，即，因为不同的两点，，故，解得故选：C.
【变式4-2】1．（2019·全国·高一课时练习）已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）.
A． B． C．4 D．或
【答案】D
【分析】由题意根据的坐标及可求的坐标，然后根据中点坐标公式可求中点的坐标．
【详解】记点，，则.，即，解得或.当时，的坐标为；当时，的坐标为.故选D.
【点睛】数轴上两点，的中点坐标公式为．
类型3 取值范围问题
【例题4-3】（2022·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
【答案】
【解析】依题意得到的中点对应的数为，即，根据绝对值的几何意义解答.
【详解】解：因为的中点对应的数为，所以由题意可知，即，因此，所以，因此的取值范围是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
【变式4-3】1．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值；
（2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）讨论P,Q,R分别为中点；利用中点坐标公式求解即可
（2）利用距离公式求解即可
【详解】（1）若是线段的中点，则， ；
若是线段的中点，则；若是线段的中点，则， .
（2）由题意，知，即， 或，解得或，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查数轴的点坐标，考查中点坐标及距离公式，考查绝对值不等式解法，是基础题
【变式4-3】2．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，．
（1）若A与C关于点B对称，求x的值；
（2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，B为的中点，根据中点公式解答.
（2）首先表示出的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得.
【详解】解：（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴．
（2）∵的中点对应的数为，∴由题意得，即，
解得，∴的取值范围是．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题.
题型5 含参绝对值不等式已知解集问题
类型1 已知解集问题
【例题5-1】（2020·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】由绝对值不等式的性质可知，，从而可得到的两个解为，即可求出a的值.
【详解】由题意可知，，即，
故一元二次方程的解为，
则，解得.
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
【变式5-1】1．（2020·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为，则m＝________．
【答案】-6
【分析】利用绝对值性质不等式转化为－1＜mx＜5，然后按和分类讨论解得不等式，再结合已知解集求解．
【详解】|mx－2|＜3 －3＜mx－2＜3 －1＜mx＜5，
①若m＞0，则，由题意得且，无解．
②若m＜0，则，由题意得且，所以m＝－6，
综上可得m＝－6.故答案为：．
【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是利用绝对值的性质得出等价不等式，直接求解后利用已知解集求参数．
【变式5-1】2．（2019·全国·高一课时练习）关于的不等式的解集为，则实数________
【答案】2
【分析】由可得，根据不等式的解集为列方程求解即可,
【详解】因为，所以 ,即,又关于的不等式的解集为，，且，，故选答案为2．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
类型2 绝对值不等式与充分条件必要条件结合问题
【例题5-2】（2020·全国·高一课时练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，可先解出：与：，再由是的充分不必要条件列出不等式即可得出a的取值范围.
【详解】由条件，解得或，故：，由条件得：，∵是的充分不必要条件，∴，故选：A.
【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.
【变式5-2】1．（2019·全国·高一课时练习）如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，解不等式，求得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系，可得不等式组（等号不同时成立），解不等式组即可得答案．
【详解】根据题意，不等式的解集是，设其为，为，则的充分不必要条件是， 则表示的集合是表示的集合的真子集.
则有（等号不同时成立），解得，故选B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号成立与否，需要验证分析．
类型3 恒成立问题
【例题5-3】（2019·全国·高一课时练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.
【详解】不等式去掉绝对值符号得，
即对任意恒成立，变量分离得，只需，即所以a的取值范围是故选B
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.
【变式5-3】1．（2020·全国·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】求出的最小值，然后解不等式可得参数范围．
【详解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，
因为ymin＝0，所以m＋2≤0，所以m≤－2，所以m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查含绝对值不等式恒成立问题，解题关键是问题转化，转化为求函数最小值，然后易得参数范围．
【变式5-3】2．（2020·全国·高一课时练习）若关于的不等式在[﹣1,1]上恒成立，则实数的取值范围为________；
【答案】[-1,1]
【分析】利用绝对值不等式的定义化简|ax﹣1|≤2，再根据x∈[﹣1，1]讨论a的取值情况，即可求出实数a的取值范围．
【详解】不等式|ax﹣1|≤2，∴﹣2≤ax﹣1≤2，∴﹣1≤ax≤3；又x∈[﹣1，1]，
若a＞0，则﹣a≤ax≤a，∴，解得0＜a≤1； 若a=0，则﹣1≤0≤3，满足条件；
若a＜0，则a≤ax≤﹣a，∴，解得﹣1≤a＜0；
综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与在定义域内的值域问题，利用子集的关系，求出参数的范围应用问题．
【变式5-3】3．（2020·全国·高一课时练习）已知，则“”是“恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】令函数y＝|x﹣2|+|x|，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可．
【详解】函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a时，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.
若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.
故“a”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分条件.
故选B．
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
类型4 有解问题
【例题5-4】（2020·全国·高一课时练习）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_____
【答案】
【详解】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是．
类型5 最值问题
【例题5-5】（2019·全国·高一课时练习）已知有理数满足：，若的最小值为，最大值为，则_______.
【答案】5
【分析】首先解不等式：，即可求得x的范围，即可根据x的范围去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得．
【详解】解:解不等式得，则，
当时，，则，则最大值是，最小值是；
当时，，则.
综上，，， .故答案为5
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法，解不等式要依据不等式的基本性质，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
类型6 含参整数解问题问题
【例题5-6】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
【答案】(5,7)
【解析】由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 ∴5＜b＜7.
类型7 含参不等式取值范围问题
【例题5-7】（2021·全国·高一课时练习）已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求得集合.再分时，；时，，由题意建立不等式组，解之可求得实数的取值范围.
（2）分时，， 时，，建立不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】解：（1）由得或，所以.
当时，，符合题意；
当时，，由题知，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）当时，，符合题意；
当时，，由于，，不满足.
综上所述，实数的取值范围是.2.2.2不等式的解集
常考题型目录
题型1 一元一次不等式(组）的解法 3
类型1 一元一次不等式 4
类型2 一元一次不等式组 5
题型2 含参一元一次不等式(组）的解法 6
类型1 含参一元一次不等式 6
类型2 含参一元一次不等式（组） 6
题型3含有绝对值不等式 8
类型1 小于取中间大于取两边 8
类型2 零点分段法 10
类型3 平方法 10
题型4 距离问题与中点问题 11
题型5 含参绝对值不等式已知解集问题 12
类型1 已知解集问题 12
类型2 绝对值不等式与充分条件必要条件结合问题 12
类型3 恒成立问题 12
类型4 有解问题 13
类型5 最值问题 13
类型6 含参整数解问题问题 13
类型7 含参不等式取值范围问题 13
考点 学习目标 核心素养
不等式的解集与不等式组的解集 会求解一元一次不等式 及一元一次不等式组的解集 数学运算
绝对值不等式 能借助绝对值的几何 意义求解含绝对值的不等式的解集 数学运算
知识梳理：
知识点一: 不等式（组）的解集
不等式的解集：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
注意：解不等式的理论依据是：不等式的性质.
知识点二: 绝对值不等式
1.绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2.绝对值不等式的解集
不等式 m>0时不等式的解集 m<0时不等式的解集 m=0时不等式的解集
x||x|>m {x|x>m或x<-m} R {x|x≠0且x∈R}
提升：(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
3.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
①.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
②.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
4.绝对值不等式的几何意义
（1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB =|a-b|
（2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标
绝对值不等式的几何意义.
不等式（m>0） 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x-b||x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义
（4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离.
（5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题. 思考
注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。
题型分类
题型1 一元一次不等式(组）的解法
方法总结：
1.一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）化成（或等）的形式（其中）；
（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．
2.解一元一次不等式组的一般步骤
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上表示各个不等式的解集；
（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
类型1 一元一次不等式
【例题1-1】（2021·海南二中高一阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式1-1】2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，集合，那么集合（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是___________ .
【变式1-1】4．（2019·河北·张北县第一中学高一期中）关于的不等式的解集为_________.
【变式1-2】（2021·全国·高一课时练习）不等式的负整数解有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型2 一元一次不等式组
【例题1-3】（2022·全国·高一专题练习）不等式组的解集为________.
【变式1-3】1．不等式组的解集在数轴上表示为( )
【变式1-3】2．（2020·上海·高一专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】3．（2021·全国·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】4．（2020·全国·高一课时练习）在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-3】5．（2019·全国·高一课时练习）不等式组的整数解有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-3】6．（2022·全国·高一专题练习）不等式组的所有正整数解的和为________．
题型2 含参一元一次不等式(组）的解法
类型1 含参一元一次不等式
【例题2-1】（2021·全国·高一课时练习）求关于x的不等式的解集：
（1）；（2）．
【变式2-1】1．（2021·全国·高一课时练习）设，解关于x的不等式：．
【变式2-1】2．（2022·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式.
【变式2-1】3．（2022·全国·高一专题练习）若，则关于的不等式的解集为_______;
【变式2-1】4.（2021·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）.
A． B． C． D．
类型2 含参一元一次不等式（组）
考点1 已知解集取值问题
【例题2-2】（2022·全国·高一专题练习）已知不等式组解为，则的值为________.
【变式2-2】（2019·全国·高一课时练习）如果不等式组的解集是，那么的值为_______.
考点2 已知解集取值范围问题
【变式2-3】1.（2021·江苏·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】2．（2019·全国·高一课时练习）一元一次不等式组的解集是，则与的关系为
A． B． C． D．
【变式2-3】3．（2019·全国·高一课时练习）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
考点3有解问题
【变式2-4】（2020·全国·高一课时练习）若不等式组有解，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点4 无解问题
【变式2-5】1．（2019·全国·高一课时练习）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式2-5】2．（2019·全国·高一课时练习）若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-5】3．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式组无解，求的取值范围.
考点5 解集为R问题
【变式2-6】（2022·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．不存在
考点6 整数解问题
【变式2-7】（2022·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.
考点7 综合大题
【变式2-8】1.（2019·全国·高一课时练习）已知关于的不等式组
（1）当时，求不等式组的解集；
（2）当取何值时.该不等式组的解集是
【变式2-8】2．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，求，的值；
（2）若，求，满足的关系式．
题型3含有绝对值不等式
方法总结：
含有绝对值不等式的解法
（1）|x|0);|x|0)的口诀：小于取中间大于取两边.
（3）形如|a|<|b|的绝对值不等式的常用方法：两边平方.
（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式）
（6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
类型1 小于取中间大于取两边
【例题3-1】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为___________.
【变式3-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【变式3-1】2．（2019·全国·高一课时练习）已知集合，则集合中的最大整数为__________．
【变式3-2】1．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，命题 ，则A是B的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【变式3-2】2．（2021·江苏·如皋市第一中学高一阶段练习）已知集合，0，1，，则（ ）
A． B．0，
C．0，1， D．0，1，
【变式3-2】3．（2019·全国·高一课时练习）集合，，则
A． B．
C． D．
【变式3-3】1．（2022·全国·高一课时练习）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】2．（2021·辽宁·大连八中高一阶段练习）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
类型2 零点分段法
【例题3-4】（2020·全国·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【变式3-4】1．（2019·全国·高一课时练习）关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C．∪ D．[-1，2]
【变式3-4】2．（2021·全国·高一课时练习）请写出一个满足不等式的值：______.
【变式3-4】3．（2022·全国·高一专题练习）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【变式3-4】4．（2021·全国·高一课时练习）不等式的解集为____________；
【变式3-4】5．关于x的方程的解集是__________．
【变式3-4】6．（2019·全国·高一课时练习）不等式1≤|x＋1|＜3的解集为___________
类型3 平方法
【例题3-5】（2019·全国·高一课时练习）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为
A． B． C． D．
【变式3-5】1.不等式的解集为
【变式3-5】2.解下列不等式：．
题型4 距离问题与中点问题
类型1 距离问题
【例题4-1】（2021·全国·高一课时练习）在数轴上，已知，，原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】1．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（ ）.
A．0 B． C． D．
【变式4-1】2.（2020·全国·高一课时练习）数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则MP-PN等于（ ）
A．-4 B．4 C．12 D．-12
类型2 中点问题
【例题4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【变式4-2】1．（2019·全国·高一课时练习）已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）.
A． B． C．4 D．或
类型3 取值范围问题
【例题4-3】（2022·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
【变式4-3】1．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值；
（2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围.
【变式4-3】2．（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，．
（1）若A与C关于点B对称，求x的值；
（2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．
题型5 含参绝对值不等式已知解集问题
类型1 已知解集问题
【例题5-1】（2020·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【变式5-1】1．（2020·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为，则m＝________．
【变式5-1】2．（2019·全国·高一课时练习）关于的不等式的解集为，则实数________
类型2 绝对值不等式与充分条件必要条件结合问题
【例题5-2】（2020·全国·高一课时练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】1．（2019·全国·高一课时练习）如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
类型3 恒成立问题
【例题5-3】（2019·全国·高一课时练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【变式5-3】1．（2020·全国·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是________．
【变式5-3】2．（2020·全国·高一课时练习）若关于的不等式在[﹣1,1]上恒成立，则实数的取值范围为________；
【变式5-3】3．（2020·全国·高一课时练习）已知，则“”是“恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
类型4 有解问题
【例题5-4】（2020·全国·高一课时练习）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_____
类型5 最值问题
【例题5-5】（2019·全国·高一课时练习）已知有理数满足：，若的最小值为，最大值为，则_______.
类型6 含参整数解问题问题
【例题5-6】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
类型7 含参不等式取值范围问题
【例题5-7】（2021·全国·高一课时练习）已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.