2.2.4均值不等式及其应用
常考题型目录
题型1 直接法求最值 4
题型2 配凑法求最值 9
题型3 消元法求最值 11
题型4 常数“1”——分子分母型之“分母是单项式” 13
题型5 常数“1”——分母型之分母是多项式 14
题型6 多次使用均值不等式 16
题型7 换元法 18
题型8 恒成立 18
题型9 调和平均数 21
题型10 实际应用 21
知识梳理：
知识点一：均值不等式的证明
方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图)
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法2：代数法
∵，当时，；
当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.
注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点二：均值不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点三：用均值不等式求最大（小）值
在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.
知识点四：均值不等式的变形
均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件
a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R a2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b| 当且仅当a=b时等号成立
a,b同号 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R (n>0) 当且仅当a=b时等号成立
题型分类
题型1 直接法求最值
【例题1-1】三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
【答案】C
【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.
【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.
图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.
由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.
【变式1-1】1．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【答案】④【解析】结合均值不等式进行逐个判定，①③直接利用均值不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），
即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；
故④成立.故答案为：④.
【变式1-1】2．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用均值不等式的性质比较大小即可.
【详解】由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.因为，故排除C.故选：B
【变式1-1】3．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【答案】B
【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.
【变式1-2】1.已知，则的最小值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】，则，当且仅当即时取得最小值6．选：A．
【变式1-2】2．已知，则的最大值为______________;
【答案】
【解析】当时，，，然后利用均值不等式求最大值即可.
【详解】当时，，，当且仅当即时等号成立.故答案为：.
【变式1-2】3．若，则的最小值为_____________．
【答案】【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：
【变式1-3】1．已知x ，且，则的最大值为___________
【答案】或【详解】因为且，所以，即，
当且仅当，即且时取等号，此时取最大值为.故答案为：.
【变式1-3】2．若正数x，y满足，则的最大值为___________．
【答案】4【详解】因为，，故由均值不等式可知，，即，
当且仅当时，即，时，取得最大值4.故答案为：4.
【变式1-4】1．设正实数满足，则的最小值为______．
【答案】【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．故答案为：．
【变式1-4】2．已知，则的最大值是___________.
【答案】【详解】
由均值不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此的最大值为，故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用均值不等式求积的最大值，解题的关键就是对代数式进行配凑，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题.
【变式1-4】3.已知实数满足，则的最大值为___________.
【答案】1【详解】因实数满足，则，当且仅当时取“=”，
由且解得或，
所以当或时，取最大值1.故答案为：1
【变式1-4】4.若，，，则的最小值为________
【答案】【详解】因为，且，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.
【变式1-5】1．已知正实数满足，求的最大值，并求取得最大值时的值；
【答案】(1)时，取得最大值．
【解析】(1)因为，所以，当且仅当时等号成立，，，，
所以，，取等号时，（负的舍去），所以时，取得最大值．
【变式1-5】2．若正数x，y满足，则的取值范围是______．
【答案】因为，由均值不等式得：，令，则．化简得解得或（舍去），所以的取值范围为.故答案为：.
【变式1-5】3．若，，，则ab的最大值为______．
【答案】##4.5【解析】∵，，，∴，∵，∴，∵，∴解可得，则ab的最大值为．故答案为：．
【变式1-5】4.若关于x的不等式的解集为，则的取值范围为__________；
【答案】
【详解】由不等式的解集为可知，，且，即，
因为，则，从而，
当且仅当时，即时，取得最小值2，
所以，即的取值范围为.故答案为：.
【变式1-6】1.设，，则的最小值为
【答案】（1）9 【解析】（1）当且仅当时，“=”成立。
【变式1-6】2.已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
【答案】【分析】由已知进行分离，然后进行换元，结合均值不等式进行求解即可．
【详解】解：因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，令，，
则原式，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，故答案为：.
题型2 配凑法求最值
【例题2-1】已知，则的最小值为_________.
【答案】1【详解】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为1.故答案为：1
【变式2-1】1．已知，则的最小值为________．
【答案】因为，所以，所以.当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：
【变式2-1】2．已知，当取到最小值时，的值为__________.
【答案】3【详解】解：因为.由题得.当且仅当时等号成立.故答案为：3
【变式2-1】3．已知，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：
【点睛】利用均值不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【例题2-2】已知，则的最大值为______．
【答案】4【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为4.故答案为：4
【变式2-2】1．若，则的最大值是 _______
【答案】【分析】即可求得最值.
【详解】，故，则，
当且仅当即时取“=”，故答案为：.
【变式2-2】2.设，求函数y=4x(3-2x)的最大值。
答案：
解析：∵∴∴当且仅当即时等号成立
【变式2-3】1．设，，，则的最大值是______________.
【答案】
【解析】，
∴，
当且仅当，即时等号成立.故答案为：.
【变式2-3】2．若，则的最大值是___________.
【答案】【分析】先求解出的取值范围，然后利用均值不等式求解出最大值.
【详解】因为，所以，又，
取等号时，即，所以的最大值为，故答案为：.
题型3 消元法求最值
【例题3】已知正数 满足，则的最大值是___________.
【答案】-1【详解】由题意，，∴，
当且仅当，即时等号成立.∴的最大值是.故答案为：
【变式3-1】1．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
【答案】##
【详解】由得，又，为正实数，所以，得，则，，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为，故答案为：
【变式3-1】2.若正数、满足，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】正数、满足，，解得，
，
当且仅当时等号成立，的最大值为
【变式3-1】3.若正数满足 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，即：，
当且仅当，即时取等号
【变式3-1】4.已知正数x,y满足
答案：
【变式3-1】5．已知，，为正数，且满足，求的最小值．
【答案】
【解析】由可得，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
题型4 常数“1”——分子分母型之“分母是单项式”
【例题4】已知且，则的最小值为___________.
【答案】8【详解】因为且，所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，故答案为：8
【变式4-1】1．已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.
【变式4-1】2.已知，，且，则的最小值为______．
【答案】18【解析】等式变形为，则根据均值不等式即可得到答案．
【详解】解：已知，，且．，即：．
则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为18．故答案为：18．
【变式4-1】3.已知正实数，满足，则取到最小值时，__．
【答案】【分析】用“1”的代换凑配出定值后，根据等号成立的条件及，解得，再计算即可．
【详解】，
当且仅当时，等号成立，又，解得，
.故答案为：.
【变式4-1】4．若正数x，y满足，则的最小值是__________．
【答案】5【解析】先由条件得，再利用1的代换以及均值不等式求最值.
【详解】由条件，两边同时除以，得到，
那么
等号成立的条件是，即，即.
所以的最小值是5，故答案为： 5 ．
【变式4-1】5.若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．3
【答案】C【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3.故选：C.
【变式4-2】已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为___________.
【答案】【分析】由得出，进而得出，再由均值不等式得出最值.
【详解】由得
则
令
当且仅当，即时取等号即的取值范围为故答案为：
题型5 常数“1”——分母型之分母是多项式
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，设∴解得：
【例题5】已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
【答案】【解析】∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥×(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.
【变式5-1】1.已知，，，则的最小值为 .
【变式5-1】2.已，，，则的最小值为
【答案】8
【变式5-1】3.已知正数满足，则的最小值为_________.
【答案】1【分析】根据以及均值不等式1的代换计算即可.
【详解】
当且仅当时取等号.故答案为：1
题型6 多次使用均值不等式
【例题6-1若，，则的最小值为 .
【答案】4
【变式6-1】1.设，则的最小值是___________.
【答案】4【详解】
当且仅当，即，时等号成立.故答案为：4
【变式6-1】2.，则
A.6 B. C. D.
答案：
【变式6-1】3．已知x>y>0，求x2+的最小值.
【答案】8.
【分析】根据式子结构，利用两次均值不等式求出最值.
【详解】因为x>y>0，所以x-y>0，所以0所以x2+，当且仅当，即x=2，y=1时，等号成立，
故x2+的最小值为8.
【变式6-2】1．若已知a，b，c均为正数，则的最小值为______．
【答案】【详解】解：因为、、，所以，当且仅当时取等号；故的最小值为；故答案为：
【变式6-2】2．已知，，均为正数，则的最大值为______．
【答案】
【分析】先利用均值不等式判断出，即可求出的最大值.
【详解】因为，（当且仅当时取等号）．
所以，所以，
的最大值为.故答案为：.
【变式6-3】设，，，则的最小值为 .
【答案】
题型7 换元法
【例题7-1】已知实数、、满足且，，则的取值范围是______.
【答案】【分析】令，则，由已知条件得出，再结合均值不等式可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】令，则，因为且，则，可得，
因为，则，则，
所以，，即，
所以，，即，解得，
综上所述，.故答案为：.
题型8 恒成立
【例题8-1】已知，，若不等式恒成立，则正实数的最小值是_____.
【答案】
【分析】结合均值不等式可得到不等式，解不等式可求得结果.
【详解】，，，
（当且仅当，即时等号成立），由题意知：，整理得：，解得：，正实数的最小值是.故答案为：.
【变式8-1】1．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D【详解】由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．故选：．
【变式8-1】2．若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】【解析】【分析】原不等式可转化为根据均值不等式和不等式恒成立思想可求得答案.
【详解】原不等式可转化为又a>0，则当且仅当
即时，等号成立，则根据恒成立的意义可知解得故答案为：
【变式8-1】3.已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C．， D．，，
【答案】B
【解析】，，且，，当且仅当，时取等号，恒成立，，解得
【变式8-1】4.已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．
【答案】【分析】由均值不等式求得的最小值，解不等式可得的范围．
【详解】∵，，，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，
故答案为：．
【变式8-1】5.对任意实数不等式恒成立，则实数a的最大值
A.2 B.4 C. D.
【变式8-1】6.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围
【答案】
【解析】
题型9 调和平均数
【例题9-1】设，已知，则的最小值为__________.
【答案】32【分析】将变为，然后利用平方平均数与调和平均数的大小关系求得的最小值.
【详解】即，所以由得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
题型10 实际应用
【例题10】某公司租地建仓库，每月租地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库，则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.那么要使每月的两项费用之和最小，仓库应建在离车站____处.
【答案】5 km
【分析】由题意求出两项费用分别关于距离的关系式，从而求出两项费用之和关于距离的关系式，结合均值不等式即可求出所求.
【详解】设仓库建在离车站x km处，每月租地费用y1=（k1≠0），每月运输费用y2=k2x（k2≠0）.把x=10，y1=2代入y1=，得k1=20；把x=10，y2=8代入y2=k2x，得k2=，
故每月两项费用之和y=，当且仅当，即x=5时等号成立.
故答案为：5 km
【变式10-1】1．有10辆货车从A站匀速驶往2000千米的B站，其时速都是千米/小时，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度不计），设第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间小时.
（1）求(用含有和的代数式表示）；
（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.
【答案】（1），；（2），.
【解析】（1）由时间路程/速度，代入具体数值，即得解；
（2）转化，利用均值不等式即得解
【详解】（1）由题意，时间路程/速度因此
（2）当时，当且仅当，即时，等号成立故当时，
【变式10-1】2．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.
（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.
【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.
【解析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；
（2）由（1）可得，利用均值不等式可得出广告面积的最小值．
【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，
广告的高为，宽为(其中)
广告的面积
（2）由，所以
当且仅当，即时取等号，此时.
故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.
【变式10-1】3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
（1）设米，要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积.
【答案】（1）；（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米.
【解析】（1）由题意，因为，则对应线段成比例可知AM，
表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）由(1)的表达式构造均值不等式满足的条件，求出S的最大值即可；
【详解】解：（1）由题设知米，（），则∵ ，∴ ，
∴ ∴矩形AMPN的面积∴
∴，解得或 故.
（2）解法一:由(1)得 ，矩形AMPN的面积
=， 当且仅当，即时，等号成立.
解法二：换元法，令，则，
矩形AMPN的面积，
当且仅当，即时，等号成立.答：（1）；
（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米.
【变式10-1】4.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x >25时，不等式有解，等价于x >25时, 有解,利用均值不等式,可以求得a.
【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.2.2.4均值不等式及其应用
常考题型目录
题型1 直接法求最值 4
题型2 配凑法求最值 5
题型3 消元法求最值 5
题型4 常数“1”——分子分母型之“分母是单项式” 6
题型5 常数“1”——分母型之分母是多项式 6
题型6 多次使用均值不等式 7
题型7 换元法 7
题型8 恒成立 7
题型9 调和平均数 8
题型10 实际应用 8
知识梳理：
知识点一：均值不等式的证明
方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图)
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法2：代数法
∵，当时，；
当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.
注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点二：均值不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点三：用均值不等式求最大（小）值
在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.
知识点四：均值不等式的变形
均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件
a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R a2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b| 当且仅当a=b时等号成立
a,b同号 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R (n>0) 当且仅当a=b时等号成立
题型分类
题型1 直接法求最值
【例题1-1】三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
【变式1-1】1．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【变式1-1】2．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
【变式1-2】1.已知，则的最小值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式1-2】2．已知，则的最大值为______________;
【变式1-2】3．若，则的最小值为_____________．
【变式1-3】1．已知x ，且，则的最大值为___________
【变式1-3】2．若正数x，y满足，则的最大值为___________．
【变式1-4】1．设正实数满足，则的最小值为______．
【变式1-4】2．已知，则的最大值是___________.
【变式1-4】3.已知实数满足，则的最大值为___________.
【变式1-4】4.若，，，则的最小值为________
【变式1-5】1．已知正实数满足，求的最大值，并求取得最大值时的值；
【变式1-5】2．若正数x，y满足，则的取值范围是______．
【变式1-5】3．若，，，则ab的最大值为______．
【变式1-5】4.若关于x的不等式的解集为，则的取值范围为__________；
【变式1-6】1.设，，则的最小值为
【变式1-6】2.已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
题型2 配凑法求最值
【例题2-1】已知，则的最小值为_________.
【变式2-1】1．已知，则的最小值为________．
【变式2-1】2．已知，当取到最小值时，的值为__________.
【变式2-1】3．已知，则的最小值为___________.
【例题2-2】已知，则的最大值为______．
【变式2-2】1．若，则的最大值是 _______
【变式2-2】2.设，求函数y=4x(3-2x)的最大值。
【变式2-3】1．设，，，则的最大值是______________.
【变式2-3】2．若，则的最大值是___________.
题型3 消元法求最值
【例题3】已知正数 满足，则的最大值是___________.
【变式3-1】1．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
【变式3-1】2.若正数、满足，则的最大值为
A． B． C． D．
【变式3-1】3.若正数满足 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】4.已知正数x,y满足
【变式3-1】5．已知，，为正数，且满足，求的最小值．
题型4 常数“1”——分子分母型之“分母是单项式”
【例题4】已知且，则的最小值为___________.
【变式4-1】1．已知正实数满足，则的最小值为___________.
【变式4-1】2.已知，，且，则的最小值为______．
【变式4-1】3.已知正实数，满足，则取到最小值时，__．
【变式4-1】4．若正数x，y满足，则的最小值是__________．
【变式4-1】5.若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．3
【变式4-2】已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为___________.
题型5 常数“1”——分母型之分母是多项式
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，设∴解得：
【例题5】已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
【变式5-1】1.已知，，，则的最小值为 .
【变式5-1】2.已，，，则的最小值为
【变式5-1】3.已知正数满足，则的最小值为_________.
题型6 多次使用均值不等式
【例题6-1若，，则的最小值为 .
【变式6-1】1.设，则的最小值是___________.
【变式6-1】2.，则
A.6 B. C. D.
【变式6-1】3．已知x>y>0，求x2+的最小值.
【变式6-2】1．若已知a，b，c均为正数，则的最小值为______．
【变式6-2】2．已知，，均为正数，则的最大值为______．
【变式6-3】设，，，则的最小值为 .
题型7 换元法
【例题7-1】已知实数、、满足且，，则的取值范围是______.
题型8 恒成立
【例题8-1】已知，，若不等式恒成立，则正实数的最小值是_____.
【变式8-1】1．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【变式8-1】2．若不等式（a>0）恒成立，则实数a的取值范围是________.
【变式8-1】3.已知、，且，若恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C．， D．，，
【变式8-1】4.已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．
【变式8-1】5.对任意实数不等式恒成立，则实数a的最大值
A.2 B.4 C. D.
【变式8-1】6.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围
题型9 调和平均数
【例题9-1】设，已知，则的最小值为__________.
题型10 实际应用
【例题10】某公司租地建仓库，每月租地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10 km处建仓库，则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.那么要使每月的两项费用之和最小，仓库应建在离车站____处.
【变式10-1】1．有10辆货车从A站匀速驶往2000千米的B站，其时速都是千米/小时，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度不计），设第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间小时.
（1）求(用含有和的代数式表示）；
（2）假设，试确定当为何值时，取得最小值，并求出的最小值.
【变式10-1】2．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.
（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.
故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.
【变式10-1】3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
（1）设米，要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积.
【变式10-1】4.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
