2.2.3一元二次不等式的解法 题型分类讲义(含答案)

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名称 2.2.3一元二次不等式的解法 题型分类讲义(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-09-30 04:50:36

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2.2.3一元二次不等式的解法
常考题型目录
题型1 一元二次不等式 3
类型1 一元二次不等式 4
类型2 一元二次不等式组 4
题型2 含参一元二次不等式的解法 5
类型1 可以因式分解型 5
类型2 不能因式分解型 5
题型3 分式不等式 5
题型4 含参分式不等式求解 6
题型5 实际问题 7
知识梳理:
知识点一 一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1                   
知识点四 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
方程的根→函数草图→观察得解,对于的情况可以化为的情况解决
注:对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况,当二次项系数为0时,按照一次不等式来解决,对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注:对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解,然后就二次方程根进行分类讨论,同时注意判别式韦达定理的应用。
注: 三个“二次”之间的关系
(1).三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.
知识点五 解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六 分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
【注意】当分式右侧不为0时,可过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母。
题型分类
题型1 一元二次不等式
1.知识清单:解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法:
①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);
②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
2.方法归纳:数形结合,分类讨论.
3.常见误区:当二次项系数小于0时,需两边同乘-1,化为正的.
类型1 一元二次不等式
【例题1-1】解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;(2)3x2+5x-2≥0;(3)x2-4x+5>0.
【变式1-1】1.解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;(2)-x2+6x-10>0.(3)9x2+6x+1≤0
【变式1-1】2.(2019·全国Ⅰ)已知集合M={x|-4A.{x|-4【变式1-1】3.下列四个不等式:
①-x2+x+1≥0;②x2-2x+>0;③x2+6x+10>0;④2x2-3x+4<1.
其中解集为R的是(  )
A.① B.② C.③ D.④
【变式1-1】4.在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为(  )
A.{x|01} D.{x|-1【变式1-1】5.集合,,则__________.
【变式1-1】6.若的解集为,则______
【变式1-1】7.不等式的解集为___________.
类型2 一元二次不等式组
【例题1-2】解不等式组:
【变式1-2】1.不等式的解集是 __.
【变式1-2】2.解不等式-1题型2 含参一元二次不等式的解法
类型1 可以因式分解型
【例题2-1】设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
【变式2-1】1.若0A. B.
C. D.
【变式2-1】2.解不等式,
【变式2-1】3.解关于的不等式:.
【变式2-1】4.(1)当a=时,求关于x的不等式x2-x+1≤0的解集;
(2)若a>0,求关于x的不等式x2-x+1≤0的解集.
类型2 不能因式分解型
【例题2-2】解不等式 .
【变式2-2】1.(2021·江苏·高一专题练习)解关于x的不等式.
【变式2-2】2.(2022·全国·高一专题练习)解关于的不等式 .
题型3 分式不等式
【例题3】解下列不等式:(1)<0;   (2)≤1.
【变式3-1】1.解下列不等式:(1)≥0;(2)>1;(3)≥1;(4)≥0;(5)≥1.
【变式3-1】2.与不等式≥0同解的不等式是(  )
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0
【变式3-1】3.不等式>0的解集为(  )
A.{x|x>-1且x≠2} B.{x|x>-1}
C.{x|-12}
【变式3-1】4.不等式<2的解集为(  )
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
【变式3-1】5.不等式<的解集是(  )
A.(-7,+∞) B.(-∞,7) C.(-7,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)∪(3,7)
【变式3-2】1.设,则“”是“”______的条件.(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”)
【变式3-2】2.下列各组不等式,同解的一组是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【变式3-2】3.下列各组不等式中同解的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
题型4 含参分式不等式求解
【例题4】4.若实数a,b满足a+b<0,则不等式<0的解集为__________.
【变式4-1】1.解关于x的不等式>0(a∈R).
【变式4-1】2.若关于的不等式;
(1)当时,求它的解集;(2)若,求不等式的解集.
【变式4-1】3.解关于x的不等式,其中|a|≠1.
【变式4-1】4.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为(  )
A.{x|x>1或x<-2} B.{x|1C.{x|x>2或x<-1} D.{x|-1题型5 实际问题
【例题5】要在长为800m,宽为600m的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉的宽度相同),中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半,则花卉宽度的范围是___________.
【变式5-1】1.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x>0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
【变式5-1】2.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件定价多少元?
【变式5-1】2.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.
【变式5-1】3.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x%,八月份的销售额比七月份增加x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元,则x的最小值为________.
【变式5-1】4.某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问:
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的取值范围;
(2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值;
(3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值.2.2.3一元二次不等式的解法
常考题型目录
题型1 一元二次不等式 3
类型1 一元二次不等式 4
类型2 一元二次不等式组 6
题型2 含参一元二次不等式的解法 7
类型1 可以因式分解型 7
类型2 不能因式分解型 8
题型3 分式不等式 10
题型4 含参分式不等式求解 14
题型5 实际问题 15
知识梳理:
知识点一 一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数
知识点二 一元二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1                   
知识点四 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
方程的根→函数草图→观察得解,对于的情况可以化为的情况解决
注:对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况,当二次项系数为0时,按照一次不等式来解决,对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注:对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解,然后就二次方程根进行分类讨论,同时注意判别式韦达定理的应用。
注: 三个“二次”之间的关系
(1).三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.
知识点五 解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六 分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
【注意】当分式右侧不为0时,可过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母。
题型分类
题型1 一元二次不等式
1.知识清单:解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法:
①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);
②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
2.方法归纳:数形结合,分类讨论.
3.常见误区:当二次项系数小于0时,需两边同乘-1,化为正的.
类型1 一元二次不等式
【例题1-1】解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;(2)3x2+5x-2≥0;(3)x2-4x+5>0.
【解析】(1)不等式可化为x2-5x+6<0.
因为Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,所以方程x2-5x+6=0有两个实数根:x1=2,x2=3.
由二次函数y=x2-5x+6的图象(如图①),得原不等式的解集为{x|2(2)因为Δ=25-4×3×(-2)=49>0,所以方程3x2+5x-2=0的两实根为x1=-2,x2=.
由二次函数y=3x2+5x-2的图象(图②),得原不等式的解集为.
(3)方程x2-4x+5=0无实数解,函数y=x2-4x+5的图象是开口向上的抛物线,与x轴无交点(如图③).观察图象可得,不等式的解集为R.
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b2-4ac;第三步:若Δ<0,根据二次函数图象直接写出解集;若Δ≥0,求出对应方程的根写出解集.
【变式1-1】1.解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;(2)-x2+6x-10>0.(3)9x2+6x+1≤0
【解析】 (1)∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,
∴原不等式的解集为 .
(3)原不等式可化为(3x+1)2≤0,∴3x+1=0,∴x=-.
【变式1-1】2.(2019·全国Ⅰ)已知集合M={x|-4A.{x|-4【答案】 C
【解析】∵N={x|-2【变式1-1】3.下列四个不等式:
①-x2+x+1≥0;②x2-2x+>0;③x2+6x+10>0;④2x2-3x+4<1.
其中解集为R的是(  )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】 C
【解析】①显然不可能;②中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;③中Δ=62-4×10<0.满足条件;④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能.故选C.
【变式1-1】4.在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为(  )
A.{x|01} D.{x|-1【答案】 B
【解析】根据给出的定义得,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2【变式1-1】5.集合,,则__________.
【答案】【分析】解出集合P和集合M,用交集计算法则计算出正确【答案】﹒
【详解】
故【答案】为:
【变式1-1】6.若的解集为,则______
【答案】由解得:,即集合,
所以故【答案】为:.
【变式1-1】7.不等式的解集为___________.
【答案】.【分析】对分类讨论,即可求解.
【详解】当时,得或,当时,则,解得
综上可得不等式的解集为.故【答案】为:.
类型2 一元二次不等式组
【例题1-2】解不等式组:
【答案】
【详解】故不等式的解集为.
【变式1-2】1.不等式的解集是 __.
【答案】【分析】直接利用不等式组的解法的应用求解即可.
【详解】不等式整理得,解得,
则不等式的解集是.故【答案】为:.
【变式1-2】2.解不等式-1【答案】 原不等式可化为即即
所以
如图,结合数轴,可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0题型2 含参一元二次不等式的解法
类型1 可以因式分解型
【例题2-1】设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
【解析】(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时,方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.
①当a<-时,解不等式得-②当a=-时,不等式无解,即原不等式的解集为 ;
③当-④当a>0时,解不等式得x<-或x>2,即原不等式的解集为.
特别提醒:对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算.
【变式2-1】1.若0A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】∵01>m,故原不等式的解集为,故选D.
【变式2-1】2.解不等式,
【解析】解:原不等式可化为:,
对应方程的两根为 ,
当时,即,解集为;
当时,即,解集为
【变式2-1】3.解关于的不等式:.
【答案】见解析【详解】原不等式可化为,讨论与的大小.
(1)当,即时,不等式的解为或;(2)当,即时,不等式的解为;(3)当,即时,不等式的解为或.
综上:当时,不等式的解为或;当时,不等式的解为;当时,不等式的解为或.
【变式2-1】4.(1)当a=时,求关于x的不等式x2-x+1≤0的解集;
(2)若a>0,求关于x的不等式x2-x+1≤0的解集.
【解析】(1)当a=时,有x2-x+1≤0,即2x2-5x+2≤0,解得≤x≤2,故不等式的解集为.
(2)x2-x+1≤0 (x-a)≤0,
①当01时,a>,不等式的解集为.
综上,当0当a>1时,不等式的解集为.
类型2 不能因式分解型
【例题2-2】解不等式 .
【解析】∵ ∴当即时,解集为;
当即Δ=0时,解集为;
当或即,此时两根分别为,,显然, ∴不等式的解集为
【解析】按判别式的符号分类,即
【变式2-2】1.(2021·江苏·高一专题练习)解关于x的不等式.
【答案】【答案】见解析.
【分析】分,,三种情况进行讨论,在时直接求解范围,在与时判断的正负,有根的情况下判断根的大小,即可的解.
【详解】解:(1)当时,原不等式,解得,不等式解集为;
(2)当时,,
开口向上,由图象得:
若时,,的两个零点为,,不等式的解集为;若时,,不等式解集为;
(3)当时,,的两个零点为,开口向下,由图象得不等式解集为;综上可知,当时不等式解集为;
当时,不等式解集为;当时,不等式解集为;当时,不等式解集为.
【变式2-2】2.(2022·全国·高一专题练习)解关于的不等式 .
【答案】分类讨论,【答案】见解析.【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解.
【详解】方程中,
①当即时,不等式的解集是,
②当,即时,不等式的解集是,
③当即时,由解得:,时,不等式的解集是或,
综上,时,不等式的解集是,时,不等式的解集是,
时,不等式的解集是或,
题型3 分式不等式
【例题3】解下列不等式:(1)<0;   (2)≤1.
【解析】(1)<0 (2x-5)(x+4)<0 -4(2)∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,即≥0.此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.
反思感悟 分式不等式的解法:先通过移项、通分整理,再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母即可.
【变式3-1】1.解下列不等式:(1)≥0;(2)>1;(3)≥1;(4)≥0;(5)≥1.
【解析】(1)原不等式可化为解得∴x<-或x≥,∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或解得或∴-3方法二 原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,
∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3(3)【解析】不等式≥1,移项得-1≥0,即≤0,可化为或解得≤x<2,则原不等式的解集为.
(4)【解析】由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.
(5)【解析】∵≥1,∴-1≥0,∴≥0,即≤0,等价于(x-2)(x+1)<0或x-2=0,故-1【变式3-1】2.与不等式≥0同解的不等式是(  )
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0
【答案】 B
【解析】解不等式≥0,得2A.不等式(x-3)(2-x)≥0的解是2≤x≤3,故不正确.B.不等式00的解是2【变式3-1】3.不等式>0的解集为(  )
A.{x|x>-1且x≠2} B.{x|x>-1}
C.{x|-12}
【答案】 A
【解析】原不等式可化为>0 ∴x>-1且x≠2.故选A.
【变式3-1】4.不等式<2的解集为(  )
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
【答案】 A
【解析】∵x2+x+1>0恒成立,∴原不等式 x2-2x-2<2x2+2x+2 x2+4x+4>0 (x+2)2>0,
∴x≠-2.∴不等式的解集为{x|x≠-2}.
【变式3-1】5.不等式<的解集是(  )
A.(-7,+∞) B.(-∞,7) C.(-7,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3)∪(3,7)
【答案】C【分析】由题可得,解之即得.
【详解】原不等式可化为,解得且.故选:C.
【变式3-2】1.设,则“”是“”______的条件.(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”)
【答案】必要不充分
【解析】分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集,再结合充分必要条件的判定即可.
【详解】由,得,由,得,解得,
所以,所以“”“”,反之不成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.故【答案】为:必要不充分
【变式3-2】2.下列各组不等式,同解的一组是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】D【分析】分别求出每个选项中的两个不等式的解集,比较解集即可得正确选项.
【详解】对于A:由可得,解得:,所以的解集为:,由可得,即,
所以,解得:或,所以不等式的解集为,所以解集不同,故选项A不正确;
对于B:由可得:,即,解集为:,不等式的解集为,所以解集不同,故选项B不正确;
对于C:由可得,解得:且,所以不等式的解集为且,而不等式的解集为,所以解集不同,故选项C不正确;
对于D:由解得:或,所以不等式的解集为或,由可得,所以,因为,所以,所以,解集为或,所以解集相同,故选项D正确;
故选:D.
【变式3-2】3.下列各组不等式中同解的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】C【分析】A:中x需要满足x≠1,但是不需要这个条件,
B:需要满足x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2,D:的解集为x<3且x≠-1,即可得出选项.
【详解】A:中x需要满足x≠1,但是不需要这个条件,所以两个不等式的解集不相同,故A不正确;
B:需要满足x2-3x+2≠0,即x≠1且x≠2,所以解集为x<5且x≠1且x≠2,但左边解集为x<5,所以解集不同,故B不正确;
C:的解集为x>3,与x-3>0的解集相同,故C正确;
D:的解集为x<3且x≠-1,而x-3<0的解集为x<3,所以解集不相同;故选C.
题型4 含参分式不等式求解
【例题4】4.若实数a,b满足a+b<0,则不等式<0的解集为__________.
【答案】 {x|x>-a或x【解析】原不等式等价于(x+a)(b-x)<0 (x-b)(x+a)>0.又a+b<0,所以b<-a.所以原不等式的解集为{x|x>-a或x【变式4-1】1.解关于x的不等式>0(a∈R).
【解析】原不等式可化为<0,即(x+1)(x-a)<0,
①当a=-1时,x∈ ;②当a>-1时,{x|-1综上,a=-1时,不等式的解集为 ,a>-1时,不等式的解集为{x|-1a<-1时,不等式的解集为{x|a【变式4-1】2.若关于的不等式;
(1)当时,求它的解集;(2)若,求不等式的解集.
【答案】(1);
(2)时,;时,;时,
【变式4-1】3.解关于x的不等式,其中|a|≠1.
【答案】;.
【变式4-1】4.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为(  )
A.{x|x>1或x<-2} B.{x|1C.{x|x>2或x<-1} D.{x|-1【答案】 C
【解析】x=1为ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b,∵ax-b>0的解集为{x|x>1},
∴a>0,故=>0,等价为(x+1)(x-2)>0.∴x>2或x<-1.
题型5 实际问题
【例题5】要在长为800m,宽为600m的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉的宽度相同),中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半,则花卉宽度的范围是___________.
【答案】【分析】设花卉宽度为,求出草皮面积,解不等式即可得,注意未知数的实际意义.
【详解】设花卉宽度为,显然,则草皮面积为,
由,,又,故解得.
故答案为:.
【变式5-1】1.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x>0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).依题意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,
化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.又因为0即x的取值范围为{x|0反思感悟 解不等式应用题的步骤
【变式5-1】2.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件定价多少元?
【解析】(1)设每件定价为t元,依题意得t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意得当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+有解,等价于当x>25时,a≥++有解.由于+≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,
所以a≥10.2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【变式5-1】2.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.
【答案】 80
【解析】根据题意,得x+x2≥40.移项整理,得x2+10x-7 200≥0.
显然Δ>0,x2+10x-7 200=0有两个实数根,即x1=80,x2=-90,
然后,根据二次函数y=x2+10x-7 200的图象(图略),得不等式的解集为{x|x≤-90或x≥80}.在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.
【变式5-1】3.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x%,八月份的销售额比七月份增加x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元,则x的最小值为________.
【答案】 20
【解析】由题意得七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销售额为500(1+x%)2万元,记一月份至十月份的销售总额为y万元,则y=3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,解得1+x%≤-(舍去)或1+x%≥,即x%≥20%,所以xmin=20.
【变式5-1】4.某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问:
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的取值范围;
(2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值;
(3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值.
【解析】税率为P%时,销售量为(80-10P)万件,即销售额为y1=80(80-10P),
税金为y2=80(80-10P)·P%,其中0(1)由解得2≤P≤6.
(2)∵y1=80(80-10P)(2≤P≤6),∴当P=2时,y1取最大值,为4 800万元.
(3)∵0