2.2 基本不等式 训练-2022-2023学年上学期高一数学人教A版（2019）必修第一册洞悉课后习题（含解析）

2.2 基本不等式——高一数学人教A版（2019）必修第一册洞悉课后习题
（一）教材课后习题
1.（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
2.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
3.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
4.已知x，y，z都是正数，求证：.
5.已知，求证：的最大值是.
6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费(单位：万元)与x.成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
8.设矩形的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P.设，求的最大面积及相应x的值.
（二）定点变式训练
9.若正实数a，b满足，则b的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.
10.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.下列各式中,对任意实数x都成立的一个式子是( )
A. B. C. D.
12.若正数a，b满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
13.已知正实数a，b满足，则的最小值为________.
14.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____________.
15.甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元.
(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(1)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
16.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）.
（1）求S关于x的函数关系式;
（2）求S的最大值.
答案以及解析
1、（1）答案：3
解析： .
.
当且仅当，即时取“=”，
的最小值为3.
（2）答案：5
解析：由知.
当或10时，；
当时，，.
当且仅当，即时取“=”，
的最大值为5.
2、（1）答案：当这两个正数均为6时，它们的和最小
解析：解：设两个正数为a，b，则，且，
所以，当且仅当时取等号.
所以当这两个正数均为6时，它们的和最小.
（2）答案：当这两个正数均为9时，它们的积最大
解析：设两个正数分别为a，b，则，且，
所以，当且仅当时取等号.
所以当这两个正数均为9时，它们的积最大.
3.答案：房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为63400元
解析：解：设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为z元，
则，
即.
当，即时，z有最小值，最低总造价为63400元.
答：房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为63400元.
4.答案： ，
，
，
.
5.答案：证明：，当且仅当，
即时取“=”，的最小值为，
的最大值为.
6.答案：应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，为8万元
解析：解：设，当时，，
..
两项费用之和为，
当且仅当，即时取“=”.即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，为8万元.
7.答案：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，
.
当且仅当，即时取“=”，但,不能取“=”，即.顾客购得的黄金大于.
8.答案：如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，易证.在中，由勾股定理得，即，解得，所以.
所以的面积
.
由基本不等式与不等式的性质，得.
当，即时，的面积最大，最大面积是.
9.答案：C
解析：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以.
因为，所以，解得，
所以b的最大值为.
10.答案：B
解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.
11.答案：C
解析：对于A，当时，无意义，故A不恒成立；对于B，当时，，故B不恒成立；对于D，当时，，故D不恒成立；对于C,，所以恒成立.故选C.
12.答案：D
解析：本题考查基本不等式.因为，，且，所以，，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.
13.答案：18
解析：因为，所以.
又，当且仅当，即时，等号成立，所以，即.故最小值为18.
14.答案：30
解析：设总费用为y万元，则，当且仅当时，等号成立，故x的值是30.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意，得可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，
所以，定义域为.
(2)(元)，
当，得，
因为，
所以当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小.
16.答案：（1）,（2）
解析：（1）由题得，.
（2）因为，
所以,
当且仅当时，等号成立，
所以.
故当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为.