第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习参考题训练（含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习参考题——高一数学人教A版（2019）必修第一册洞悉课后习题
（一）教材课后习题
1.某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.
2.用不等式“>”或“<”填空：
（1）若，且，则_______0；
（2）若，则_______；
（3）若，则_______.
3.（1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？
（2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？
4.求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5.若，且，求ab的取值范围.
6.当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
7.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
8.相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题.请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由.
相等关系 不等关系
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误
(1)若，则 (1)若，则 正确
9.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.
10.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
（二）定点变式训练
11.若,,则下列不等关系中不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
12.设,,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
13.已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
15.对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
16.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增加，八月份销售额比七月份增加，九、月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少要达7000万元，则x的最小值是_________.
17.已知a，b为正实数，且，则的最小值为____________.
18.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____________.
19.解关于x的不等式.
20.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶150千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时20元.
（1）求这次行车总费用y（单位：元）关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.
答案以及解析
1.答案：见解析
解析：设A型号帐篷有x顶，则B型帐篷有顶，
2、（1）答案：<
解析：.
.
（2）答案：>
解析：.
.
（3）答案：>
解析：.
，
.
3、（1）答案：设扇形的半径为x，弧长为y，周长为z.
因为，所以扇形的周长.
当，即时，z可以取到最小值，最小值为.
（2）答案：半径为时，扇形的面积最大，为
解析：设扇形的半径为x，弧长为y，面积为S.因为，
所以扇形的面积为.
当，即时，S可以取到最大值.
所以半径为时，扇形的面积最大，为.
4、（1）答案：
解析：由得.方程的根为.
原不等式的解集为；
（2）答案：
解析：，原不等式的解集为；
（3）答案：R
解析：，
原不等式的解集为R；
（4）答案：或
解析：将化为，即.
原不等式的解集为或.
5.答案：ab取最小值9
解析：，
.
.
当且仅当，即时，ab取最小值9.
6.答案：
解析：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，则二次函数的图象在x轴下方，即，得.当的，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.综上可知，.
7、（1）答案：这所公寓的窗户面积至少为20平方米
解析：设公寓窗户面积与地板面积分别为，，则
所以，所以，所以.
所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）答案：窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了
解析：设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积(面积单位都相同)，由题意得，则.
因为，所以.又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
8.答案：
答案不唯一，示例如下：
相等关系 不等关系
相等关系的命题 不等关系的命题 判断正误 理由
(1)若，则 (1)若，则 错误 时，正确，时，错误
(2)若，则 (2)若，则 错误 取，满足，但不成立
9.答案：由题意，有，又，有.
，
当且仅当，即时取“=”.
当时，S最小且元.
10.答案：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元，仍购，两次购物的平均价格为；若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.比较两次购物的平均价格：.
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济.一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济
11.答案：A
解析：对于A，若,，，，显然，故A不一定成立；
对于B，由,，知，故B一定成立；
对于C，由，知，故C一定成立；
对于D，由，知，则，故D一定成立.
12.答案：D
解析：，,,A,B不正确；
若，则,C不正确；
，，，D正确.故选D.
13.答案：C
解析：若，则，即①；
若，则，,,即②;
若，则，即③;
若，则>，,,即④.故选C.
14.答案：A
解析：不等式可化为,即,解得,所以该不等式的解集是,故选A.
15.答案：D
解析：当，即时，，恒成立，符合题意；当时，由题意知，，解得，，故选D.
16.答案：20
解析：由题意，得，化简得，解得(舍去)或.
17.答案：
解析：由可得，
则，
当且仅当即时等号成立.
故答案为.
18.答案：30
解析：设总费用为y万元，则，当且仅当时，等号成立，故x的值是30.
19.答案： (1)当时，原不等式化为，解集为.
(2)当时，原不等式化为，
此时，所以解集为.
(3)当时，原不等式化为.
①当时，，所以解集为或.
②当时，，所以解集为且.
③当时，，所以解集为或.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为且；
当时，解集为或.
20.答案：（1）因为行车所用的时间为小时，
所以.
（2）因为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，这次行车的总费用最低，最低为225元.