2.1.1等式的性质与方程的解集
常考题型目录
题型1 等式性质 3
题型2 恒等式 5
题型3 因式分解 7
题型4利用十字相乘法因式分解 9
类型1单变量多项式 9
类型2利用十字相乘法分解双变量多项式 10
题型5 完全平方式 11
题型6 化简求值 12
题型7 一元一次方程的解集 14
题型8 含参取值范围 15
题型9 新定义题型 18
知识梳理：
知识点一：等式的基本性质
(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
整理如下：
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二：恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三：.“十字相乘法”
对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
特别提醒
运用x +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.
知识点四：方程的解集
1. 方程的有关概念方程
方程：含有未知数的等式叫方程.
方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.
方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
解方程：求方程的解的过程叫解方程.
2.一元一次方程
一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程.
满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.
表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.
题型分类
题型1 等式性质
【例题1】（2022·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
【答案】B
【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；
B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.
【详解】A、，两边都加，得，故A正确；
B、时，两边都除以无意义，故B错误；
C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；
D、两边都乘以，故D正确；
故选：B．
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若，则a=b D．若x=y，则
【答案】D
【分析】利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答.
【详解】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；
对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；
对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确；
对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误．
故选：D
【变式1-1】2.（2021·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等式的性质即得.
【详解】由得.故选：C.
【变式1-1】3．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果 ，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】A.由时判断；B.由等式的性质判断；C.由时判断；D.由，得到或判断.
【详解】如果，当时，那么不成立，故A错误；
如果 ，由等式的性质知，故B正确；
如果当时，那么 不成立，故C错误；
如果，那么或，故D错误.故选：B.
【点睛】本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
【变式1-1】4.（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】取，可判断A； 或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D
【详解】选项A，当时，显然不成立；
选项B，如果，那么或，显然不成立；
选项C，当时，无意义，不成立；
选项D，如果，则，故，即，成立故选：D
题型2 恒等式
【例题2】（2022·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等式两边对任意使式子有意义的成立，依次验证即可
【详解】选项A，只有时，等式成立，故不是恒等式，A错；
选项B，对任意成立，B对；
选项C，只有时，等式成立，故不是恒等式，C错；
选项D，，故不是恒等式，D错故选：B
【变式2-1】1.（2021·全国·高一单元测试）若对任意实数，等式恒成立，则______，______.
【答案】 3 2
【分析】对应系数相等即可直接求出结果.
【详解】对应系数相等可得，故答案为：3；2.
【变式2-1】2．（2022·江苏南通·高一开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用立方和公式化简题设中的恒等式，从而可求的值.
【详解】因为，
故对任意实数都成立即为：
对任意实数都成立，
所以即，故，
故选：CD.
【变式2-1】3．（2022·上海·高一专题练习）若恒成立，则的值______．
【答案】5
【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.
【详解】因为，即恒成立，所以，所以.故答案为：5
【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.
【变式2-1】4．（2021·河南·周口恒大中学高一阶段练习）对于任意实数，等式恒成立，则___________
【答案】1
【分析】根据等式恒成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.
【详解】因为等式恒成立，
所以，所以.故答案为：1
【变式2-1】5．（2022·上海·高一专题练习）已知等式对任意实数都成立，则___________.
【答案】
【分析】根据等式对任意实数都成立，得对应项系数相等，求出可得结果.
【详解】因为等式对任意实数都成立，所以，所以.故答案为：.
【变式2-1】6．（2022·上海·高一专题练习）若等式恒成立，则常数a与b的和为______.
【答案】2
【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.
【详解】等式恒成立，即恒成立，则有，解之得，故故答案为：2
题型3 因式分解
【例题3】（2021·全国·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）______；
（5）______；
（6）x3－x______.
【答案】 x(x＋1)(x－1)
【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5），=;
（6）x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．
故答案为：，，，，，x(x＋1)(x－1).
【变式3-1】1．（2021·全国·高一课时练习）分解因式：______；______．
【答案】
【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解.
【详解】，=；
，，
故答案为：，
【变式3-1】2.（2022·全国·高一专题练习）（1）因式分解：-6x2+5x-1；
（2）因式分解：4x(x-a)+2y(a-x)+6(x-a)．
【答案】（1）-(2x-1)(3x-1)；（2）2(x-a)(2x-y+3).
【分析】（1）先提取-1，再利用十字相乘法分解因式即可；
（2）先变形，再提取公因式即可．
【详解】（1）-6x2+5x-1=-(6x2-5x+1)=-(2x-1)(3x-1)；
（2）4x(x-a)+2y(a-x)+6(x-a)=4x(x-a)-2y(x-a)+6(x-a)=2(x-a)(2x-y+3)．
【变式3-1】3.（2020·全国·高一学业考试）下列分解因式错误的是（ ）
A．-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4+4m=
C．-4+=-(2x+y)(2x-y) D．3ab++9=
【答案】B
【解析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误.
【详解】A选项根据十字相乘分解因式可知正确；
B选项中的1+4m-4m=(1-2m)，左右两边不相等，所以B是错的；
C选项根据平方差公式可知正确；
D选项根据完全平方公式可知正确.故选：B
【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题.
题型4利用十字相乘法因式分解
类型1单变量多项式
【例题4-1】 分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12.
【解析】(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).
【变式4-1】1.分解因式：(1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7；
(3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3.
【解析】 (1)得所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．
(2得所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
(3)得所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．
(4)得所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1).
【变式4-1】2. 把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；
(3)4m2－12m＋9＝________.
【解析】(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．
(3)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.
【变式4-1】3．把下列各式分解因式：
(1)x2＋15x＋56；(2)6x2＋7x－3；
【解析】(1)x2＋15x＋56＝(x＋7)(x＋8)；(2)6x2＋7x－3＝(2x＋3)(3x－1)；
【变式4-1】4.（2021·全国·高一课时练习）将下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3).
【答案】(1)(2)(3)
【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果.
(1)
(2)
(3)
【变式4-1】5.（2022·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；
【答案】（1）；（2）。
【分析】由十字相乘法即得.
【详解】（1）=；（2）=；
类型2利用十字相乘法分解双变量多项式
【例题4-2】把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.
【解析】 (1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(＋6)(－)；
(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋n)(m－n)(m2＋3n2)．
【变式4-2】1.把下列各式因式分解：
(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；
(4)6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y>0，z>0)．
【解析】 (1)(3m＋2n)(2m－3n)．(2)(4x＋3y)(5x－2y)．
(3)(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)．(4)(3＋2)(2＋)．
【变式4-2】2. 分解下列各因式：(1)x2－xy－2y2－2x＋7y－3；(2)ab－2a－b＋2.
【解析】(1)(x－2y)(x＋y)－2x＋7y－3＝(x－2y＋1)·(x＋y－3)；(2)(b－2)(a－1)．
【变式4-2】3.(1)x2－6xy－7y2；(2)8x2＋26xy＋15y2.
【解析】(1)x2－6xy－7y2＝(x－7y)(x＋y)；(2)8x2＋26xy＋15y2＝(2x＋5y)(4x＋3y)．
【变式4-2】4.(1)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；（2）；
（3）．
【解析】(1)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．
（2）=；
=．
【变式4-2】5．分解因式a2＋8ab－33b2得( )
A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b) C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
【解析】选B.a2＋8ab－33b2＝(a－3b)(a＋11b)．
【变式4-2】6．已知a＋b＝3，ab＝2，计算：a2b＋ab2等于( )
A．5 B．6 C．9 D．1
【解析】选B.a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.
题型5 完全平方式
【例题5】（2021·全国·高一课时练习）若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是_____．
【答案】9或﹣3【分析】根据完全平方式中间项系数的特点即可求解.
【详解】∵a2+（k-3）a+9是一个完全平方式，∴k-3=±6，解得：k=9或-3，
故答案为9或-3
【点睛】本题主要考查了完全平方式的知识，属于基础题.
【变式5-1】1.（2021·全国·高一课时练习）若是一个完全平方式，则的取值集合为_________
【答案】
【分析】根据是一个完全平方式，则有求解.
【详解】是一个完全平方式，，
，或，的取值集合为.故答案为：
【点睛】本题主要考查等式的性质以及完全平方式的应用，属于基础题.
【变式5-1】2．（2021·全国·高一课时练习）已知是多项式的一个因式，则______．
【答案】
【分析】由题意，转化为是方程的一个根，代入即得解
【详解】由题意，是多项式的一个因式，故是方程的一个根代入可得故答案为：
【变式5-1】3．（2022·全国·高一专题练习）不论为何实数，的值为（ ）
A．总是正数B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
【答案】A
【解析】先将配方可得，即可判断.
【详解】因为，
即的值总是正数，故选：A.
题型6 化简求值
【例题6】（2021·全国·高一单元测试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】BD
【分析】由x2＋xy－2y2＝0得或，分别代入原式可得结果.
【详解】由x2＋xy－2y2＝0得，得或，
当时， ；
当时， .故选：BD.
【点睛】本题考查了分解因式，属于基础题.
【变式6-1】1．（2020·全国·高一课时练习）已知，，求代数式的值.
【答案】
【解析】分解因式，再代值计算．
【详解】解：.
【点睛】本题主要考查多项式的求值，通常先分解因式，属于基础题．
【变式6-1】2．（2020·全国·高一课时练习）已知，求的值.
【答案】
【解析】直接利用立方和公式求值．
【详解】解：.
【点睛】本题主要考查立方和公式的应用，属于基础题．
【变式6-1】3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的值.
【答案】
【解析】借助三数和的平方公式求值．
【详解】解：∵，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查三数和的平方公式，属于基础题．
题型7 一元一次方程的解集
【例题7】 用适当的方法求下列方程的解集：
(1)－＝1；(2)x－＝.
【解析】 (1)原方程可化为x－(0.17－0.2x)＝1，即x－＝1，
去分母，得30x－7(17－20x)＝21，去括号，得30x－119＋140x＝21，
移项，得30x＋140x＝21＋119，合并同类项，得170x＝140，
系数化为1，得x＝.所以该方程的解集为.
(2)去小括号，得x－＝，去括号，得x－x＋x－＝，
去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，
合并同类项，得x＝－5.所以该方程的解集为{－5}．
【变式7-1】 求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；(2)＝－1.
【解析】(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.所以该方程的解集为{－13}．
(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.去括号，得4x－2＝2x＋1－6.移项，得4x－2x＝1－6＋2.合并同类项，得2x＝－3.系数化为1，得x＝－.
【变式7-2】（2021·全国·高一课时练习）求关于x的方程的解集，其中a是常数.
【答案】答案见解析
【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果.
【详解】因为，则，当时，方程无解，即解集为；
当时，，即解集为.综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为.
题型8 含参取值范围
【例题8】（2020·全国·高一课时练习）关于x的方程，分别求m，n为何值时，原方程的解集为：
（1）单元素集；（2）R；（3）.
【答案】（1）（2）且（3）且
【解析】由题意知，再对分类讨论即可得出结论．
【详解】解：由题意知.
（1）当，即，n为任意实数时，方程的解集为单元素集，即.
（2）当且，即且时，方程的解集为R.
（3）当且，即且时，方程的解集为.
【点睛】本题主要考查根据集合中元素的个数求参数的取值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
【变式8-1】1.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】分和两种情况求解
【详解】当时，方程化为，等式不成立，方程无解，即解集为，
当时，由，得，由于，所以当时，方程无解，即解集为，综上，当或时，方程的实数解集为，
即实数a的取值范围是，故答案为：
【变式8-1】2.（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值
【详解】由，得，因为关于的方程的解集为，
所以，得，故选：C
【变式8-1】3．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的方程的解集为，求a的值.
【答案】
【解析】移项合并同类项得，再对分类讨论即可得出解集．
【详解】解：原方程化为，
当且时，即时，方程的解集为.
【点睛】本题主要考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．
【变式8-1】4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的方程的解集为R，求a，b的值.
【答案】
【解析】原方程化为，得且，解出即可．
【详解】解：原方程化为，
当且，即时，方程的解集为R.
【点睛】本题主要考查根据一元一次方程的解集求参数的值，属于基础题．
【变式8-1】5．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的解为负数，求正整数的值．
【答案】1或2或3
【分析】首先解关于x的方程，然后根据方程的解是负数，即可得到一个关于a的不等式，即可求得a的正整数值．
【详解】去分母，得：x－（2x－a）＝4，
去括号，得：x－2x＋a＝4，
移项，得：x－2x＝4－a，
合并同类项，得：－x＝4－a，
系数化为1，得：x＝a－4，
因为方程解为负数，所以，
解得所以正整数的值为1或2或3．
【变式8-1】6.（2021·全国·高一单元测试）若关于x的方程的解为非正数，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】方程化为，可得不满足，时，求出解建立不等式即可求解.
【详解】方程化为，
当，即时，方程无解，不满足，当时，可得，解得，综上，实数k的取值范围是.故答案为：.
题型9 新定义题型
【例题9】（2021·全国·高一单元测试）一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．
【答案】
【分析】利用“相伴数对”的定义求解.【详解】由题意，得，解得．故答案为：
【变式9-1】（2020·上海·高一专题练习）我们用记号“”表示两个正整数间的整除关系，如表示整除．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________；②__________．
【答案】 若，，则 若，，则
【分析】本题首先可通过题意明确记号“”的含义，然后改写整除关系的两个性质即可.
【详解】若整除，整除，则整除
即若，，则；
若整除，整除，则整除，
即若，，则，
故答案为：若，，则；若，，则.2.1.1等式的性质与方程的解集
常考题型目录
题型1 等式性质 3
题型2 恒等式 3
题型3 因式分解 4
题型4利用十字相乘法因式分解 5
类型1单变量多项式 5
类型2利用十字相乘法分解双变量多项式 5
题型5 完全平方式 6
题型6 化简求值 6
题型7 一元一次方程的解集 7
题型8 含参取值范围 7
题型9 新定义题型 8
知识梳理：
知识点一：等式的基本性质
(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
整理如下：
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知识点二：恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三：.“十字相乘法”
对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.
可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D =ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
特别提醒
运用x +（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.
知识点四：方程的解集
1. 方程的有关概念方程
方程：含有未知数的等式叫方程.
方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.
方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
解方程：求方程的解的过程叫解方程.
2.一元一次方程
一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程.
满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.
表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.
题型分类
题型1 等式性质
【例题1】（2022·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若，则a=b D．若x=y，则
【变式1-1】2.（2021·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3．（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果 ，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【变式1-1】4.（2022·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
题型2 恒等式
【例题2】（2022·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】1.（2021·全国·高一单元测试）若对任意实数，等式恒成立，则______，______.
【变式2-1】2．（2022·江苏南通·高一开学考试）若对任意实数都成立，则实数可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】3．（2022·上海·高一专题练习）若恒成立，则的值______．
【变式2-1】4．（2021·河南·周口恒大中学高一阶段练习）对于任意实数，等式恒成立，则___________
【变式2-1】5．（2022·上海·高一专题练习）已知等式对任意实数都成立，则___________.
【变式2-1】6．（2022·上海·高一专题练习）若等式恒成立，则常数a与b的和为______.
题型3 因式分解
【例题3】（2021·全国·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）______；
（5）______；
（6）x3－x______.
【变式3-1】1．（2021·全国·高一课时练习）分解因式：______；______．
【变式3-1】2.（2022·全国·高一专题练习）（1）因式分解：-6x2+5x-1；
（2）因式分解：4x(x-a)+2y(a-x)+6(x-a)．
【变式3-1】3.（2020·全国·高一学业考试）下列分解因式错误的是（ ）
A．-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4+4m=
C．-4+=-(2x+y)(2x-y) D．3ab++9=
题型4利用十字相乘法因式分解
类型1单变量多项式
【例题4-1】 分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12.
【变式4-1】1.分解因式：(1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7；
(3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3.
【变式4-1】2. 把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；
(3)4m2－12m＋9＝________.
【变式4-1】3．把下列各式分解因式：
(1)x2＋15x＋56；(2)6x2＋7x－3；
【变式4-1】4.（2021·全国·高一课时练习）将下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3).
【变式4-1】5.（2022·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；（2）；
类型2利用十字相乘法分解双变量多项式
【例题4-2】把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；
(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.
【变式4-2】1.把下列各式因式分解：
(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；
(4)6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y>0，z>0)．
【变式4-2】2. 分解下列各因式：(1)x2－xy－2y2－2x＋7y－3；(2)ab－2a－b＋2.
【变式4-2】3.(1)x2－6xy－7y2；(2)8x2＋26xy＋15y2.
【变式4-2】4.(1)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；（2）；
（3）．
【变式4-2】5．分解因式a2＋8ab－33b2得( )
A．(a＋11)(a－3) B．(a＋11b)(a－3b) C．(a－11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
【变式4-2】6．已知a＋b＝3，ab＝2，计算：a2b＋ab2等于( )
A．5 B．6 C．9 D．1
题型5 完全平方式
【例题5】（2021·全国·高一课时练习）若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是_____．
【变式5-1】1.（2021·全国·高一课时练习）若是一个完全平方式，则的取值集合为_________
【变式5-1】2．（2021·全国·高一课时练习）已知是多项式的一个因式，则______．
【变式5-1】3．（2022·全国·高一专题练习）不论为何实数，的值为（ ）
A．总是正数B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
题型6 化简求值
【例题6】（2021·全国·高一单元测试）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【变式6-1】1．（2020·全国·高一课时练习）已知，，求代数式的值.
【变式6-1】2．（2020·全国·高一课时练习）已知，求的值.
【变式6-1】3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，求的值.
题型7 一元一次方程的解集
【例题7】 用适当的方法求下列方程的解集：
(1)－＝1；(2)x－＝.
【变式7-1】 求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；(2)＝－1.
【变式7-2】（2021·全国·高一课时练习）求关于x的方程的解集，其中a是常数.
题型8 含参取值范围
【例题8】（2020·全国·高一课时练习）关于x的方程，分别求m，n为何值时，原方程的解集为：
（1）单元素集；（2）R；（3）.
【变式8-1】1.（2021·全国·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是______．
【变式8-1】2.（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式8-1】3．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的方程的解集为，求a的值.
【变式8-1】4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的方程的解集为R，求a，b的值.
【变式8-1】5．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的解为负数，求正整数的值．
【变式8-1】6.（2021·全国·高一单元测试）若关于x的方程的解为非正数，则实数k的取值范围是______．
题型9 新定义题型
【例题9】（2021·全国·高一单元测试）一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．
【变式9-1】（2020·上海·高一专题练习）我们用记号“”表示两个正整数间的整除关系，如表示整除．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________；②__________．
