2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
常考题型目录
题型1 一元二次方程的解 1
题型2一元二次方程的解集及根与系数的关系 3
类型1方程根个数的判断及应用 3
类型2 直接应用根与系数的关系进行计算 4
类型3构造同一个一元二次方程型 9
类型4应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 10
知识梳理：
知识点：
1．一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为{，}；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ<0时，方程的解集为 ．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。
2．一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
题型分类
题型1 一元二次方程的解
【例题1-1】用因式分解法求下列方程的解集．
(1)6x(x＋1)＝5(x＋1)；(2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0；(3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
【解析】(1)分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1.所以方程的解集为.
(2)分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.所以方程的解集为{0，2}．
(3)整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1.所以方程的解集为{1}．
【变式1-1】1. 用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；(2)(x－3)2＋2x－6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
【解析】(1)x＝0，即x＝0，所以x1＝0，x2＝，所以该方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0，所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1，
所以该方程的解集为{3，1}．
(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，所以(10x－1)(2x＋19)＝0，所以10x－1＝0或2x＋19＝0，所以x1＝，x2＝－.所以该方程的解集为.
【变式1-1】2．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．
【解析】因为3x(x－2)＝2－x，所以3x(x－2)－(2－x)＝0，即3x(x－2)＋(x－2)＝0，
所以(x－2)(3x＋1)＝0，所以x＝2或x＝－，所以方程的解集为.【答案】
【变式1-1】3．（2022·江苏南通·高一开学考试）方程的解为______.
【答案】4
【分析】本题考查一元二次方程的解法，属于较易题，先等式两边平方，然后解一元二次方程即可.
【详解】由已知得，得，所以，，解得或经检验时，不满足方程舍去.
故答案为：
【变式1-1】4．（2021·全国·高一课时练习）求方程的解集.
【答案】
【分析】设有，解一元二次方程求出的解，进而可求出结果.
【详解】设有，则原方程可变为，因此可知或（舍）从而，即，所以原方程的解集为.
题型2一元二次方程的解集及根与系数的关系
类型1方程根个数的判断及应用
【例题2-1】已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根； (4)方程无实数根．
【解析】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝.
(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤.
(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>.
【变式2-1】1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．
(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.
【解析】(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根．
(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程没有实数根．
【变式2-1】2．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是( )
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【解析】选C.Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.
【变式2-1】3．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m< B．m>－ C．m<且m≠0 D．m＞－且m≠0
【解析】选D.Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－.当m＝0时，方程x＝0不符合题意．
【变式2-1】4．（2022·全国·高一专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状.
【详解】方程有两个相等的实数根，则，又有，或，又，故是等腰三角形.故选：A
类型2 直接应用根与系数的关系进行计算
【例题2-2】（2021·全国·高一课时练习）若，，则以实数m n为根的一个一元二次方程是______.
【答案】
【分析】根据题干条件求出，逆用韦达定理即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，根据两根之和为3，两根之积为2，故可以写出实数m n为根的一个一元二次方程为故答案为：
【变式2-2】1.若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值：
(1)x＋x；(2)＋；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.
【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007，
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018.
(2)＋＝＝＝.
(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972.
(4)|x1－x2|＝＝＝＝＝4.
【变式2-2】2．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求＋的值．
【答案】10
【解析】由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以＋＝＝＝＝10.
【变式2-2】3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
【答案】A.
【解析】由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.
【变式2-2】4．（2021·上海市青浦区第一中学高一阶段练习）的两根分别是和，则___________.
【答案】
【分析】利用根与系数关系得，即可求目标式的值.
【详解】因为方程的两根分别是，
所以，则.故答案为：
【变式2-2】5．（2022·全国·高一专题练习）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】由韦达定理可得，然后，即可算出答案.
【详解】因为是方程的两根，所以
所以故选：C
【变式2-2】6．（2021·河北省博野中学高一开学考试）若方程的两个实数根为、，则的值为________.
【答案】
【分析】利用韦达定理可求得结果.
【详解】因为，由韦达定理可得，，
因此，.
故答案为：.
【变式2-2】7．（2022·上海·高一专题练习）已知是关于的方程的两个根，则 ________.
【答案】4
【分析】由条件可得，，然后利用算出答案即可.
【详解】因为是关于的方程的两个根，
所以，，所以故答案为：4
【变式2-3】1.（2021·全国·高一课时练习）若为实数，关于的方程的解集为，则______．
【答案】
【分析】根据题意得到是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由关于的方程的解集为，即是方程的两个实数根，所以，解得，所以.
故答案为：
【变式2-3】2．（2022·全国·高一期末）已知实数 满足：且，则___________.
【答案】
【分析】应用立方差公式及已知可得，求的值，进而求目标式的值即可.
【详解】∵，又，，
∴，即，
∴，解得或，
当时，，
当时，此时无解，综上，.故答案为：40.
【变式2-3】3．（2022·江苏南通·高一开学考试）若a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系直接即可计算出答案.
【详解】因为a，b是方程的两个实数根，所以，，
两式相减，得，所以.故选：D.
【变式2-3】4．（2022·全国·高一专题练习）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【答案】0
【分析】根据、是方程的两个实数根，直接由韦达定理表示出根与系数的关系，代入代数式化简即可.
【详解】 、是方程的两个实数根，，，，，，..故答案为：
【变式2-3】5．（2021·四川·高一开学考试）若、是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得所求代数式的值.
【详解】因为、是一元二次方程的两个根，则，
上述两个等式相加可得.故答案为：.
【变式2-3】6．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知正数满足，且，求的值.
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，是基础题.由已知变形化简，转化为一元二次方程求解即可.
【详解】，两边同时除以得，
设得，解得或舍去，，因为，两边同时除以得， ，
类型3构造同一个一元二次方程型
【例题2-4】（2022·全国·高一专题练习）如果，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理即可求解.
【详解】是方程的两个不相等实数根，则.故选：D.
【变式2-4】1．（2022·全国·高一专题练习），则=________．
【答案】##1.6
【分析】由题意可知、是方程的两根，直接由韦达定理可得两根之积，从而可得的值.
【详解】由方程的结构可知、是方程的两根，由韦达定理可得故答案为：
【变式2-4】2．（2022·全国·高一专题练习）若且，则的值是_________.
【答案】3
【分析】根据韦达定理可得，进而可求的值.
【详解】因为，由根的定义知为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，,
故答案为：3.
类型4应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
【例题2-5】（2022·全国·高一专题练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________
【答案】
【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.
【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，
所以，，所以，
解得或，又因为，得，所以.故答案为：3
【变式2-5】1．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为常数，若关于的方程有两个实数根，且，则的值为_______:
【答案】.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，结合题意列出方程，即可求得的值.
【详解】由题意，关于的方程有两个实数根，
则满足，解得，又由，因为，可得，即，解得或（舍去），即的值为.故答案为：.
【变式2-5】2．（2021·上海·上外附中高一期中）关于的方程的两个根为素数，则___________．
【答案】
【分析】设关于x的方程的两根分别为，由韦达定理得，则中一个是偶数一个是奇数，从而得，进而求出参数．
【详解】设关于x的方程的两根分别为，且
则因为均为素数，所以中一个是偶数一个是奇数，
故，所以．故答案为：．
【变式2-5】3．（2022·全国·高一专题练习）若方程的两根为，且，则_________．
【答案】12
【分析】结合韦达定理，列出方程求解即可
【详解】由韦达定理得，，，，即 ，可解得故答案为：12
【变式2-5】4.已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
【解析】Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥.
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．
(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．
②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程为x2＋＝0，而方程无解，所以k≠－1，所以k＝.
【变式2-5】5．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
【解析】(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．所以Δ≥0，
即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤.
(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1，因为k≤，所以k＝－1.
【变式2-5】6．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个不等实根.
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实根为，且，求实数的值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意得到，即可求解；
（2）由根与一元二次方程的关系，得到，结合题意，列出方程，即可求解.
(1)解：由题意，关于的方程有两个不等实根
则，即，解得，
即实数的取值范围为.
(2)解：由方程的两个实根为，
可得，解得且，
因为，可得，
解得或（舍去），所以实数的值为.
【变式2-6】1．（2022·全国·高一专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
【答案】1
【分析】方程化为，有两个不相等的实根即，解不等式即可求出答案.
【详解】方程化为，由，解得，所以最大整数值是.故答案为：1.
【变式2-6】2．已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
(1)两个根都大于0；
(2)两个根都小于0；
(3)一个根大于0，另一个根小于0.
【解析】设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2.
(1) t≤－2.所以t的取值范围为(－∞，－2]．
(2) t≥2.
所以t的取值范围为[2，＋∞)．
(3) .
所以无解，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0.
所以t的取值范围为 .
【变式2-6】3．（2021·全国·高一课时练习）已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件．
【答案】证明见解析
【分析】由且得到a与b的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案
【详解】由且，得，，
则方程的判别式，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为、，因为，，所以且﹒
【变式2-6】4.（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据韦达定理可求另外一根．
【详解】设另一根为x，由韦达定理可知，，即，故选：A．
【变式2-6】5．（2022·上海长宁·高一期末）已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意知，一元二次方程有两个正实根，须同时满足四个条件，，，两根之积和两根之和都大于零，即可得到答案.
【详解】设两个正实数根分别为，.
故答案为：.
【变式2-6】6．（2021·陕西宝鸡·高一期中）已知方程有一正根一负根，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用判别式和韦达定理列出不等关系，求解即可
【详解】由题意，方程有一正根一负根，不妨设两根分别为故且解得：则实数m的取值范围是故答案为：
【变式2-6】7．（2022·全国·高一单元测试）已知关于的方程的两个实根、，满足，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】结合已知条件，利用判别式大于0、方程的根的分布以及对称轴的位置即可求解.
【详解】不妨令，其对称轴为，且的图像开口向上，
因为的两个实根、，满足，所以，解得.故实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式2-6】8．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求实数的值.
【答案】m= -1．
【分析】根据根的判别式可得的大范围，再根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21，利用根与系数关系即可得到的值
【详解】解：设方程的两个实数根为，，则，，
根据这两个实数根的平方和比两个根的积大21，即，解得或，另由根的判别式可得，故综上，，
【点睛】本题考查二次函数零点与方程根的关系，二次函数根与系数关系、根的判别式等知识点，属于基础题．
【变式2-6】9．（2021·山东·广饶一中高一阶段练习）如果方程的两个根是x1，x2，那么，，反过来，如果，，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程()，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a，b满足，，求+的值；
(3)已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.
【答案】(1)；(2)2或；(3)4.
【分析】（1）若两根为，由题设描述及已知条件求、，进而写出以倒数为根的方程即可.
（2）讨论、，其中时可得，，根据不同情况分别求出目标式的值.
（3）由题设知是的两个根，应用函数思想结合判别式求正数c的范围，即知最小值.
(1)由题设，()的两个根为，则，，
所以，，所以的倒数为根的方程为，即.
(2)由题设知：是的根，当时，；
当时，有，，则.
(3)由题设，，，又为正数，则，
所以是的两个根，即为的两个根，
令，其开口向上且对称轴为，
所以，可得即可.故正数c的最小值为4.2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
常考题型目录
题型1 一元二次方程的解 1
题型2一元二次方程的解集及根与系数的关系 2
类型1方程根个数的判断及应用 2
类型2 直接应用根与系数的关系进行计算 2
类型3构造同一个一元二次方程型 4
类型4应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 4
知识梳理：
知识点：
1．一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当Δ>0时，方程的解集为{，}；
(2)当Δ＝0时，方程的解集为；
(3)当Δ<0时，方程的解集为 ．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。
2．一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝．
题型分类
题型1 一元二次方程的解
【例题1-1】用因式分解法求下列方程的解集．
(1)6x(x＋1)＝5(x＋1)；(2)(2x－1)2－(x＋1)2＝0；(3)(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
【变式1-1】1. 用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；(2)(x－3)2＋2x－6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
【变式1-1】2．方程3x(x－2)＝2－x的解集为________．
【变式1-1】3．（2022·江苏南通·高一开学考试）方程的解为______.
【变式1-1】4．（2021·全国·高一课时练习）求方程的解集.
题型2一元二次方程的解集及根与系数的关系
类型1方程根个数的判断及应用
【例题2-1】已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根； (4)方程无实数根．
【变式2-1】1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．
(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.
【变式2-1】2．方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是( )
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式2-1】3．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．m< B．m>－ C．m<且m≠0 D．m＞－且m≠0
【变式2-1】4．（2022·全国·高一专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
类型2 直接应用根与系数的关系进行计算
【例题2-2】（2021·全国·高一课时练习）若，，则以实数m n为根的一个一元二次方程是______.
【变式2-2】1.若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值：
(1)x＋x；(2)＋；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.
【变式2-2】2．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求＋的值．
【变式2-2】3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
【变式2-2】4．（2021·上海市青浦区第一中学高一阶段练习）的两根分别是和，则___________.
【变式2-2】5．（2022·全国·高一专题练习）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】6．（2021·河北省博野中学高一开学考试）若方程的两个实数根为、，则的值为________.
【变式2-2】7．（2022·上海·高一专题练习）已知是关于的方程的两个根，则 ________.
【变式2-3】1.（2021·全国·高一课时练习）若为实数，关于的方程的解集为，则______．
【变式2-3】2．（2022·全国·高一期末）已知实数 满足：且，则___________.
【变式2-3】3．（2022·江苏南通·高一开学考试）若a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【变式2-3】4．（2022·全国·高一专题练习）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
【变式2-3】5．（2021·四川·高一开学考试）若、是一元二次方程的两个根，则______．
【变式2-3】6．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知正数满足，且，求的值.
类型3构造同一个一元二次方程型
【例题2-4】（2022·全国·高一专题练习）如果，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】1．（2022·全国·高一专题练习），则=________．
【变式2-4】2．（2022·全国·高一专题练习）若且，则的值是_________.
类型4应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
【例题2-5】（2022·全国·高一专题练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________
【变式2-5】1．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为常数，若关于的方程有两个实数根，且，则的值为_______:
【变式2-5】2．（2021·上海·上外附中高一期中）关于的方程的两个根为素数，则___________．
【变式2-5】3．（2022·全国·高一专题练习）若方程的两根为，且，则_________．
【变式2-5】4.已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
【变式2-5】5．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值．
【变式2-5】6．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个不等实根.
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实根为，且，求实数的值；
【变式2-6】1．（2022·全国·高一专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
【变式2-6】2．已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
(1)两个根都大于0；
(2)两个根都小于0；
(3)一个根大于0，另一个根小于0.
【变式2-6】3．（2021·全国·高一课时练习）已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件．
【变式2-6】4.（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式2-6】5．（2022·上海长宁·高一期末）已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是___________.
【变式2-6】6．（2021·陕西宝鸡·高一期中）已知方程有一正根一负根，则实数m的取值范围是___________.
【变式2-6】7．（2022·全国·高一单元测试）已知关于的方程的两个实根、，满足，则实数的取值范围为___________.
【变式2-6】8．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求实数的值.
【变式2-6】9．（2021·山东·广饶一中高一阶段练习）如果方程的两个根是x1，x2，那么，，反过来，如果，，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程()，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a，b满足，，求+的值；
(3)已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.
