【变式2-1】6．已知，求证：．【变式2-1】7．设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．【变式2-1】8．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.【变式2-1】9．若x∈R，则与的大小关系为________．【变式2-1】10．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N类型2 作商法【例题2-2】，则的大小关系为_______．【变式2-2】已知，比较与的大小题型3 不等式的性质及应用方法总结 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；【例题3】若，且，且，则下列不等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【变式3-1】1.如果，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】2．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】4．如果，那么下列不等式成立的是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】5．已知a，b，c∈R，且a＜b（ ）A．a2＜b2 B．ac2＜bc2 C．2a＜2b D．【变式3-2】1．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．【变式3-2】2．若，则下列不等式中不成立的（ ）A． B． C．；D．.【变式3-2】3.已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【变式3-2】4．给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.【变式3-2】5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c|【变式3-3】1.设a、b都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【变式3-3】2．下列是“”的充分不必要条件的是（ ）A． B． C． D．【变式3-3】3．设，则是成立的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件题型4 求代数式的取值范围类型1 直接法【例题4-1】设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________【变式4-1】1．已知，，则a-b的取值范围是______.【变式4-1】2．已知实数x、y满足，则的取值范围是__________．【变式4-1】3．已知，，则的取值范围是_________.【变式4-1】4.“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要【变式4-1】5.已知，且则的取值范围是______【变式4-1】6.已知是非负整数，且，则的范围是类型2 待定系数法【例题4-2】，，则的最小值是___________.【变式4-2】1．已知实数满足；，求：的取值范围．【变式4-2】2．若－1【变式4-2】3．已知，且，则的取值范围是___.题型5 证明题【例题5】若a>b>0，c.【变式5-1】已知a>0，求证：a＋≥2.2.2.1 等不等式及其性质常考题型目录题型1 用不等式(组)表示不等关系 2题型2 实数的大小比较 4类型1 作差法 4类型2 作商法 6题型3 不等式的性质及应用 7题型4 求代数式的取值范围 11类型1 直接法 11类型2 待定系数法 13题型5 证明题 14知识梳理：知识点一 基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 如果a>b a－b>0. 如果a＝b a－b＝0. 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二 不等式的性质性质 别名 性质内容 注意1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆4 可乘性 ac>bc c的符号 ac5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向6 同向同正可乘性 ac>bd 同向7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正题型分类题型1 用不等式(组)表示不等关系【例题1】下列说法正确的是( ) A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明身高x cm,小华身高y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”【答案】 C 对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x【变式1-1】1.《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示【解析】由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160反思感悟(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等式所联系的量．②用适当的不等号连接．③多个不等关系用不等式组表示．(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言 > < ≥ ≤【变式1-1】2.某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【解析】提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(2.5≤x<6.5)．【变式1-1】3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )A. B. C. D.【答案】 D【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.【变式1-1】4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是( )A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200【答案】 D【解析】由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.【变式1-1】5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________．【答案】 【解析】由题意得即题型2 实数的大小比较类型1 作差法【例题2-1】若，则____________（在空格处填入“>”“<”）【答案】因为，可得，所以，所以.故答案为：【变式2-1】1．设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）【答案】【详解】因为所以故答案为：【变式2-1】2．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.【变式2-1】3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b【答案】 C【解析】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.【变式2-1】4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．【答案】 x【解析】x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x【变式2-1】5．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )A．P>Q B．P≥Q C．P【答案】 A【解析】∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q，故选A.【变式2-1】6．已知，求证：．【答案】详见解析【分析】两个式子作差，即可比较大小.【详解】因为，所以，所以，即【变式2-1】7．设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．【答案】，理由见解析.【分析】将与作差、配方，然后判断差值符号，即可得出结论.【详解】解：，若，则，可得，但、是不全为零的实数，矛盾，故，因此，.【变式2-1】8．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.【答案】 A【解析】令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.【变式2-1】9．若x∈R，则与的大小关系为________．【答案】 ≤【解析】∵－＝＝≤0.∴≤.【变式2-1】10．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N【答案】 B【解析】∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即M类型2 作商法【例题2-2】，则的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.【详解】因为， 则由 所以 故答案为：【变式2-2】已知，比较与的大小【解析】=∵ ∴同理，从而，即>作商法题型3 不等式的性质及应用方法总结 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；【例题3】若，且，且，则下列不等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，，可知，若，则，故A错误；因为，故，B错误；，所以，故C正确；，所以，D错误.故选：C【变式3-1】1.如果，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，依次判断选项：对于A，当时，不成立，对于B，当时，不成立，对于C，当时，不成立，对于D，若，而，必有恒成立，故选：D.【变式3-1】2．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】A显然错误，例如，；时，由得，B错；，但时，，C错；，又，所以，D正确．故选：D．【变式3-1】3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为为非零实数，所以，因为，所以，即，所以D正确，故选：D【变式3-1】4．如果，那么下列不等式成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D由不等式的性质可知，因为，所以，，故A错误，D正确；由，可得，，故B，C错误.故选：D【变式3-1】5．已知a，b，c∈R，且a＜b（ ）A．a2＜b2 B．ac2＜bc2 C．2a＜2b D．【答案】C【详解】选项A，令，此时，故A错误；选项B，令，此时，故B错误；选项C，由于指数函数在上单调递增，故时，，故C正确；选项D，令，此时，故D错误；故选：C【变式3-2】1．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.【详解】因为且，所以，即.又因为，即.所以，，无法判断.对选项A，当时，，故A错误；对选项B，因为，，所以，故B错误；对选项C，因为，，所以，故C正确；对选项D，当时，，故D错误.故选：C【变式3-2】2．若，则下列不等式中不成立的（ ）A． B． C．；D．.【答案】B【详解】由，选项A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A成立；选项B：由于，根据“如果，那么”可得，故B不成立；选项C：由于，两边同乘，可得，，故C成立；选项D：由，，再由不等式性质可得，故，故D成立.故选：B【变式3-2】3.已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【答案】3【详解】由不等式性质，得；；．故可组成3个真命题．故答案为：3.【变式3-2】4．给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.【答案】①.【详解】因为，，所以，即，故①正确；若，则，故②错误；若，则，所以，所以，又，所以，故③错误；综上，真命题的序号是：①.故答案为：①.【变式3-2】5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c|【答案】 C【解析】对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2b，∴>恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．【变式3-3】1.设a、b都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【详解】a、b都是实数，若且，由不等式性质得：且成立，若且成立，取，而且不成立，所以“且”是“且”的充分非必要条件.故选：A【变式3-3】2．下列是“”的充分不必要条件的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】A.当时， ，故不必要，因为，所以，故充分；B. 当时， ，故不必要，当时，满足，故不充分；C. 当时， ，故不必要，当时，满足，故不充分；D. 当时，由不等式的基本性质得，故必要，反之也成立，故充分.故选：A【变式3-3】3．设，则是成立的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断【详解】若，则，所以与同号，且，所以，若，则，所以，所以，所以是成立的充要条件，故选：C题型4 求代数式的取值范围类型1 直接法【例题4-1】设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________【答案】【详解】因为，所以，又因为，所以，故m的取值范围为.故答案为：.【变式4-1】1．已知，，则a-b的取值范围是______.【答案】【详解】因为，，所以，，所以a-b的范围是故答案为：【变式4-1】2．已知实数x、y满足，则的取值范围是__________．【答案】【详解】因为，所以，又，，所以，所以．故答案为：．【变式4-1】3．已知，，则的取值范围是_________.【答案】，则，，则，所以，所以的范围是．故答案为：．【变式4-1】4.“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要【答案】【解析】 解：根据不等式的性质：；若取 即它们满足且，但都不满足，因此选（B）【变式4-1】5.已知，且则的取值范围是______【答案】（消元利用b的不等式求范围）解：因为a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0,∴b=-a-c,∴a>-a-c>c∴【变式4-1】6.已知是非负整数，且，则的范围是【答案】（消元全部换成Z）【解析】又为非负整数，，所以的范围是类型2 待定系数法【例题4-2】，，则的最小值是___________.【答案】##【解析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.【详解】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案为：.【变式4-2】1．已知实数满足；，求：的取值范围．【答案】见解析【解析】设：由①+②×2得：即：．【变式4-2】2．若－1【解析】设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则解得因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，所以－<(a＋b)－(a－b)<，所以－<2a＋3b<.【变式4-2】3．已知，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.【详解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以，所以的取值范围是，故答案为：.题型5 证明题【例题5】若a>b>0，c.证明 ∵c－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.又e<0，∴>.【变式5-1】已知a>0，求证：a＋≥2.证明 方法一 利用a2＋b2≥2ab.∵a>0，∴a＋＝()2＋2≥2·＝2.方法二 a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，∴a＋≥2.
【答案】 A【解析】∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q，故选A.【变式2-1】6．已知，求证：．【答案】详见解析【分析】两个式子作差，即可比较大小.【详解】因为，所以，所以，即【变式2-1】7．设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．【答案】，理由见解析.【分析】将与作差、配方，然后判断差值符号，即可得出结论.【详解】解：，若，则，可得，但、是不全为零的实数，矛盾，故，因此，.【变式2-1】8．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.【答案】 A【解析】令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.【变式2-1】9．若x∈R，则与的大小关系为________．【答案】 ≤【解析】∵－＝＝≤0.∴≤.【变式2-1】10．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N【答案】 B【解析】∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即M类型2 作商法【例题2-2】，则的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.【详解】因为， 则由 所以 故答案为：【变式2-2】已知，比较与的大小【解析】=∵ ∴同理，从而，即>作商法题型3 不等式的性质及应用方法总结 在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；【例题3】若，且，且，则下列不等式中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，，可知，若，则，故A错误；因为，故，B错误；，所以，故C正确；，所以，D错误.故选：C【变式3-1】1.如果，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，依次判断选项：对于A，当时，不成立，对于B，当时，不成立，对于C，当时，不成立，对于D，若，而，必有恒成立，故选：D.【变式3-1】2．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】A显然错误，例如，；时，由得，B错；，但时，，C错；，又，所以，D正确．故选：D．【变式3-1】3．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为为非零实数，所以，因为，所以，即，所以D正确，故选：D【变式3-1】4．如果，那么下列不等式成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D由不等式的性质可知，因为，所以，，故A错误，D正确；由，可得，，故B，C错误.故选：D【变式3-1】5．已知a，b，c∈R，且a＜b（ ）A．a2＜b2 B．ac2＜bc2 C．2a＜2b D．【答案】C【详解】选项A，令，此时，故A错误；选项B，令，此时，故B错误；选项C，由于指数函数在上单调递增，故时，，故C正确；选项D，令，此时，故D错误；故选：C【变式3-2】1．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.【详解】因为且，所以，即.又因为，即.所以，，无法判断.对选项A，当时，，故A错误；对选项B，因为，，所以，故B错误；对选项C，因为，，所以，故C正确；对选项D，当时，，故D错误.故选：C【变式3-2】2．若，则下列不等式中不成立的（ ）A． B． C．；D．.【答案】B【详解】由，选项A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A成立；选项B：由于，根据“如果，那么”可得，故B不成立；选项C：由于，两边同乘，可得，，故C成立；选项D：由，，再由不等式性质可得，故，故D成立.故选：B【变式3-2】3.已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【答案】3【详解】由不等式性质，得；；．故可组成3个真命题．故答案为：3.【变式3-2】4．给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.【答案】①.【详解】因为，，所以，即，故①正确；若，则，故②错误；若，则，所以，所以，又，所以，故③错误；综上，真命题的序号是：①.故答案为：①.【变式3-2】5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c|【答案】 C【解析】对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2b，∴>恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．【变式3-3】1.设a、b都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【详解】a、b都是实数，若且，由不等式性质得：且成立，若且成立，取，而且不成立，所以“且”是“且”的充分非必要条件.故选：A【变式3-3】2．下列是“”的充分不必要条件的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】A.当时， ，故不必要，因为，所以，故充分；B. 当时， ，故不必要，当时，满足，故不充分；C. 当时， ，故不必要，当时，满足，故不充分；D. 当时，由不等式的基本性质得，故必要，反之也成立，故充分.故选：A【变式3-3】3．设，则是成立的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断【详解】若，则，所以与同号，且，所以，若，则，所以，所以，所以是成立的充要条件，故选：C题型4 求代数式的取值范围类型1 直接法【例题4-1】设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________【答案】【详解】因为，所以，又因为，所以，故m的取值范围为.故答案为：.【变式4-1】1．已知，，则a-b的取值范围是______.【答案】【详解】因为，，所以，，所以a-b的范围是故答案为：【变式4-1】2．已知实数x、y满足，则的取值范围是__________．【答案】【详解】因为，所以，又，，所以，所以．故答案为：．【变式4-1】3．已知，，则的取值范围是_________.【答案】，则，，则，所以，所以的范围是．故答案为：．【变式4-1】4.“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要【答案】【解析】 解：根据不等式的性质：；若取 即它们满足且，但都不满足，因此选（B）【变式4-1】5.已知，且则的取值范围是______【答案】（消元利用b的不等式求范围）解：因为a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0,∴b=-a-c,∴a>-a-c>c∴【变式4-1】6.已知是非负整数，且，则的范围是【答案】（消元全部换成Z）【解析】又为非负整数，，所以的范围是类型2 待定系数法【例题4-2】，，则的最小值是___________.【答案】##【解析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.【详解】设，则，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案为：.【变式4-2】1．已知实数满足；，求：的取值范围．【答案】见解析【解析】设：由①+②×2得：即：．【变式4-2】2．若－1【解析】设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则解得因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，所以－<(a＋b)－(a－b)<，所以－<2a＋3b<.【变式4-2】3．已知，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.【详解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以，所以的取值范围是，故答案为：.题型5 证明题【例题5】若a>b>0，c.证明 ∵c－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.又e<0，∴>.【变式5-1】已知a>0，求证：a＋≥2.证明 方法一 利用a2＋b2≥2ab.∵a>0，∴a＋＝()2＋2≥2·＝2.方法二 a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，∴a＋≥2.
