21.4 二次函数的应用
— 基础巩固 —
一、选择题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
3、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
4、若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
5、北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
6、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
7、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
8、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
9、如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
10、从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
11、一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
12、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
13、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
14、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
15、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
16、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
三、解答题
17、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
18、某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
19、数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
20、2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
21、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
22、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
23、如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
24、某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．21.4 二次函数的应用
— 基础巩固 —
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一、选择题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0．
②错误．当a＝﹣1时，b＝3
③错误．△MCE的周长的最小值为2+2．
④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1．
［答案详解］解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．
②＝＝1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．
③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′＝2，
∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜x1′＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，∴④正确．
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
2、在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
［思路分析］由已知得A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，用待定系数法得抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；令x＝得羽毛球到达最高点时离地面的高度为m．
［答案详解］解：由已知得：A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；
令x＝得y＝﹣×（）2+×+1＝，
∴羽毛球到达最高点时离地面的高度为m，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出抛物线的解析式．
3、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
［思路分析］用待定系数法求出二次函数解析式，再令y＝0算出x的值，即可得答案．
［答案详解］解：由题可知：抛物线的顶点为（8，1.8），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+1.8，
将点（0，1）代入可得a＝﹣，
∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+1.8，
当y＝0时，
0＝﹣（x﹣8）2+1.8，
解得x＝﹣4（舍去）或x＝20，
∴水流喷射的最远水平距离OC是20米，
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
4、若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜
［思路分析］设y＝mx2﹣2x﹣2，函数值恒为负，则抛物线开口向下，且抛物线与x轴没有交点，得出关于m的不等式组，求解即可得出m的取值范围．
［答案详解］解：设y＝mx2﹣2x﹣2，
∵函数值恒为负，
∴，
解得：m＜，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
5、北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
［思路分析］根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
［答案详解］解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
6、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
［思路分析］根据各个选项中的语句，可以写出y与x的函数关系式，然后即可判断哪个选项符合题意．
［答案详解］解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，y与x不是二次函数，不符合题意；
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝108x，y与x不是二次函数，不符合题意；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，y与x不是二次函数，不符合题意；
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，y与x是二次函数，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
7、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
［思路分析］根据二次函数的定义逐项判断即可．
［答案详解］解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离﹣108x，故不是二次函数．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．
8、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
［思路分析］①正确．利用图中信息，求出AB，再利用勾股定理求出AC即可．
②正确．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．
③错误．当点P与A重合时，PQ的值最大．根据题意求得PQ的最大值．
④正确．分两种情形讨论求解即可．
［答案详解］解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），
∴y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果＝，则△CPQ∽△CAB，
∴＝，
∴t＝．
如果＝时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会读懂图象信息解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
9、如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
［思路分析］开口向下的抛物线的兜兜转转即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
［答案详解］解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10、从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
［思路分析］先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
11、一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
［思路分析］根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
［答案详解］解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±8，
∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），
∴AB＝16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
［经验总结］此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
12、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
［思路分析］把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
［答案详解］解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13、在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
［思路分析］把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
［答案详解］解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
14、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
［思路分析］求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
［答案详解］解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝11，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线的对称轴．
15、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
［思路分析］（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
16、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
［思路分析］根据函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，求出a，即可得到函数关系式．
［答案详解］解：由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，0）代入得，16a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4．
［经验总结］此题考查了求二次函数的解析式，正确理解函数图象是解题的关键．
三、解答题
17、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
［思路分析］（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣3）2+2，再根据非负数的性质得出最小值；
（2）根据阅读材料将所求的式子配方成（a+1）2+|b﹣2022|＝0，再根据非负数的性质求出a、b，代入ab计算即可；
（3）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：（1）x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2﹣6x+11的最小值为2；
（2）∵a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，
∴（a+1）2+|b﹣2022|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2022＝0，
∴a＝﹣1，b＝2022，
∴ab＝（﹣1）2022＝1，
故答案为：1；
（3）设花园的面积为ym2，由题意可得，
y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为50，
此时BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
［经验总结］本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18、某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
［思路分析］（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
［答案详解］解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）设利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣x+180）
＝﹣x2+210x﹣5400，
∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；
令﹣x2+210x﹣5400＝3600，
解得x＝60或x＝150（舍），
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，
∵﹣1＜0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
［经验总结］本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19、数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
［思路分析］（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．
［答案详解］解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，
由题意得：（）2+（）2＝13，
化简得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，较长部分为12，
答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，
由题意得：S＝π （）2+π （）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），
∵＞0，
∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．
［经验总结］本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．
20、2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
［思路分析］（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可
［答案详解］解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
［经验总结］本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
［思路分析］（1）设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设线下月林润为w′元，表达出w′与x的关系式，化为顶点式，可得出函数最值；
（3）①根据w＝线上利润+线下月利润，表示出w关于x的函数关系即可；
②根据函数的定义可知是二次函数，可得出其一般形式．
［答案详解］解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝14，y＝1000；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）w根据题意可知，w′＝y（x﹣10）
＝（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣17）2+4900，
∴当线下售价x＝17件时线下的月利润总和达到最大；
（3）①根据题意可知，ww＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300；
②上述关系式为二次函数，一般形式为：y＝ax2+bx+c．
［经验总结］本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
22、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
［思路分析］（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可．
［答案详解］解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
23、如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米．
（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？
（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
［思路分析］（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答．
（2）由（1）可知隔离区的面积表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．
［答案详解］解：（1）设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，（8﹣x+1）＝2.5（米）＜4.5米．
∴若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米．
（2）隔离区有最大面积，理由如下：
由（1）知，隔离区的面积为x （8﹣x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米．
［经验总结］本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程及二次函数表达式．
24、某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
［思路分析］（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，求出a的值即可；
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，可得直径至少为2×3＝6（米）；
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得求出h的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令x＝0求出y即可．
［答案详解］解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，
将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，
解得h＝，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝．
∴调整后水管的最大长度米．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
