21.2 二次函数的图象和性质
— 过关训练 —
一、选择题
1、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
2、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
3、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
4、抛物线y＝﹣（x+1）2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）
5、抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
6、已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
7、已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
8、若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
9、下列函数中，对称轴是直线x＝﹣2的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝3x2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝5（x﹣2）2﹣2
10、抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
二、填空题
11、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
12、如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 ．
13、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 ，把此抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
14、二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
15、已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
16、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
17、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
18、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
19、已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
20、已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
三、解答题
21、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．
22、在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
23、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
24、在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
25、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
26、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
27、如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
28、在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
29、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
30、已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．21.2 二次函数的图象和性质
— 过关训练 —
> > > 精品解析 < < <
一、选择题
1、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
［思路分析］根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
［答案详解］解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
2、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
［思路分析］求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的顶点（1，﹣3），即可判断③错误；根据题意x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，即可判断④正确．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点为（1，﹣3），在x轴的下方，
∴函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴抛物线开口向上，a＞0，故①正确；
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故②错误；
由题意可知当a＞0，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象一定经过点（1，﹣3），故③正确；
∵线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，
∴，
解得＜a≤，故④错误；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
3、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
［答案详解］解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了正比例函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数性质才能灵活解题．
4、抛物线y＝﹣（x+1）2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）
［思路分析］根据抛物线的顶点式即可得出答案．
［答案详解］解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5、抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
［思路分析］根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
［答案详解］解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
6、已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
［思路分析］先判断k的正负性，再建立方程组，利用判别式即可判断交点个数．
［答案详解］解：∵直线y＝kx+2过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3组成方程组得：
．
∴x2﹣2x+3＝kx+2．
∴x2﹣（2+k）x+1＝0．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞0．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为2个．
故选：C．
［经验总结］本题考查一次函数的性质，以及二次函数与一次函数的交点特征．关键在于建立方程组，利用一元二次方程的判别式的正负性进行判断．
7、已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而减少
D．图象与x轴有唯一交点
［思路分析］先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：A．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
8、若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
［思路分析］通过x2﹣2x+3﹣（x﹣2）求解．
［答案详解］解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵h＝x2﹣2x+3﹣（x﹣2）＝（x﹣）2+，
∴该函数最小值为，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求“和谐值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
9、下列函数中，对称轴是直线x＝﹣2的抛物线是（ ）
A．y＝2x2+2 B．y＝3x2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝5（x﹣2）2﹣2
［思路分析］根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
［答案详解］解：A、y＝2x2+2对称轴为x＝0，所以选项A错误，不合题意；
B、y＝3x2﹣2的对称轴为x＝0，所以选项B错误，不合题意；
C、y＝﹣（x+2）2+2的对称轴为x＝﹣2，所以选项C正确，符合题意；
D、y＝5（x﹣2）2﹣2的对称轴为x＝2，所以选项D错误，不合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的对称轴，形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x＝h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x＝﹣求出对称轴．
10、抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，若﹣5≤x≤﹣1，则该函数的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2，最小值为﹣20
B．最大值为20，最小值为2
C．最大值为20，最小值为4
D．a值不确定，故无法求最值
［思路分析］把解析式化成顶点式，根据题意a＝2，即可得到y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质即可得到在﹣5≤x≤﹣1范围内，该函数的最值．
［答案详解］解：抛物线L：y＝ax（x+4）+5a＝ax2+4ax+5a＝a（x+2）2+a，
∵抛物线L：y＝ax（x+4）+5a的顶点的纵坐标为2，
∴a＝2，
∴y＝2x（x+4）+10＝2（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴在﹣5≤x≤﹣1内，函数有最小值2，
把x＝﹣5代入y＝2x（x+4）+10得y＝20，
把x＝﹣1代入y＝2x（x+4）+10得y＝4，
∴若﹣5≤x≤﹣1，则该函数最大值为20，最小值为2，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
［思路分析］根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
［答案详解］解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
12、如果抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，那么抛物线C的表达式是 ．
［思路分析］根据抛物线y＝5x2+1与抛物线C关于y轴对称，将抛物线解析式中x换成﹣x，整理后即可得出结论．
［答案详解］解：∵抛物线C与抛物线y＝x2+3x关于y轴对称，
∴抛物线C的解析式为y＝（﹣x）2+3 （﹣x），即y＝x2﹣3x．
故答案为：y＝x2﹣3x．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是能够熟练的找出已知函数关于y轴对称的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的变换找出变换后的函数解析式是关键．
13、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为 ，把此抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
［思路分析］首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案．
［答案详解］解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2的顶点坐标为（1，1），
则将抛物线y＝x2﹣2x+2向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+1）2+1，即y＝x2+1．
故答案为：（1，1），y＝x2+1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
14、二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
［思路分析］利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
［答案详解］解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
15、已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
［思路分析］由抛物线开口方向及对称轴求解．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣2）2+t，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜2时，y随x增大而增大，
故答案为：增大．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
16、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
［思路分析］根据题意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
［答案详解］解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到b≤a2﹣a是解题的关键．
17、对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
［思路分析］根据题意得到4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
［答案详解］解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到b≤a2﹣a是解题的关键．
18、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
［思路分析］解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
［答案详解］解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．
故答案为4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
19、已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
［思路分析］直线与y＝﹣x有一个交点，与y＝﹣x2+2x有两个交点，则有m＞0，x+m＝﹣x2+2x时，△＝1﹣4m＞0，即可求解．
［答案详解］解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
［经验总结］本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．
20、已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
［思路分析］（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；
（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．
［答案详解］解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵k为任意正实数，
∴k＞0，
∴函数图象开口向上，
∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣1﹣，
故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．
故答案为：0．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质，明确二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
21、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．
［思路分析］（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；
（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，
即直线x＝﹣﹣1；
（2）y＝x2+（a+2）x+2a，
整理得：y＝（x+2）（x+a），
当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，
当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，
当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＜2a2+4a，
解得：a＞﹣或a＜﹣1，
∵y2＜y3，
∴2a2+4a＜3a+3，
解得：﹣＜a＜1，
∵y1＜y2＜y3，
∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，
∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．
22、在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
［思路分析］（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
［答案详解］解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
23、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
［思路分析］（1）利用待定系数法解答即可求得函数解析式，将两个函数解析式联立即可求得点B坐标；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），利用m的代数式表示出PC，求得当PC长最大时的m，再利用DE∥PC得出比例式即可求解．
［答案详解］解：（1）将A点坐标（1，0）代入y＝x+b得：
+b＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+c，
将A点坐标（1，0）代入得：
﹣1﹣+c＝0，
∴c＝，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+；
由，
解得：或，
∴B（﹣2，﹣）；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），
∴PC＝（﹣）﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+2＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PC取得最大值，此时P（﹣，）．
设PC与x轴交于点F，则F（﹣，0），如图，
∴OF＝，
∵A点坐标（1，0），
∴OA＝1，
∴AF＝OA+OF＝，
∵PC∥DE，
∴，
∴，
∴DE＝．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24、在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
［思路分析］（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
［答案详解］解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
25、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
［思路分析］（1）利用表中数据得到抛物线的顶点为（0，5），则设抛物线的解析式为y＝ax2+5，然后把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5求出a即可得到二次函数表达式；
（2）计算x＝﹣2时的函数值得到a的值，计算函数值为﹣27对应的自变量的值可确定b的值．
［答案详解］解：（1）由上表得抛物线的顶点为（0，5），
抛物线的解析式为y＝ax2+5，
把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5，得 a+5＝3，解得a＝﹣2．
所以二次函数表达式为 y＝﹣2x2+5；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2x2+5＝﹣2×4+5＝﹣3，则a＝﹣3；
当y＝﹣27时，﹣2x2+5＝﹣27，x＝4或x＝﹣4，则b＝4．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
26、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
［思路分析］（1）利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而得到b与a的关系，利用待定系数法将（1，1）代入解析式，整理即可得出结论；
（2）①利用待定系数法解得即可；
②利用三角形的面积关系得到点D与点E的横坐标的关系，设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，利用BC解析式表示出点E坐标，代入直线y＝kx中求得k值，从而得到点D坐标，将点D坐标代入抛物线解析式，即可求得m值，将m值代入k的关系式即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．
∴＝1．
∴a＝﹣b，
∵抛物线经过点P（1，1），
∴a+b+c＝1．
∴﹣b+b+c＝1．
∴b+c＝1．
∴b+2c＝2；
（2）①当m＝0时，点A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∵当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3，
∴当x＝0时，y的最小值为﹣3，
∴抛物线经过点（0，﹣3）．
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵＝，
∴＝．
∴点E与点D的横坐标的比为3：5，
设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，
∵点E在直线BC上，
∴E（3m，3m﹣3）．
∴3mk＝3m﹣3．
∴k＝．
∴直线y＝kx是解析式为y＝x．
∴D（5m，5m﹣5）．
∵点D在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴25m2﹣10m﹣3＝5m﹣5．
解得：m＝﹣或m＝．
∴k＝6或﹣．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象的性质一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27、如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
［思路分析］（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
28、在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
［思路分析］（1）将点（1，2）代入解析式可求解；
（2）由两图象仅有一个交点，可得（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，即Δ＝0，可求解；
（3）由题意可得x＝0的函数值小于x＝x0的函数值，即可求解．
［答案详解］解：（1）将（1，2）代入，
得到（1﹣a）2+a﹣1＝2，
解得a1＝﹣1，a2＝2，
∴y＝（x+1）2﹣2或；
（2）∵y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b+5＝0，
∴；
（3）∵x0＞2a，
∴，
结合函数图象，可得|a﹣0|＜|a﹣x0|，
∴，
∴n＞a2+a﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．
29、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴；
（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），
∴﹣4+12+c＝18，
∴c＝10，
∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，
∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，
∴对称轴为直线x＝﹣3；
（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，
∴抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，
∵CB＝8，
∴两抛物线的对称轴间的距离为4，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，
∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，
∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），
由图象可知，当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴m＞n．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
30、已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
［思路分析］（1）由题意可得0＝9+3b+c①，﹣＝1②，联立方程组可求b，c，可求解析式．
（2）分别把点B，点C的坐标代入求得y1﹣y2，由二次函数的性质可求解．
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
［答案详解］解：（1）由题可得，
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上，
∴y1＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n，
y2＝（2n+3）2﹣2（2n+3）﹣3＝4n2+8n
∴y1﹣y2＝﹣3n2﹣12n＝3（n+2）2+12，
∵﹣3＜0，
∴当n＝﹣2时，y1﹣y2取最大值．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴﹣l＜n＜0；
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴不等式组无解．
综上所述：﹣l＜n＜0．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
