21.1 二次函数
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一、选择题
1、［中］若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
［思路分析］根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
［答案详解］解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
［经验总结］解题关键是掌握二次函数的定义．
2、［中］下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x（x+1） B．x2y＝1
C．y＝2x2﹣2（x2+1） D．y＝
［思路分析］整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答．
［答案详解］解：A、y＝x2+x，是二次函数；
B、y＝，不是二次函数；
C、y＝﹣2，不是二次函数；
D、不是整式，不是二次函数；
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
3、如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
［思路分析］根据AD的边长为x米，可以得出AB的长为米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．
［答案详解］解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x ，
∴y＝．
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．解题的关键是能够正确利用矩形的周长公式用含x的代数式表示AB，然后利用矩形的面积公式即可解决问题．
4、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
［思路分析］根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
［答案详解］解：A、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t＝，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝πR2，是二次函数，正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
5、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
［思路分析］根据二次函数的定义判断即可．
［答案详解］解：A、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6、当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1
［思路分析］根据二次函数定义可得a﹣1≠0，再解即可．
［答案详解］解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：D．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
7、某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
［思路分析］待定系数法求解可得．
［答案详解］解：根据题意设函数解析式为y＝a（x﹣）2+3，
将点（0，0）代入，得：a+3＝0，
解得：a＝﹣12，
∴函数解析式为y＝﹣12（x﹣）2+3，
故选：C．
［经验总结］本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
［思路分析］首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
［答案详解］解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等．
二、填空题
9、［中］若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义，要求自变量的指数等于2，系数不为0．
［答案详解］解：∵函数y＝（m2+m）是二次函数，
∴m2﹣1＝2，
解得m＝±；
且m2+m≠0，
即m≠0或m≠﹣1．
∴m＝±．
［经验总结］此题考查二次函数的定义．
10、［中］已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
［思路分析］函数通常情况下是用x表示y．注意分母不为0，二次项的系数不为0．
［答案详解］解：整理得函数表达式为y＝﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．
故答案为：y＝﹣x2﹣x；a≠0，c≠0；二次．
［经验总结］本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的取值．
11、［中］若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．
［答案详解］解：根据二次函数的定义，得：
m2﹣2＝2，
解得m＝2或m＝﹣2，
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
12、［中］二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
［思路分析］根据自变量与函数值的关系，可得答案．
［答案详解］解：当x＝﹣1时，y＝1﹣4﹣3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
［经验总结］本题考查了二次函数，利用自变量与函数值对应关系是解题关键．
13、［中］关于x的函数 y＝（m+1）x 是二次函数，则m的值 ．
［思路分析］根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
［答案详解］解：∵y＝（m+1）x 是关于x的二次函数，
∴m2﹣m＝2，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
［经验总结］该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
14、［中］若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m＝2，求出m即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m＝2，
解得：m≠﹣2且m＝﹣2，m＝1，
∴m＝1，
故答案为：1．
［经验总结］本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y＝axm+bx+c（abc都是常数）是二次函数，那么a≠0且m＝2．
15、二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义进行计算，即可解答．
［答案详解］解：由题意得：
m2﹣m＝2且m+1≠0，
解得：m＝2或m＝﹣1且m≠﹣1，
∴m＝2，
∴m的取值是m＝2，
故答案为：m＝2．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
16、如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
［思路分析］通过平移将空白区域转化为长为（5﹣x）cm，宽为（3﹣x）cm的长方形的面积即可．
［答案详解］解：由题意得，
y＝（5﹣x）（3﹣x）＝x2﹣8x+15，
故答案为：y＝x2﹣8x+15．
［经验总结］本题考查函数关系式，掌握矩形面积、空白区域面积、阴影部分面积之间的关系是解决问题的前提，通过平移将空白区域转化为长为（5﹣x）cm，宽为（3﹣x）cm的长方形是解决问题的关键．
三、解答题
17、［中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
［思路分析］根据一次函数与二次函数的定义求解．
［答案详解］解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0
解得m＝0或m＝1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0且m2≠1
∴当m1≠0且m2≠1时，这个函数是二次函数．
［经验总结］解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
18、［中］已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
［思路分析］（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．
［答案详解］解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝1．
［经验总结］本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
19、［中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
［答案详解］解：依题意得
∴
∴m＝1
（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
20、［较难］一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
［思路分析］（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
［答案详解］解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝．
［经验总结］此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
21、［中］已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
［答案详解］解：由题意：，解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
22、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
［答案详解］解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
［经验总结］此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．
23、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
［答案详解］解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝，
当m＝时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．
24、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零．21.1 二次函数
— 能力提升 —
一、选择题
1、［中］若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
2、［中］下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x（x+1） B．x2y＝1
C．y＝2x2﹣2（x2+1） D．y＝
3、如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
4、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
5、下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
6、当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1
7、某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
8、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
二、填空题
9、［中］若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝ ．
10、［中］已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
11、［中］若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
12、［中］二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
13、［中］关于x的函数 y＝（m+1）x 是二次函数，则m的值 ．
14、［中］若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
15、二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 ．
16、如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
三、解答题
17、［中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
18、［中］已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
19、［中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
20、［较难］一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
21、［中］已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
22、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
23、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
24、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
