第1节 二次函数的概念
— 常考精选 —
一、选择题
1、［2022·较易］下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
2、［2022·较易］二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
3、［2021·较易］下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣1
4、［2021·较易］下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
5、［2021·较易］下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
6、［2021·较易］下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
7、［2021·较易］下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
二、填空题
8、［2021·较易］已知是二次函数，则m＝ ．
9、［2021·较易］关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
10、［2022·较易］若函数y＝（m﹣2）x|m|+2x+1是关于x的二次函数，则m的值为 ．
11、［2022·较易］已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是 ．
12、［2021·较易］已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
13、［2021·较易］已知函数是二次函数，则m＝ ．
14、［2021·较易］二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 ．
三、解答题
15、［2021·较易］若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
16、［2021·较易］已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
17、［2020·较易］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
18、［2021·中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
19、［2019·中］已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
20、［2019·中］已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
21、［2015·中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
22、［2022·较易］已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？第1节 二次函数的概念
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一、选择题
1、［2022·较易］下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
［思路分析］根据二次函数的定义，y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），判断即可．
［答案详解］解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝22﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝2x2﹣3x3+1，不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2、［2022·较易］二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
［思路分析］根据二次函数的定义，即可解答．
［答案详解］解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3、［2021·较易］下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣1
［思路分析］根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）判断即可．
［答案详解］解：A、y＝﹣2x+3，是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝5x2+1，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x3+2x2﹣1，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
4、［2021·较易］下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
［思路分析］根据题意，列出函数解析式就可以判定．
［答案详解］解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
5、［2021·较易］下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
［思路分析］一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
［答案详解］解：A、y＝，是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝2x+1是一次函数，故C不符合题意；
D、2y＝x，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6、［2021·较易］下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
［思路分析］根据题意，列出函数解析式就可以判定．
［答案详解］解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
7、［2021·较易］下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
［思路分析］根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
［答案详解］解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
二、填空题
8、［2021·较易］已知是二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
［答案详解］解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义的应用，关键是能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2．
9、［2021·较易］关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
［思路分析］根据二次函数定义可得m+2≠0且m2﹣2＝2，再解即可．
［答案详解］解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
10、［2022·较易］若函数y＝（m﹣2）x|m|+2x+1是关于x的二次函数，则m的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义，可得|m|＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
［答案详解］解：由题意得：
|m|＝2且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
11、［2022·较易］已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是 ．
［思路分析］根据当x＝2时，y＝3，直接代入函数解析式，得出b的值，即可得出答案．
［答案详解］解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，
∴3＝﹣22+2b+3，
解得：b＝2，
∴这个二次函数的表达式是：y＝﹣x2+2x+3．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
［经验总结］此题主要考查了代数式求值，得出b的值是解题关键．
12、［2021·较易］已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
［思路分析］根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故答案为：2．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程是解题的关键．
13、［2021·较易］已知函数是二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：依题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数y＝ax2中，a是常数，且a≠0．
14、［2021·较易］二次函数解析式为y＝（m+1）+4x+7，则m的取值是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义进行计算，即可解答．
［答案详解］解：由题意得：
m2﹣m＝2且m+1≠0，
解得：m＝2或m＝﹣1且m≠﹣1，
∴m＝2，
∴m的取值是m＝2，
故答案为：m＝2．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
三、解答题
15、［2021·较易］若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数定义可得m2+1＝2且m+1≠0，求解即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+1＝2，m+1≠0，
解得m＝1，
∴m的值为1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
16、［2021·较易］已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）利用正比例函数的定义进而得出m的值；
（2）利用二次函数的定义进而得出m的值．
［答案详解］解：（1）因为函数y＝（m+3）是正比例函数，
所以m2﹣7＝1且m+3≠0，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2，
所以当m＝2时，此函数是正比例函数；
（2）因为函数y＝（m+3）是二次函数，
所以m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得：m＝3，
所以当m＝3时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了正比例函数和二次函数的定义，正确把握正比例函数和二次函数的定义是解题关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
17、［2020·较易］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
［答案详解］解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
18、［2021·中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
［答案详解］解：依题意得
∴
∴m＝1
（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
19、［2019·中］已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
［思路分析］（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．
［答案详解］解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝1．
［经验总结］本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
20、［2019·中］已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
［答案详解］解：由题意：，解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
21、［2015·中］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
［思路分析］根据一次函数与二次函数的定义求解．
［答案详解］解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0
解得m＝0或m＝1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0且m2≠1
∴当m1≠0且m2≠1时，这个函数是二次函数．
［经验总结］解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
22、［2022·较易］已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
［答案详解］解：（1）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m（m+2）＝0且m≠0，
解得：m＝﹣2；
当m＝﹣2时，此函数是一次函数；
（2）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m（m+2）≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0，
当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握一次函数以及二次函数的定义是解题的关键．
