3.7 二次函数与一元二次方程
— 解答专练 —
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1、在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点，连线即可得到函数图象，性质可以观察增减性、最值等得到；
（3）画出图象，y2＞y1是指y2的图象在y1图象上方的部分，找出对应横坐标满足的条件即是的解集．
［答案详解］解：（1）x＝0，y＝﹣1代入y＝﹣3得：﹣1＝﹣3，
∴a＝1，
∴函数为y＝﹣3，
把（2，b）代入得，b＝﹣3＝﹣1，
故答案为：1，﹣1；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
观察图象，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象，方程 ＝x+的解为x＝﹣3.4或x＝0.8或x＝1.2．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
2、已知函数y＝y1 y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： ；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y ﹣9 ﹣ m n ﹣1 ﹣ …
m＝ n＝ ；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1 y2（用＜、＝、＞填空）；
②写出关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）．
［思路分析］（1）解析式探究：将已知条件代入即可求得该函数解析式；
①将x＝﹣2和﹣1分别代入函数解析式求出对应的数值；
②在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；
（2）解决问题：
①观察图象，得出结论；
②画出直线y＝﹣x+3，结合图象即可求得．
［答案详解］解：（1）∵y1＝x+1，y2＝x﹣1，
∴y＝y1 y2＝（x+1）（x﹣1）＝x3﹣1，
∴该函数解析式为y＝x3﹣1，
故答案为：y＝x3﹣1，
①当x＝﹣2时，y＝×（﹣8）﹣1＝﹣2，当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）﹣1＝﹣，
故m＝﹣2，n＝﹣，
故答案为﹣2，﹣；
②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出当x≤0时的函数图象．
（2）①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；由图象可知则y1＜y2；
故答案为＜；
②由图象可知关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解为2.4．
［经验总结］本题考查了一次函数的图象与性质，图象法求一元二次方程的近似值，列表，画函数图象，观察函数图象．
3、已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
［思路分析］（1）由Δ＞0即可列不等式得到答案；
（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
［答案详解］解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
［经验总结］本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
4、某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
［思路分析］（1）把x＝0.5代入函数解析式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）观察函数图象，得到函数y＝|x2﹣2x|的图象当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与直线y＝交点个数即可得到结论；
②画出直线y＝﹣x+1，根据题意和表格即可求得．
［答案详解］解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，
得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，
即m＝1.25，
故答案为：1.25；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝ 4个实数根．
故答案为4；
②如图，
由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4，
故答案为0.4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
5、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
［思路分析］（1）先根据判别式的值得到Δ＝1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB＝5得出|k|+|k+1|＝5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
［答案详解］（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个根．
6、设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
［思路分析］（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
［经验总结］本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
7、如图，抛物线y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l过点Q（﹣2，0），与抛物线y1交于点P．
（1）直接写出线段AB的长，并用含a的式子将抛物线y1的对称轴表示出来；
（2）将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，向右平移n﹣1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，抛物线y2与直线l交于点Q．
①直线l与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；
②抛物线yn与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
［思路分析］（1）利用抛物线的解析式求得点A，B的坐标，利用二次函数的性质解答即可；
（2）①利用抛物线平移的性质解答即可；
②利用待定系数法求得a值，进而利用解析式求得点P，R的坐标，利用已知条件列出关于n的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）令y1＝0，则（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝0，
解得：x＝a或x＝a+4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（a，0），B（a+4，0）．
∴AB＝（a+4）﹣a＝4；
抛物线y1的对称轴为直线；
（2）①∵y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝（x﹣a﹣2）2﹣4，
∴抛物线y1的顶点为（a+2，﹣4），
∵将抛物线y1向右平移所得的抛物线的顶点的纵坐标不变且相互平行，
∴直线l与所有抛物线都有一个交点，所有的抛物线的顶点的纵坐标均为﹣4，
∴直线l与所有抛物线的交点个数为n个，所有抛物线的顶点所在直线是y＝﹣4，
故答案为：n，y＝﹣4；
②由抛物线y2与l交于点Q（﹣2，0），
得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3
∴，
∴，
∴点P（﹣2，﹣3），点R（﹣2，n2﹣4）．
∴RP＝（n2﹣4）+3＝n2﹣1，
∵四边形PARB的面积＝AB PR＝70，
即：，
解得：n1＝6，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴n的值为6．
［经验总结］本题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称轴，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
［答案详解］解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
9、已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
［思路分析］（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6．
［经验总结］此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图象与坐标轴交点是解题关键．
10、已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
［思路分析］（1）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）；
（2）抛物线与x轴交点的坐标的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零；
（3）利用顶点坐标求出平移后的解析式．
［答案详解］解：（1）y＝﹣2x2+3x﹣1＝﹣2（x2﹣x）﹣1＝﹣2（x﹣）2+，则顶点A的坐标是（，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，即抛物线与y轴的交点是（0，﹣1）．
当y＝0时，﹣2x2+3x﹣1＝0，
解得，x1＝1，x2＝，即抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（，0）；
（3）由（2）知，抛物线与x轴的两个交点是（1，0），（，0）；
∴该二次函数的图象向左平移个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点．
此时，图象顶点为（，）
∴平移后图象对应的二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣）2+．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点．
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
11、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
［思路分析］（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值．
［答案详解］解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，
当x＝1时，y有最小值﹣4，
∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴n＝﹣4，
而m+n＝1，
∴m＝5，
当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴k＝4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
［思路分析］（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝＝6，
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m＝，
∴S△DD′M＝××（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±．
当m＝1+时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4﹣10，
当m＝1﹣时，﹣m2﹣2m+3＝4﹣10，
∴M（1+，﹣4﹣10）或（1﹣，4﹣10）．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
13、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
［思路分析］（1）利用顶点式写出抛物线解析式；
（2）设顶点M的纵坐标为m，利用顶点的坐标公式得到m＝，再进行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，从而可判断抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根据直线y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
［答案详解］（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式．
14、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数的图象；
（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．
［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；
（2）如图，
（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
15、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
［思路分析］（1）利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据新定义，把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p值可得到p的值；
（2）利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（2，11），再利用待定系数法确定一次函数解析式为y＝3x+5，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y＝kx+t与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）先解方程x2+2x+n＝0得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，解方程得到n＝﹣3，再利用配方法得到抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），然后把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3中可求出m的值．
［答案详解］解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，
解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线的顶点坐标为（2，11），
把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，
当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），
当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，
∴n＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，
解得m＝﹣1，
∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
［思路分析］（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
17、如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
［思路分析］（1）将A（2，0）代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，M的坐标代入即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），
∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（1，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法求函数的关系式，以及二次函数顶点式的转化，属于常考题型．
18、在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标．
［思路分析］（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．
（2）根据S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），
即y＝x2﹣x﹣4．
（2）如图，连接OP，
设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；
∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，
∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；
整理得：m2+2m﹣15＝0，
解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），
∴P（3，﹣）．
［经验总结］本题考查了三角形的面积，二次函数的解析式的求法，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
［思路分析］（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，﹣＝1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣x2+x，
∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
方法二‘
∵B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在抛物线y＝﹣x2+x上，
∴y1＝﹣（3n﹣4）2+（3n﹣4）＝﹣n2+15n﹣12，
y2＝﹣（5n+6）2+（5n+6）＝﹣n2﹣25n﹣12，
∴y1﹣y2＝8n（n+5），
∵n＜﹣5，
∴8n＜0，n+5＜0，
∴y1﹣y2＝8n（n+5）＞0，
∴y1＞y2．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20、如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
［思路分析］（1）设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），再将点C代入，求出a值即可；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，利用S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可．
［答案详解］解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
将C代入得：4＝﹣2a，
解得：a＝﹣2，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
当m＝1时，S最大，最大值为8．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来．3.7 二次函数与一元二次方程
— 解答专练 —
1、在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
2、已知函数y＝y1 y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： ；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y ﹣9 ﹣ m n ﹣1 ﹣ …
m＝ n＝ ；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1 y2（用＜、＝、＞填空）；
②写出关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）．
3、已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
4、某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
5、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
6、设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
7、如图，抛物线y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l过点Q（﹣2，0），与抛物线y1交于点P．
（1）直接写出线段AB的长，并用含a的式子将抛物线y1的对称轴表示出来；
（2）将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，向右平移n﹣1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，抛物线y2与直线l交于点Q．
①直线l与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；
②抛物线yn与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
8、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
9、已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
10、已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
11、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
12、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
13、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
14、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
15、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
16、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
17、如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
18、在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标．
19、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
20、如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
