28.1 二次函数的图像和性质
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1、［2021济南·中考］新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
［思路分析］根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
［答案详解］解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
2、［2021邻水县·三模］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
［答案详解］解：由函数图象可得，a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，即2a﹣b＝0，故②正确；
∴abc＞0，故①正确，
由图可知，二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故③正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2，故④正确，
由图可知，当x＝﹣1时，y取得最大值，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2+bm≤a﹣b，故⑤错误．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3、［2020宝安区·期末］把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3
［思路分析］利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+3+1
＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣（x+1）2+4．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质及二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
4、［2016兰州·中考］二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4
［思路分析］根据配方法，可得顶点式函数解析式．
［答案详解］解：y＝x2﹣2x+4配方，得
y＝（x﹣1）2+3，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的不同表达形式，配方法是解此题关键．
5、［2022七星关区·二模］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．
①abck＞0，②4b+3c＝0，③4a+2b+c+2k＜0，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则k＝﹣2a，⑤m为任意实数，则有m（am+b）+c+a≥0．
A．2 B．3 C．4 D．5
［思路分析］由抛物线与直线图象可判断①，由对称轴为直线x＝3可得b与a的关系，由一次函数解析式可得直线与抛物线经过（4，0），由抛物线的对称轴可得抛物线经过（2，0），从而可得a与c的关系，进而判断②，由k＜0，4a+2b+c＝0可判断③，由x＝0可得直线与抛物线与y轴的交点，即可求出k与c的关系，再由a与c的关系可判断④，由x＝3时y＝9a+3b+c为最小值及b，c与a的关系可判断⑤．
［答案详解］解：直线y＝kx﹣4k（k是常数）的图象过一、二、四象限，
∴k＜0，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
又抛物线的对称轴为，
∴b＜0，
∴abck＞0，故①正确；
∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4），
∴x＝4时，y＝0，
∴直线y＝kx﹣4k与x轴交点为（4，0），
∴抛物线与y＝kx﹣4k也交于（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝3，
∴b＝﹣6a，
由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，即c＝8a，
∴4b+3c＝﹣24a+24a＝0，②正确．
由②知，抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵k＜0
∴4a+2b+c+2k＝2k＜0，故③正确；
根据题意知，当x＝0时，直线与抛物线的y值相等，
∴﹣4k＝c，
∴
由②得c＝8a，
∴，故④正确；
当x＝3时，抛物线取得最小值，最小值为：y＝9a+3b+c
当x＝m时，代入y＝ax2+bx+c得am2+bm+c≥9a+3b+c，
两边同时加上a，得，am2+bm+c+a≥9a+3b+c+a
∴m（am+b）+c+a≥10a+3b+c，
∵b＝﹣6a，c＝8a
∴10a+3b+c＝10a﹣18a+8a＝0
∴m（am+b）+c+a≥0，故⑤正确，
∴正确的结论有5个，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6、［2022云岩区·一模］已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点M是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）对称轴上的一个动点．若抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上恰存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值为（ ）
A．﹣8或﹣6 B．﹣6或0 C．﹣8或2 D．0或2
［思路分析］由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．
［答案详解］解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形，
当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．
观察图象可知，﹣＝﹣1或4，
∴＝﹣8或2．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．
7、［2022钱塘区·二模］已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2
B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2
D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
［思路分析］通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．
［答案详解］解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
P2（x2，y2）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x2，y2），
若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，
当抛物线开口向上时，y1＞y2，
∴选项A错误．
若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，
当抛物线开口向下时，y1＞y2，
∴选项B错误．
若a（x1+x2﹣4）＞0，当x1+x2＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，
∴y1＞y2，
当x1+x2＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，选项C正确．
若a（x1+x2﹣4）＜0，当x1+x2＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，选项D错误．
解法二：作差法，
∵y1＝﹣a+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2+c，
∴y1﹣y2＝﹣a+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2+c）
＝﹣a（x﹣x）+4a（x1﹣x2）
＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）
＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
当a（x1+x2﹣4）＞0时，则﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，
∴y1＞y2，
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
8、［2022晋州市·晋州七中期末］如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
［思路分析］由题意可证明△BOE≌△COF，从而可证明∠EOF＝90°，且OE＝OF，所以四边形OECF的面积始终等于△BOC的面积4，当OE⊥BC（OE＝2）时，△OEF面积取最小值2．
［答案详解］解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵BE＝CF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，
即∠EOF＝∠BOC＝90°，
且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，
即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
由垂线段最短可得，
当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，
△OEF面积取最小值为×2×2＝2，
∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，
故选：A．
［经验总结］此题考查了正方形综合问题的解决能力，关键是能证得△BOE≌△COF，再辨别各结论的对错．
9、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
［思路分析］根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
［答案详解］解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，求出顶点坐标是解题的关键．
10、［2019雅安·中考］已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
［思路分析］直线与y＝﹣x有一个交点，与y＝﹣x2+2x有两个交点，则有m＞0，x+m＝﹣x2+2x时，△＝1﹣4m＞0，即可求解．
［答案详解］解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
［经验总结］本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．
11、［2022贵港·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
［思路分析］根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a＜0，进而可得b＜0，c＞0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，
（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，
∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，
又∵a＜0，m≠﹣，
∴a（m+）2＜0，
即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1＞﹣，
∴y1＜y2，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
12、［2022易县·一模］已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
［思路分析］（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；
（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．
［答案详解］解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵k为任意正实数，
∴k＞0，
∴函数图象开口向上，
∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣1﹣，
故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．
故答案为：0．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质，明确二次函数的性质是解题的关键．
13、［2022长春·中考］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
［思路分析］函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
14、［2021任城区·月考］把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
［思路分析］用配方法二次函数y＝x2﹣6x+5可化为y＝x2﹣6x+9﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．
［答案详解］解：二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣4．
［经验总结］考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
15、［2021临沭县·月考］把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是 ．
［思路分析］利用配方法可把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式．
［答案详解］解：y＝﹣2x2+4x+3
＝﹣2（x2﹣2x）+3
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣2（x﹣1）2+5．
故答案为y＝﹣2（x﹣1）2+5．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
16、［2021瓦房店市·期末］在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
［思路分析］根据a值对抛物线开口的作用进行判断即可．
［答案详解］由题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2＝a×1．
∴a＝2．
当抛物线过点（3，1）时，1＝9a，
∴a＝．
∴≤a≤2．
过答案为：≤a≤2．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，确定a 取最值时的条件是求解本题的关键．
17、［2020高要区·期中］已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．
（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
［思路分析］（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；
（3）把y＝0代入y＝2x2﹣8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x＝0代入y＝2x2﹣8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．
［答案详解］解：（1）y＝2x2﹣8x+6＝2（x2﹣4x+4）﹣8+6＝2（x﹣2）2﹣2；
（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标是：（2，﹣2）；对称轴是：x＝2；
（3）∵y＝2x2﹣8x+6，
∴当y＝0时，2x2﹣8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）．
故答案为y＝2（x﹣2）2﹣2；（2，﹣2），x＝2．
［经验总结］本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．
18、［2019阜宁县·期末］把二次函数表达式y＝x2﹣4x+c化为y＝（x﹣h）2+k的形式．
［思路分析］本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．
［答案详解］解：y＝x2﹣4x+c＝x2﹣4x+4+c﹣4＝（x﹣2）2+c﹣4，即y＝（x﹣2）2+c﹣4．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
19、［2021临沭县·月考］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
［思路分析］（1）利用配方法将解析式化成顶点式；
（2）根据二次函数的性质解答；
（3）根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；
（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；
（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
20、［2020合肥·期末］已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
［思路分析］利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴，由对称轴和抛物线开口方向写出函数的单调性．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．
21、［2020嘉鱼县·期末］（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．
［思路分析］（1）先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
（2）利用配方法求出其顶点坐标即可．
［答案详解］解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
配方得：（x﹣2）2＝5．
所以．
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）配方得：y＝（x+1）2+2，其顶点坐标是（﹣1，2），开口向上，则该函数最小值为2．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
22、［2020高安市·期中］（1）解方程：2x2+1＝3x；
（2）将二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
［思路分析］（1）直接利用十字相乘法解方程得出答案；
（2）直接利用配方法将原式变形得出答案．
［答案详解］解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1；
（2）
＝
＝．
［经验总结］此题主要考查了因式分解法解方程以及二次函数的三种形式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
23、［2020巨野县·模拟］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
［思路分析］（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解；
（3）先求出方程x2﹣6x+8＝0的两根，再根据二次函数的性质即可求解．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣9+8＝（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x＝3，
∴当0≤x≤4时，x＝3，y有最小值﹣1；x＝0，y有最大值8；
（3）∵y＝0时，x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为﹣1，8．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及最值的求法，难度适中．把一般式转化为顶点式是解题的关键．
24、［2021亳州·期末］若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
［思路分析］（1）利用表中数据得到抛物线的顶点为（0，5），则设抛物线的解析式为y＝ax2+5，然后把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5求出a即可得到二次函数表达式；
（2）计算x＝﹣2时的函数值得到a的值，计算函数值为﹣27对应的自变量的值可确定b的值．
［答案详解］解：（1）由上表得抛物线的顶点为（0，5），
抛物线的解析式为y＝ax2+5，
把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5，得 a+5＝3，解得a＝﹣2．
所以二次函数表达式为 y＝﹣2x2+5；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2x2+5＝﹣2×4+5＝﹣3，则a＝﹣3；
当y＝﹣27时，﹣2x2+5＝﹣27，x＝4或x＝﹣4，则b＝4．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．28.1 二次函数的图像和性质
— 近期热题 —
1、［2021济南·中考］新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
2、［2021邻水县·三模］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、［2020宝安区·期末］把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3
4、［2016兰州·中考］二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4
5、［2022七星关区·二模］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．
①abck＞0，②4b+3c＝0，③4a+2b+c+2k＜0，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则k＝﹣2a，⑤m为任意实数，则有m（am+b）+c+a≥0．
A．2 B．3 C．4 D．5
6、［2022云岩区·一模］已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点M是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）对称轴上的一个动点．若抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上恰存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值为（ ）
A．﹣8或﹣6 B．﹣6或0 C．﹣8或2 D．0或2
7、［2022钱塘区·二模］已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2
B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2
D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
8、［2022晋州市·晋州七中期末］如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对
9、［2021哈尔滨·中考］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
10、［2019雅安·中考］已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
11、［2022贵港·中考］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
12、［2022易县·一模］已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
13、［2022长春·中考］已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
14、［2021任城区·月考］把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
15、［2021临沭县·月考］把二次函数y＝﹣2x2+4x+3化成y＝a（x+h）2+k的形式是 ．
16、［2021瓦房店市·期末］在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
17、［2020高要区·期中］已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．
（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
18、［2019阜宁县·期末］把二次函数表达式y＝x2﹣4x+c化为y＝（x﹣h）2+k的形式．
19、［2021临沭县·月考］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
20、［2020合肥·期末］已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
21、［2020嘉鱼县·期末］（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；
（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．
22、［2020高安市·期中］（1）解方程：2x2+1＝3x；
（2）将二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
23、［2020巨野县·模拟］已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
24、［2021亳州·期末］若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
