21.4 二次函数的应用
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一、选择题
1、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
［思路分析］据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
［答案详解］解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ PF＝t t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
2、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
［思路分析］由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
［答案详解］解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
［经验总结］考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．
3、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
［思路分析］分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．
［答案详解］解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
4、［中］已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
［思路分析］根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
［答案详解］解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
5、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
［思路分析］根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判断③；把x＝6代入解析式即可判断④．
［答案详解］解：①观察图形可知，AB＝30m，
故①错误；
②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，
将（15，0）代入，可得a＝，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣5；
故②正确；
③∵y＝x2﹣5，
∴当x＝12时，y＝﹣1.8，
故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），
故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时，
将x＝6代入y＝﹣x2﹣5，得y＝﹣4.2，
可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），
即为原来的，
故④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
6、［中］如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
［思路分析］用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，﹣t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故①正确；
当x＝时，抛物线有最大值，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t+2），
∴OP＝，
∴当t＝时，OP有最小值为，
故④正确；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函数的解析式是解题的关键．
7、［中］一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
［思路分析］先建立适当坐标系根据题意可得A，B，C，D坐标，设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．然后把x＝﹣2.5代入解析式求y即可．
［答案详解］解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐标系：
∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），
该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
8、［中］我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
［思路分析］观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
［答案详解］解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故A正确，不符合题意；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合题意，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
9、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
［思路分析］把x＝0代入y＝x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y＝x+2与y＝﹣x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y＝﹣x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2﹣h，最后，求得当抛物线恰好与菱形的边AB、BC都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
［答案详解］解：把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
将y＝x+2与y＝﹣x联立，解得：x＝﹣2，y＝1，
∴B（﹣2，1）．
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k＝﹣h．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：
当抛物线经过点C（O）时，抛物线恰好与BC、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得h＝0（舍去）或h＝．
如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝﹣2．
∴当﹣2≤h≤时，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点．
故答案为：﹣2≤h≤．
［经验总结］本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与菱形的边AB、BC恰好都有公共点时h的值是解题的关键．
10、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
［思路分析］根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
［答案详解］解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
［经验总结］此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
11、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
［思路分析］将m＝2，x＝2代入解析式可判定①，将x＝1代入解析式可得y＝0，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由m的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④．
［答案详解］解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
将x＝2代入y＝x2﹣4x+3得y＝4﹣8+3得y＝﹣1，
∴（2，﹣1）在抛物线上，①错误．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1＝x2﹣2x﹣mx+m+1＝x2﹣2x﹣m（x﹣1）+1，
∴当x＝1时，y＝1﹣2+1＝0，
∴抛物线经过定点（1，0），
∴②正确．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1+，
当m＞0时，1+＞1，
∴当x＞1+时，y随x增大而增大，③错误．
点A（﹣3，0），B（1，0）关于直线x＝﹣1对称，
当﹣4≤m＜0时，﹣1≤1+＜1，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣1与点B之间，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与线段AB有2个交点，④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
［思路分析］设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
［答案详解］解：设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，
所以S＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x
＝﹣（x﹣20）2+400，
∵﹣1＜0，
∴x＝20时，S取得最大值，最大值为400，
答：当x＝20m时，矩形场地的面积S最大；
故答案为：20．
［经验总结］本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
13、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
［思路分析］根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；最后将其代入求值即可．
［答案详解］解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求＝1++…+的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和．
14、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
15、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
［思路分析］利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
［答案详解］解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如下图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
16、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
［思路分析］先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
17、［较难］如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
［思路分析］（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
［答案详解］解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
［经验总结］本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
18、［较难］如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
［思路分析］（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出y＝2时，x的值即可判断．
（3）由题意点B的坐标为（0，﹣m2+4），求出几个特殊位置m的值即可判断．
［答案详解］解：（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，
当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．
（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，
解得m＝3或﹣1（舍去），
∴此时抛物线的对称轴x＝3，
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．
（3）∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
当x＝0时，y＝﹣m2+4，
∴点B的坐标为（0，﹣m2+4），
如图，抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，
解得m＝2或﹣2（不合题意舍去），
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B（0，4），
∴﹣m2+4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
19、［难］如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
［思路分析］（1）①利用配方法可得顶点M的坐标；
②根据x＝y列方程，计算Δ＞0可得结论；
（2）由tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝，可得x1 2c＝，求出x1＝，标表示出点A坐标为（，0），由顶点坐标M（﹣，），C（0，c），用待定系数法表示出直线MC的解析式为：y＝x+c，点P坐标为（﹣，0），再相似得PC2＝PA PB，勾股定理得PC2＝OP2+OC2，列等式利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而写出解析式即可．
［答案详解］解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；
（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，
∴x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；
（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），
则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），
由一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝可得x1 2c＝，
∴x1＝，
∴点A坐标为（，0），
∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），
设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，
根据题意得：，
解得：，
∴直线MC的解析式为：y＝x+c，
∴点P坐标为（﹣，0），
由此可得PA＝+，PB＝2c+，
∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PA PB，
∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，
∴+c2＝（+）（2c+），
∴c2＝++，
∴c＝++＝①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c＝0，
∴4ac+2b+1＝0，
∴4ac+b+1＝﹣b②，
将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，
将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，
得，﹣4+2b+1＝0，
解得：b＝，
∴P的坐标为（﹣，0），
又∵S△PBC＝PB CO＝（2c+） c＝，
∴＝，
解得，c＝（﹣舍去），
又∵c＝﹣，a＝﹣，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合性问题，待定系数法求函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的运用，第三问有难度，利用参数表示点的坐标，列等式依次求出各项系数是解本题的关键．
20、［难］小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
［思路分析］（1）根据表格中数据对称性，判断抛物线顶点，设为顶点式，再代入一个点坐标，进而求得结果；
（2）根据平移，先得出C2的解析式，可得其图象过原点，求得抛物线与x轴的交点，进而根据三角函数定义求得结果；
（3）设点P坐标，求出AP的关系式，从而求得Q点坐标，进而求得∠QDO的值，进一步命题得证；
（4）分别求出直线y＝与C1，C2有一个公共点时b的值，进而得出结果．
［答案详解］（1）解：设抛物线C1的解析式是：y＝a（x﹣2）2+7，
当x＝0时，y＝3，
∴4a+7＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3；
（2）如图，
∴C1的顶点是（2，7），
∴C2的顶点是（﹣2，4），
∴y＝﹣（x+2）2+4，
当﹣（x+2）2+4＝0时，
x1＝﹣4，x2＝0，
∴B（﹣4，0），C（0，0），
∴BD＝2，AD＝4，
∴tan∠ABC＝；
（3）设P（a，﹣a2﹣4a），D（a，0），
设直线AP的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣（a+2）x﹣2a，
当x＝0时，y＝﹣2a，
∴Q（0，﹣2a），
∴tan∠QDO＝＝＝2，
∴∠ABC＝∠QDO，
∴AB∥DQ；
（4）由+b＝﹣x2﹣4x得，
x2+x+b＝0，
当Δ＝0时，
（）2﹣4b＝0，
∴b＝，
由＝﹣x2+4x+3得，
x2﹣x+（b﹣3）＝0，
当Δ′＝0时，
（﹣）2﹣4（b﹣3）＝0，
∴b＝，
∴＜b＜．
［经验总结］本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，图象的平移，锐角三角形函数定义，图象交点坐标与方程组的解之间的关系等知识，解决问题的关键是数形结合，观察转化．
21、［难］已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
［思路分析］（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证AC∥BD，所以△ACQ的面积＝△ACD的面积，进而求△PAQ的面积最大可转化为求△PAC的面积最大；过点P作PE∥y轴交AC于点E，表达△PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的对角线时，分别求解即可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
∴．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y＝x+3；
∵B（1，0），D（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1；
∴AC∥BD，CD＝4，
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
过点P作PE∥y轴交AC于点E，如图，
设点P的横坐标为t，
则P（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝﹣（t+）2+．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，△PAQ的最大值为，此时P（﹣，）．
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∵y′＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5．
∵R在新抛物线对称轴上，
∴R的横坐标为x＝1．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当PD为平行四边形的边时，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣﹣0＝1﹣xS或﹣﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝﹣．
∴S（，﹣）或（﹣，）．
∵yP﹣yD＝yR﹣yS或yP﹣yD＝yS﹣yR，
∴﹣（﹣1）＝yR﹣（﹣）或﹣（﹣1）＝﹣yR，
∴yR＝﹣或yR＝﹣．
∴R（1，﹣）或（1，﹣）．
②当PD为平行四边形的对角线时，xP+xD＝xR+xS，
∴﹣+0＝1+xS，
解得xS＝﹣，
∴S（﹣，），
∵yP+yD＝yR+yS，
∴+（﹣1）＝yR+，
∴yR＝﹣．
∴R（1，﹣）．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，﹣）或（1，﹣）或（1，﹣）．
［经验总结］本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论．
22、［难］在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a、b为常数，且a≠0）与y轴交于点A，且经过点B（3，﹣1）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当﹣1≤x≤3时，抛物线的最低点的纵坐标为﹣2时，求抛物线的函数表达式．
（3）抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象G，将图象G在直线y＝2下方的部分沿直线y＝2翻折，其他部分保持不变，得到新的图象G1.当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，求a的值．
（4）若在该抛物线上存在纵坐标为1的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为S．当6≤S≤9时，直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）将点B的坐标代入抛物线整理即可得出结论；
（2）由（1）可得出抛物线的对称轴，再根据题意进行分类讨论即可；
（3）分两种情况进行讨论，当a＞0时，整个部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；若a＜0，部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥4即可；
（4）设点P的横坐标为t，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，由三角形的面积公式可得出t的取值范围，再代入抛物线的解析式，可得出a的取值范围．
［答案详解］解：（1）将B（3，﹣1）代入抛物线y＝ax2+bx+2，
∴9a+3b+2＝﹣1，
整理得b＝﹣3a﹣1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝ax2﹣（3a+1）x+2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝．
根据题意需要分以下几种情况：
①当≤﹣1且a＞0时，不成立；
②当≤﹣1且a＜0时，﹣≤a＜0，
则最低点为（3，﹣2），显然不合题意；
③当≥3且a＞0时，即0＜a≤，
最低点为（3，﹣2），显然不符合题意；
④当≥3且a＜0时，不成立；
⑤当﹣1≤≤3且a＞0时，即a≥，将（，﹣2）代入抛物线得a＝；
⑥当﹣1≤≤3且a＜0时，即a≤﹣，将（﹣1，﹣2）（3，﹣2）代入抛物线得a＝﹣或a＝（舍去）；
综上，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2或y＝x2+x+2．
（3）根据题意可知需要分两种情况进行讨论，
①当a＞0时，整个部分翻折，若存在两个点到直线y＝6的距离为2，则图象G′顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；
∴，
解得a≥1+；
②若a＜0，部分翻折，若存在两个点到直线y＝6的距离为2，则图象G的顶点的纵坐标≥4，
∴，
解得a≤；
综上，当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，a的取值范围为：a≥1+或a≤；
（4）∵A（0，2），B（3，﹣1），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，
如图，直线y＝1与抛物线交于点P，设点P的横坐标为t，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，
∴P（t，1），Q（t，﹣t+2），
∴PQ＝|t﹣1|，
∴S＝×3 |t﹣1|，
∵6≤S≤9，
∴6≤×3 |t﹣1|≤9，
∴5≤t≤7或﹣7≤t≤﹣5；
①当5≤t≤7时，如图，
当t＝5时，将P（5，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
25a﹣5（3a+1）+2＝1，解得a＝；
当t＝7时，将P（7，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
49a﹣7（3a+1）+2＝1，解得a＝；
∴≤a≤；
②当﹣7≤t≤﹣5时，如图，
当t＝﹣5时，将P（﹣5，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
25a+5（3a+1）+2＝1，解得a＝﹣；
当t＝﹣7时，将P（﹣7，1）代入抛物线y＝ax2﹣（3a+1）x+2得，
49a+7（3a+1）+2＝1，解得a＝﹣；
∴﹣≤a≤﹣；
综上，符合题意的a的取值范围为：≤a≤或﹣≤a≤﹣．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、三边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，属于中考压轴题．
23、［难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，∠ABC＝30°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当S△PBC＝S△AOC，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
［思路分析］（1）根据直角三角形含30°角的性质可得OB的长，得点B的坐标，利用点B、A的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）先利用待定系数法可得直线BC的解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），表示PE的长，根据S△PBC＝S△AOC，列等式可得PE的长，列方程可解答；
（3）根据平移的性质可确定：将抛物线向下平移个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，得点F的坐标，分两种情况讨论：根据AF＝AM列方程可得结论．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），OC＝2，
∵∠BOC＝90°，∠ABC＝30°，
∴OB＝OC＝6，
∴B（6，0），
把A（﹣2，0）和B（6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，
∵B（6，0），C（0，2），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），
∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+m，
∵S△PBC＝S△AOC，
×6×PE＝××，
∴PE＝，
∴﹣m2+m＝，
解得：m1＝m2＝3，
∴P（3，）；
（3）如图2，Rt△BOC中，若BC＝，
∵∠B＝30°，
∴OC＝，OB＝OC＝1，
∴将抛物线沿射线CB方向平移个单位，就是将抛物线向下平移个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，
∴F（3，），
设M（0，y）（y＞0），
分两种情况：
①如图3，AF为边，当四边形AFNM是菱形时，AF＝AM，
∴（3+2）2+（）2＝22+y2，
∴y2＝，
∴y＝，
∴M（0，），
∴N（5，+）；
②如图4，AF是对角线，四边形AMFN是菱形，
∵AM＝FM，
∴22+y2＝32+（y﹣）2，
∴y＝，
∴M（0，），
∴N（1，﹣）；
综上，点N的坐标为（5，+）或（1，﹣）．
［经验总结］本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
24、［难］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．
［答案详解］解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），
∵点P在抛物线F：y＝ax2上，
∴am2＝2m2，
∴a＝2．
（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，
∴s＝yA﹣yB
＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2
＝﹣3t2+2mt+m2
＝﹣3（t﹣m）2+m2，
∵﹣3＜0，
∴当t＝m时，s的最大值为m2，
∵s的最大值为4，
∴m2＝4，解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣．
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M（n，2n2），
∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，
∴n＝﹣m，
∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，
∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∵∠PQG＝90°，
∴∠PQK+∠GQN＝90°，
∴∠QPK＝∠GQN，
∴△PKQ∽△QNG，
∴PK：QN＝KQ：GN，即PK GN＝KQ QN．
∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，
∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2 QN
解得QN＝．
∴G（0，﹣）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．21.4 二次函数的应用
— 能力提升 —
一、选择题
1、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
2、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
3、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
4、［中］已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
5、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
6、［中］如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
7、［中］一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
8、［中］我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
二、填空题
9、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
10、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
11、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
12、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
13、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
14、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
15、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
16、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
三、解答题
17、［较难］如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
18、［较难］如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
19、［难］如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
20、［难］小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
21、［难］已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
22、［难］在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a、b为常数，且a≠0）与y轴交于点A，且经过点B（3，﹣1）．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当﹣1≤x≤3时，抛物线的最低点的纵坐标为﹣2时，求抛物线的函数表达式．
（3）抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象G，将图象G在直线y＝2下方的部分沿直线y＝2翻折，其他部分保持不变，得到新的图象G1.当图象G1上存在两个点到直线y＝6的距离为2时，求a的值．
（4）若在该抛物线上存在纵坐标为1的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为S．当6≤S≤9时，直接写出a的取值范围．
23、［难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，∠ABC＝30°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当S△PBC＝S△AOC，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
24、［难］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
