1.1 二次函数
— 同步练习 —
一、选择题
1、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
4、下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
5、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
6、若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
7、若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
8、下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
二、填空题
9、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是
．
10、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
11、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为 ．
12、如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 ．
13、二次函数y＝3x﹣x2的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
14、函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
15、如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 ．
16、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
18、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
19、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
20、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
21、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
22、已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
23、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
24、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？1.1 二次函数
— 同步练习 —
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一、选择题
1、二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5
［思路分析］根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
［答案详解］解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选：D．
［经验总结］本题考查给出二次函数的值去求函数的自变量，转化为求一元二次方程的解．
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
［思路分析］根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．
［答案详解］解：A、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；
B、设原来的人口是a，x年后的人口数是y，则y＝a（1+1%）x，不是二次函数关系；
C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．
D、设半径是r，则周长c＝2πr，是一次函数关系．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
3、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
［思路分析］根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
［答案详解］解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4、下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
［思路分析］根据题意，列出函数解析式就可以判定．
［答案详解］解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
5、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
［思路分析］一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
［答案详解］解：A、y＝，是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝2x+1是一次函数，故C不符合题意；
D、2y＝x，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6、若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
［思路分析］根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
［答案详解］解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
［经验总结］解题关键是掌握二次函数的定义．
7、若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
［思路分析］根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3＝2，解方程得m＝5或﹣1，再由顶点在x轴下方，选择m的取值．
［答案详解］解：∵y＝2+（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，以及用顶点式一般形式表示的二次函数，顶点坐标的表示．
8、下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
［思路分析］一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
［答案详解］解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；
B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；
C．符合题意；
D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．
二、填空题
9、下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是
．
［思路分析］根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
［答案详解］解：①y＝5x﹣5为一次函数；
②y＝3x2﹣1为二次函数；
③y＝4x3﹣3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y＝2x2﹣2x+1为二次函数；
⑤函数式为分式，不是二次函数．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义．关键是明确二次函数解析式为整式，自变量的最高次数为2，二次项系数不为0．
10、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
11、若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义，令|a|﹣1＝2且a+3≠0即可解答．
［答案详解］解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，
∴a＝﹣3（舍去），a＝3．
故答案为3．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．
12、如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 ．
［思路分析］利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．
［答案详解］解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
13、二次函数y＝3x﹣x2的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义解答即可．
［答案详解］解：二次函数y＝3x﹣x2的二次项系数是﹣，一次项系数是3．
故答案为：﹣；3．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14、函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义得到2m﹣1＝2，解方程求出m即可．
［答案详解］解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，
∴2m﹣1＝2，
∴m＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数．
15、如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 ．
［思路分析］利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．
［答案详解］解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
16、若y＝ax2+x﹣2+a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义，可得答案．
［答案详解］解：由题意，得
a≠0，
故答案为：a≠0．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
三、解答题
17、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
［思路分析］根据二次函数的定义列出方程求解则可．
［答案详解］解：根据题意得：a2﹣a＝2且a2+a≠0
解得a＝2．
［经验总结］此题考查的是二次函数的定义，根据题意列出方程和不等式是解决此题关键．
18、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零．
19、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
［答案详解］解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
20、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
［答案详解］解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
［经验总结］此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．
21、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
［答案详解］解：依题意得
∴
∴m＝1
（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
22、已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
［答案详解］解：由题意：，解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
23、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
［思路分析］根据一次函数与二次函数的定义求解．
［答案详解］解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0
解得m＝0或m＝1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0且m2≠1
∴当m1≠0且m2≠1时，这个函数是二次函数．
［经验总结］解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
24、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
［思路分析］根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
［经验总结］此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
