3.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
— 真题演练 —
一、选择题
1、［2022·贺州］已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、［2022·包头］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3、［2022·资阳］如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4、［2022·通辽］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
5、［2022·黑龙江］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
6、［2022·日照］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、［2022·绵阳］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、［2022·湖州］将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
二、填空题
9、［2021·哈尔滨］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
10、［2020·德阳］若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
11、［2022·牡丹江］抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
12、［2022·枣庄］小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
13、［2022·锦州］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
14、［2022·湘西州］已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
15、［2022·枣庄］小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
16、［2022·黑龙江］把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
三、解答题
17、［2022·绍兴］已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
18、［2022·青岛］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
19、［2021·杭州］在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
20、［2021·宁波］如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
21、［2022·河北］如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
22、［2020·东营］如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23、［2022·深圳］二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）
24、［2022·海淀区］已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．3.4 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
— 真题演练 —
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一、选择题
1、［2022·贺州］已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
［经验总结］本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
2、［2022·包头］已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
［思路分析］由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
［答案详解］解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
［经验总结］此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
3、［2022·资阳］如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
［思路分析］①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2 a+（﹣1） b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
4、［2022·通辽］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
［思路分析］根据图象的平移规律，可得答案．
［答案详解］解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
［经验总结］主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5、［2022·黑龙江］若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
［思路分析］先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
6、［2022·日照］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
［答案详解］解：∵对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣＝，
∴a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7、［2022·绵阳］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．
［答案详解］解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，
∴3＜x2＜4，①正确，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a+2b＜0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
由题意可知x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴a+c＜0，
∴b2﹣4ac＞a+c，
∴b2＞a+c+4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c＜0，
∴a＞c，
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴b＞c，
所以④错误；
故选：B．
［经验总结］本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
8、［2022·湖州］将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
［思路分析］根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
［经验总结］此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
二、填空题
9、［2021·哈尔滨］二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
［思路分析］根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
［答案详解］解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，求出顶点坐标是解题的关键．
10、［2020·德阳］若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
［思路分析］由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
［答案详解］解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
［经验总结］此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键．
11、［2022·牡丹江］抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
［思路分析］利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12、［2022·枣庄］小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
［思路分析］由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
［答案详解］解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13、［2022·锦州］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
［思路分析］根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
［答案详解］解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a+b＝0，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
14、［2022·湘西州］已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
［思路分析］解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
［答案详解］解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．
故答案为：﹣＜b＜﹣1．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
15、［2022·枣庄］小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
［思路分析］由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
［答案详解］解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16、［2022·黑龙江］把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
［思路分析］直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
［答案详解］解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
［经验总结］本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
三、解答题
17、［2022·绍兴］已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
［思路分析］（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
［答案详解］解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
［经验总结］此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
18、［2022·青岛］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
［思路分析］（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
［答案详解］解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
19、［2021·杭州］在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
［思路分析］（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
［答案详解］解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
20、［2021·宁波］如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［思路分析］（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［答案详解］解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x ﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x ﹣4x．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
21、［2022·河北］如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
［思路分析］（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
22、［2020·东营］如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
［答案详解］解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
23、［2022·深圳］二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）
［思路分析］（1）根据平移的性质分析对应点的坐标；
（2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
（3）结合二次函数图象的性质分析求解．
［答案详解］解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），
∴m＝6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：
联立方程组，
解得，
∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（，），（﹣，）；
（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，
故答案为：＜或＞．
［经验总结］本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
24、［2022·海淀区］已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数的图象；
（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．
［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；
（2）如图，
（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
