3.3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
— 过关训练 —
一、选择题
1、已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线其中．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
2、已知A（x1，y1），B（x2，y2）是y＝ax2﹣2x+c（a≠0）上的两点，则下列命题正确的是（ ）
A．若x1＞x2＞0时，y1＞y2＞c，则开口一定向下
B．若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c，则开口一定向上
C．若x1＞x2＞0时，y1＞c＞y2，则开口一定向上
D．若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c，则开口一定向下
3、已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
4、抛物线y＝5x2+3x+2关于x轴对称的抛物线解析式为（ ）
A．y＝5x2+3x+2 B．y＝﹣5x2﹣3x﹣2
C．y＝﹣5x2﹣3x+2 D．y＝﹣5x2+3x+2
5、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
7、下列关于二次函数y＝﹣x2+2mx+1（m为常数）的结论，正确的是（ ）
A．该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上
B．当x＞m时，y随x的增大而增大
C．该函数的图象一定经过点（2，1）
D．该函数的图象可以由函数y＝x2的图象平移得到
8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
9、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
10、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
二、填空题
11、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
12、已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
13、已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
14、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
15、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
16、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
17、在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
18、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
19、抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
20、在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
三、解答题
21、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，则△ABC面积为 ；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
22、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
23、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
24、如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
25、在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
26、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
27、在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
28、二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）
29、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
30、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．3.3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
— 过关训练 —
> > > 精品解析 < < <
一、选择题
1、已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线其中．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
［思路分析］先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点B，再由a的正负分情况讨论，得到y之间的大小关系．
［答案详解］解：∵＝（x﹣3）2+a+c，
∴函数的顶点坐标为（3，a+c），即为点B，
当a＞0时，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，
∴当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，y2≥y1≥y3，
当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，y2≥y3≥y1，
当a＜0时，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，y2≥y1≥y2，
故选项A，B无法确定，不符合题意；
当y1＞y3≥y2时，y2是最小值，此时a＜0，开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应y值的大小是解题关键．
2、已知A（x1，y1），B（x2，y2）是y＝ax2﹣2x+c（a≠0）上的两点，则下列命题正确的是（ ）
A．若x1＞x2＞0时，y1＞y2＞c，则开口一定向下
B．若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c，则开口一定向上
C．若x1＞x2＞0时，y1＞c＞y2，则开口一定向上
D．若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c，则开口一定向下
［思路分析］利用图象法，用反例说明A，B，D错误，即可解决问题．
［答案详解］解：A、如图1中，满足若x1＞x2＞0时，y1＞y2＞c，抛物线的开口向上，故选项A错误，不符合题意．
B、如图2中，满足若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c抛物线的开口向下，故选项B错误，不符合题意．
D、如图3中，若x1＜x2＜0时，y1＞y2＞c，抛物线的开口向上，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
［经验总结］本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3、已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
［思路分析］根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+） ﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3） ﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3） ﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．
故选：B．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
4、抛物线y＝5x2+3x+2关于x轴对称的抛物线解析式为（ ）
A．y＝5x2+3x+2 B．y＝﹣5x2﹣3x﹣2
C．y＝﹣5x2﹣3x+2 D．y＝﹣5x2+3x+2
［思路分析］利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
［答案详解］解：∵抛物线y＝5x2+3x+2关于x轴对称的抛物线为﹣y＝5x2+3x+2，
∴所求解析式为：y＝﹣5x2﹣3x﹣2．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
5、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
6、对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
［思路分析］根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
［答案详解］解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y＝1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7、下列关于二次函数y＝﹣x2+2mx+1（m为常数）的结论，正确的是（ ）
A．该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上
B．当x＞m时，y随x的增大而增大
C．该函数的图象一定经过点（2，1）
D．该函数的图象可以由函数y＝x2的图象平移得到
［思路分析］利用二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平移的规律判断即可．
［答案详解］解：A．∵y＝﹣x2+2mx+1＝﹣（x﹣m）2+1+m2，
∴顶点为（m，m2+1），
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上，故结论正确；
B．∵y＝﹣x2+2mx+1＝﹣（x﹣m）2+1+m2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论错误；
C．当x＝2时，y＝﹣x2+2mx+1＝﹣4+4m+1＝﹣3+4m，
∴该函数的图象一定经过点（2，﹣3+4m），故结论C错误；
D．函数的图象可以由函数y＝﹣x2的图象平移得到，故结论错误；
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
［答案详解］解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了正比例函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，要掌握他们的函数性质才能灵活解题．
9、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
［思路分析］根据二次函数的性质判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10、若二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．下列结论：
①a＞0；
②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点（1，﹣3）；
④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是＜a＜．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
［思路分析］求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的顶点（1，﹣3），即可判断③错误；根据题意x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，即可判断④正确．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点为（1，﹣3），在x轴的下方，
∴函数的图象与x轴交于A、B两点，
∴抛物线开口向上，a＞0，故①正确；
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故②错误；
由题意可知当a＞0，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a是不为0的常数）的图象一定经过点（1，﹣3），故③正确；
∵线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴x＝3时y≤0，x＝4时y＞0，
∴，
解得＜a≤，故④错误；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
二、填空题
11、如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
［思路分析］根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
［答案详解］解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
12、已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
［思路分析］（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；
（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．
［答案详解］解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵k为任意正实数，
∴k＞0，
∴函数图象开口向上，
∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣1﹣，
故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．
故答案为：0．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质，明确二次函数的性质是解题的关键．
13、已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
［思路分析］函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
［答案详解］解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
14、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，得b2﹣4ac＞0，列不等式，解出即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，
故答案为：k＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键．
15、已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
［思路分析］函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
16、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
［思路分析］由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
［答案详解］解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
17、在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝ ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x＝m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+mx+2m＝（x+）2﹣+2m，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣+2m），
当m＜﹣＜m+2时，﹣＜m＜0，
﹣+2m＝12，方程无解．
当m≤﹣时，将x＝m+2代入y＝x2+mx+2m得y＝（m+2）2+m（m+2）+2m＝2m2+8m+4，
令2m2+8m+4＝12，
解得m＝（舍）或m＝﹣2﹣2，
故答案为：﹣2﹣2．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
18、关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
［思路分析］①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．
②首先证明a＞1，再证明x＝1时，y＜0，可得结论．
③首先证明a＞0，再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0，1）的下方，可得不等式组1＞≥0，由此可得结论．
［答案详解］解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴2≥﹣＞0且﹣+2≥≥0，
解得，a≥1，故③正确，
故答案为：②③．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19、抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
［思路分析］（1）由抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2，得﹣＝2，即有a＝1；
（2）①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），可得0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，故或，解得﹣17＜m＜﹣10，当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），即可得m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+5的对称轴为直线x＝2．
∴﹣＝2，
∴a＝1；
故答案为：a＝1；
（2）由（1）知：a＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣4x+5+m为y＝x2﹣4x+5+m，
∴由Δ≥0得m≤﹣1，
∵对称轴为直线x＝2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6内与x轴只有一个交点，分两种情况：
①抛物线y＝x2﹣4x+5+m的顶点是（2，0），
∴0＝4﹣4×2+5+m，解得m＝﹣1，
②当x＝﹣1和x＝6时，对应的函数值异号，
而当x＝﹣1时，y＝10+m，
x＝6时，y＝17+m，
∴或，
解得﹣17＜m＜﹣10，
当m＝﹣17时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6没有交点，
当m＝﹣10时，抛物线y＝x2﹣4x+5+m在﹣1＜x＜6有一个交点（5，0），符合题意，
综上所述，m取值范围是m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10，
故答案为：m＝﹣1或﹣17＜m≤﹣10．
［经验总结］本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是分类讨论，容易忽略m＝﹣10的情况．
20、在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
［思路分析］直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．
［答案详解］解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是以对称轴为界是解题关键．
三、解答题
21、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，则△ABC面积为 ；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
［思路分析］（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，求得抛物线与x轴的交点坐标，再确定抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）根据交点坐标，得到AB＝2，OC＝3，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）结合二次函数图象，写出当0≤x≤3时对应的y的取值范围．
［答案详解］解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（2）∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝2，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（3）由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
故答案为﹣1≤y≤3．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
［思路分析］（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2））∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2．
∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0），
∴其图象为：
［经验总结］本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．
23、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
［思路分析］利用配方法将函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，根据a的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（﹣m，k），对称轴是直线x＝﹣m．
［答案详解］解：由y＝3﹣4x﹣2x2，得
y＝﹣2（x+1）2+5（3分）
因为﹣2＜0，所以开口向下．（1分）
顶点坐标为（﹣1，5）（2分）
对称轴方程为x＝﹣1．（2分）
［经验总结］本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
24、如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
［思路分析］（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
25、在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
［思路分析］（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；
（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；
（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．
［答案详解］解：（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2；
（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，
解得：b＞﹣2，
当1＞y2时，1＞1+b+1，
解得：b＜﹣1，
∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．
［经验总结］本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．
26、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴；
（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），
∴﹣4+12+c＝18，
∴c＝10，
∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，
∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，
∴对称轴为直线x＝﹣3；
（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，
∴抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，
∵CB＝8，
∴两抛物线的对称轴间的距离为4，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，
∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，
∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），
由图象可知，当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴m＞n．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
27、在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
［思路分析］根据列表、描点、连线，作出图象即可．
［答案详解］解：列表：
描点：如图，描出点：（﹣2，8），（﹣1，2），（0，0），（1，2），（2，8），
连线：如图所示，
［经验总结］本题考查画函数图像，一般步骤：列表：①表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来，正确求出各点坐标是解答本题的关键．
28、二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6
（0，0） （3，m）
（1，2） （4，8）
（2，8） （5，14）
（﹣1，2） （2，8）
（﹣2，8） （1，14）
（1）m的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）
［思路分析］（1）根据平移的性质分析对应点的坐标；
（2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
（3）结合二次函数图象的性质分析求解．
［答案详解］解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），
∴m＝6，
故答案为：6；
（2）平移后的函数图象如图：
联立方程组，
解得，
∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（，），（﹣，）；
（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，
当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，
当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，
故答案为：＜或＞．
［经验总结］本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
29、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
［思路分析］（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝＝6，
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m＝，
∴S△DD′M＝××（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±．
当m＝1+时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4﹣10，
当m＝1﹣时，﹣m2﹣2m+3＝4﹣10，
∴M（1+，﹣4﹣10）或（1﹣，4﹣10）．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
30、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
［思路分析］（1）利用顶点式写出抛物线解析式；
（2）设顶点M的纵坐标为m，利用顶点的坐标公式得到m＝，再进行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，从而可判断抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根据直线y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
［答案详解］（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式．
