一 二次函数
— 解答专练 —
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1、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．运用待定系数法求出直线OC的解析式为y＝x，得出GK＝﹣m2+3m，进而得出S△GOC＝﹣（m﹣2）2+6，
运用二次函数的性质可求得答案；
（3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR＝BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣），P（t，），进而可得：AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，建立方程求解即可．
［答案详解］解：（1）∵A（2，4），
∴OB＝2，AB＝4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD＝AB＝4，CD＝OB＝2，
∴C（4，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x；
（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则G（m，﹣）．
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，2），代入得：4k＝2，
解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
∴K（m，），
∴GK＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+3m，
∴S△GOC＝S△GOK+S△GKC
＝×（﹣m2+3m）
＝﹣6m
＝﹣（m﹣2）2+6，
∴当m＝2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大，
∵OC＝＝2，
∴2GH＝6，
∴GH＝，
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
（3）存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，
∴∠ARM＝∠MRT＝∠PTR＝∠BTP＝90°，
∴MR∥PT，
由题意：MN∥AB，
∴四边形MPTR是矩形，
∴MR＝PT，
∵AM＝BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR＝BT，
设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则M（t，﹣）．
由（2）知：直线OC的解析式为y＝x，则P（t，），
∴AR＝|4﹣（﹣t2+t）|，BT＝t，
∴|4﹣（﹣t2+t）|＝t，
当＝t时，解得：t1＝，t2＝4（舍），
当＝t时，无实数解．
∴t＝，此时P（，），
∴P点的坐标为（，）．
［经验总结］本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，本题涉及的知识点较多，难度较大，对学生的能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）用待定系数法即可求解；
（2）先研究△ABC，可得出AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时；②当∠HOB＝∠ACB时，再根据相似三角形的性质求解即可；
（3）①当点Q在点P的左侧时，证明△QME∽△ENP，则＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，进而求解；②当点Q在点P的右侧时，同理可解．
［答案详解］解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）由题意可知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
∴AB＝6，BC＝4，∠ABC＝45°；直线AC的解析式为：y＝2x+4；
若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：
①当∠HOB＝∠CAB时，△OBH∽△ABC，
此时OH∥AC，
∴k＝2；
②当∠HOB＝∠ACB时，△OBH∽△CBA，
∴OB：BC＝BH：AB，即4：4＝BH：6，
解得BH＝3，
设点H的坐标为（m，﹣m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣m+4）2＝（3）2，
解得m＝1或7（舍去），
∴H（1，3），
∴k＝3，
综上，k的值为2或3．
（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，
由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴＝＝＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝，
则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴＝＝，
解得m＝±（舍去负值），
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
∴点P的坐标为（，）．
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4，PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴＝＝＝2，
∴＝＝2，
解得m＝±（舍去负值），
∴m＝，
∴点P的坐标为（，），
∴点P的坐标为（，）或（，）．
［经验总结］主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
［思路分析］（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．
［答案详解］解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，
解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），
∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，）．
［经验总结］本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
4、如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）根据点C坐标和对称轴代入表达式即可得出；
（2）根据（1）写出M点坐标，求出直线CM表达式，求出E点坐标构造△EOC≌△BOC，结论即得证；
（3）分情况构造△PEO∽△ABC，根据线段比例关系即可求出P点坐标．
［答案详解］解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴直线为，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为直线x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，EN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．
［经验总结］本题主要考查二次函数、一次函数、全等三角形、相似三角形等知识点，难点在第三问分情况构造三角形相似．
5、如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 ，点P的坐标是 ，b＝ ；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
［思路分析］（1）利用已知条件得到点A的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）①利用待定系数法求得抛物线G的解析式，通过计算说明当x＝12时抛物线G上对应的点在点M的上方即可；
②分别计算当x＝12和当x＝13时抛物线G上对应的点的坐标即可得出结论；
（3）设出二号球运动的路线的抛物线解析式为y＝＝﹣x2+x+m，利用已知条件列出不等式即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵平台AB（水平）与x轴的距离为6，AB＝2，
∴A（2，6）．
∴6＝．
∴k＝12．
∴y＝．
当y＝3时，
x＝＝4．
∴P（4，3）．
将P（4，3）代入y＝﹣x2+bx+6得：
﹣16+4b+6＝3．
解得：b＝．
故答案为：12；（4，3）；；
（2）①抛物线G与滑道AM不能再相交．理由：
设抛物线G的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，
∵点P（4，3）在抛物线G上，
∴a（4﹣8）2+5＝3．
解得：a＝﹣．
∴抛物线G的解析式为y＝﹣+5＝+2x﹣3．
∵MN＝1，
∴当y＝1时，1＝．
∴x＝12．
∴M（12，1），N（12，0）．
∵当x＝12时，y＝﹣×144+2×12﹣3＝3＞1，
∴抛物线G与滑道AM之间除点P外再无交点．
∴抛物线G与滑道AM不能再相交．
②∵NC＝1，
∴C（13，0）．
当x＝13时，y＝﹣+2×13﹣3＝．
若一号球恰好能被点N接住，
∵抛物线G上有点（12，3），
∴则NC向上平移距离d＝3；
若一号球恰好能被点C接住，
∵抛物线G上有点（13，），
∴则NC向上平移距离d＝；
∴NC向上平移距离d的最大值为3，最小值为；
（3）∵二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，
∴二号球运动的路线的抛物线解析式为y＝＝﹣x2+x+m．
∵一号球与y轴的距离为3，
∴一号球经过点（3，）．
∵当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置，
∴﹣32+3×+m﹣＞5．
∴m＞11．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
6、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
［思路分析］（1）将点坐标代入解析式求解得出a的值即可．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴方程可得x＝﹣1时y取最小值，x＝2时y取最大值，进而求解．
（3）分类讨论抛物线顶点落在PQ上，点P和点Q落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解．
［答案详解］解：（1）把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．点A的坐标为（﹣4，2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且﹣3≤x≤2．
∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣7．
∵当x＝﹣3时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝2，
∴y最大＝2．
∴点M纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大﹣y最小＝2﹣（﹣7）＝9．
（3）由题意可知，PQ∥x轴．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线顶点坐标为（﹣1，c﹣7），
当抛物线顶点落在PQ上时，c﹣7＝﹣3，
解得c＝4，满足题意．
把Q（2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4+4﹣6+c，
解得c＝﹣5，
把P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4﹣4﹣6+c，
解得c＝3，
∴0＜c＜3满足题意，
综上所述，0＜c＜3或c＝4．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合的方法求解．
7、如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）根据一次函数得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，于是得到结论；
（2）令y＝0，解方程得到x1＝﹣4，x2＝1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据BC为边和BC为对角线，由平行四边形的性质即可得到点D的坐标．
［答案详解］解：（1）令y＝x+2＝0，得x＝﹣4，
令x＝0，得y＝2，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A．C两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
令y＝﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，
设D（a，﹣a2﹣a+2），
∴M（a，a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，），
∴＝DM：BN＝（﹣a2﹣2a）：＝﹣（a+2）2+；
∴当a＝﹣2时，的最大值是；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2，
∴对称轴为直线x＝＝，
设D（t，﹣t2﹣t+2），F（，s），
①若四边形为平行四边形BCDF，
则，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（﹣，）；
②若四边形为平行四边形BCFD，
则，
∴，
解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（﹣，）；
③若四边形为平行四边形BDCF，
则，
∴，
解得：t＝，﹣t2﹣t+2＝，
∴D的坐标为（，）；
综上，D的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，以BC为边或对角线分类讨论是解决此题的关键．
8、如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；
（3）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点A（﹣4，0）代入y＝﹣x2+nx+4，即可求解；
（2）求出tan∠BNO＝tan∠MAN＝，分两种情况讨论：当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，求出H（﹣1，5），从而求出直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，可求M（﹣，）；当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，求出G（1，3），直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，可求M（，）；
（3）设E（e，﹣e2﹣3e+4），F（f，﹣f2﹣3f+4），通过求直线BE的解析式求得k＝﹣e﹣4，则P（0，e+4），再通过求直线BF的解析式为得m＝﹣f﹣4，则Q（0，f+4），从而得到OP OQ＝﹣ef﹣4e﹣4f﹣16，再设直线EF的解析式为y＝k1（x﹣t）﹣1，联立方程组，由韦达定理得e+f＝﹣k1﹣3，ef＝﹣k1t﹣5，得到OP OQ＝k1（t+4）+1，当t+4＝0时，OP OQ为定值．
［答案详解］解：（1）将点A（﹣4，0）代入y＝﹣x2+nx+4，
得﹣16﹣4n+4＝0，
解得n＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B（1，0），
令x＝0，则y＝4，
∴N（0，4），
∴ON＝4，OB＝1，
∴tan∠BNO＝，
如图1，当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，
∵A（﹣4，0），N（0，4），
∴OA＝ON，AN＝4，
∴∠ANO＝45°，
∵∠ANH＝90°，
∴∠HNK＝45°，
∴HK＝KN，
∵∠HAN＝∠ONB，
∴＝，
∴HN＝，
∴KN＝HK＝1，
∴H（﹣1，5），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
联立方程组，
解得x＝﹣或x＝﹣4（舍），
∴M（﹣，）；
如图2，当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，
∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°，
∴∠WNG＝45°，
∴NW＝WG，
∵tan∠NAM＝＝＝，
∴NG＝，
∴WG＝WN＝1，
∴G（1，3），
则直线AM的解析式为y＝x+，
联立方程组，
解得x＝或x＝﹣4（舍），
∴M（，）；
综上所述：点M的坐标为（﹣，）或（，）；
（3）存在t的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下：
设E（e，﹣e2﹣3e+4），F（f，﹣f2﹣3f+4），
设直线BE的解析式为y＝k（x﹣1），
将点E代入y＝k（x﹣1），得k＝﹣e﹣4，
∴y＝﹣（e+4）（x﹣1），
令x＝0，则y＝e+4，
∴P（0，e+4），
∴OP＝e+4，
设直线BF的解析式为y＝m（x﹣1），
点F代入y＝m（x﹣1），得m＝﹣f﹣4，
∴y＝﹣（f+4）（x﹣1），
令x＝0，则y＝f+4，
∴Q（0，f+4），
∴OQ＝﹣f﹣4，
∴OP OQ＝（e+4）（﹣f﹣4）＝﹣ef﹣4e﹣4f﹣16，
设直线EF的解析式为y＝k1（x﹣t）﹣1，
联立方程组，
∴x2+（k1+3）x﹣k1t﹣5＝0，
∴e+f＝﹣k1﹣3，ef＝﹣k1t﹣5，
∴OP OQ＝k1t+4k1+1＝k1（t+4）+1，
当t+4＝0时，OP OQ为定值，
∴t＝﹣4，OP OQ＝1．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
9、如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
［思路分析］（1）根据对称轴为直线x＝﹣1，可得h＝﹣1，再把点（2，0），（0，4）代入解析式即可求解；
（2）过点P作AC的平行线PN，当直线PN与抛物线只有一个交点时，△APC面积最大，由此可对称点P的坐标；再根据轴对称最值问题可求出△APM周长的最小值；
（3）由（1）可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得y′的顶点坐标，进而可求出y′的对称轴；则需要分类讨论①当AC＝AQ时；②当CA＝CQ时；③当QA＝QC时，分别建立方程求解即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝h＝﹣1，
∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．
（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．
∴A（﹣4，0），
∴直线AC：y＝x+4，
过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，
当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，
令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，
∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，
∴x2+4x+4＝0，
∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，
∵A（﹣4，0），
∴A′（4，0），
∴A′P＝＝2，AP＝＝2，
∴△APM周长的最小值为：2+2．
（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），
∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；
设点Q的坐标为（﹣7，t），
若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：
①当AC＝AQ时，如图2；
∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；
∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；
②当CA＝CQ时；
∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；
③当QA＝QC时，如图3，
∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，
∴Q（﹣7，7）．
综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点P的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．
10、已知抛物线y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2），直线l：y＝px+q（0＜p＜q）．
（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的顶点坐标；
（2）在第（1）条件下，将函数y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2）图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，得到的新图象与直线y＝n恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A，B，C，D，当以BC为直径的圆与x轴相切时，求n的值；
（3）若该抛物线经过点（t，4），且对任意实数x，不等式﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m≤4都成立；当p≤x≤q时，恰好有，求直线l的解析式．
［思路分析］（1）将（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2）求得m的值，进而可得二次函数的解析式，化成顶点式可得顶点坐标；
（2）由题意可知，图象翻折后得到的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），对称轴为直线x＝1，以BC为直径的圆与x轴相切，可知B，C的中点坐标为（1，n），B（1+n，n），将B坐标代入翻折后的函数解析式中，求出满足要求的解即可；
（3）由抛物线经过点（t，4），且对任意实数x，不等式﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m≤4都成立，可知（t，4）为抛物线的顶点，所以＝4，求出符合要求的m的值，得到抛物线的解析式与顶点坐标；由，可得≥≥，即1011+≥+1011≥+1011，进而可得≥y≥，构造函数y＝，当0＜p≤x≤q时，y随x的增大而减小，抛物线顶点（1，4）恰好在该函数的图象上，可得p＝1，q为抛物线y＝﹣x2+2x+3与y＝的另一个交点横坐标，联立得﹣x2+2x+3＝，即﹣x3+2x2+3x﹣4＝0，化简整理求得x的值，进而可得q的值，进而可得直线l的解析式．
［答案详解］解：（1）将（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2），
∴﹣2m＝3，解得m＝﹣，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（2）由题意可知，图象翻折后得到的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），对称轴为直线x＝1，如图，
∵以BC为直径的圆与x轴相切，
∴B，C的中点坐标为（1，n），B（1+n，n），
将B（1+n，n）代入y＝﹣（x﹣1）2﹣4，
∴﹣（1+n﹣1）2﹣4＝n，
解得n＝（舍去）或n＝．
∴n的值为．
（3）∵抛物线经过点（t，4），且对任意实数x，不等式﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m≤4都成立，
∴（t，4）为抛物线的顶点，
∴＝4，
解得m＝﹣或m＝，
∵﹣2＜m＜2，
∴m＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4），
∵当p≤x≤q时，恰好有，
∴1011p+2＞0，1011q+2＞0，
∴≥≥，即1011+≥+1011≥+1011，
∴≥≥，
∴≥y≥，
∵p≤x≤q，
构造函数y＝，当0＜p≤x≤q时，y随x的增大而减小，抛物线顶点（1，4）恰好在该函数的图象上，如图所示，
∴p＝1，q为抛物线y＝﹣x2+2x+3与y＝的另一个交点横坐标，
∴﹣x2+2x+3＝，即﹣x3+2x2+3x﹣4＝0，
整理得（x﹣1）（﹣x2+x+4）＝0，
解得x＝1，x＝，x＝（不合题意，舍去）．
∴q＝．
∴直线l的解析式为：y＝x+．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与圆综合，二次函数与反比例函数综合，一次函数解析式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11、已知顶点为M（1，）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，求m的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
［思路分析］（1）根据题意先设出抛物线的顶点坐标，再代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式：
（2）根据抛物线的对称性，当x＝5和x＝﹣3时，函数值相等，根据题干可得出m≥﹣2或m+3≤5，解该不等式可得出结论；
（3）由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE＝IF＝IH．此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点I坐标为（m，n），可用含m、n的式子表示AG、DG的
长，又由DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式（m﹣）2+（n+）2＝，从图形上可理解为点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．
［答案详解］解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+，
∵抛物线经过点C（0，4），
∴a（0﹣1）2+＝4，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝5和x＝﹣3时，函数值相等，
∵当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，
∴，
∴﹣3≤m≤2．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H，
∵DG⊥x轴于点G，
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°，
∴四边形IEGH是矩形，
∵点I为△ADG的内心，
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG，
∴矩形IEGH是正方形；
设点I坐标为（m，n），
∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n，
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m，
∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m，
∵DA＝OA＝3，
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m，
∴DG＝DH+HG＝m+n，
∵DG2+AG2＝DA2，
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32，
化简得m2﹣3m+n2+3n＝0，
配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，
∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，
∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在一象限的弧上运动，
∴当点I在线段CQ上，CI最小，
∵CQ＝，
∴CI＝CQ﹣IQ＝﹣．
∴CI的最小值为：﹣．
［经验总结］主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，
12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，∠ABC＝30°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当S△PBC＝S△AOC，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
［思路分析］（1）根据直角三角形含30°角的性质可得OB的长，得点B的坐标，利用点B、A的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）先利用待定系数法可得直线BC的解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），表示PE的长，根据S△PBC＝S△AOC，列等式可得PE的长，列方程可解答；
（3）根据平移的性质可确定：将抛物线向下平移个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，得点F的坐标，分两种情况讨论：根据AF＝AM列方程可得结论．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），OC＝2，
∵∠BOC＝90°，∠ABC＝30°，
∴OB＝OC＝6，
∴B（6，0），
把A（﹣2，0）和B（6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，
∵B（6，0），C（0，2），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），
∴PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+m，
∵S△PBC＝S△AOC，
×6×PE＝××，
∴PE＝，
∴﹣m2+m＝，
解得：m1＝m2＝3，
∴P（3，）；
（3）如图2，Rt△BOC中，若BC＝，
∵∠B＝30°，
∴OC＝，OB＝OC＝1，
∴将抛物线沿射线CB方向平移个单位，就是将抛物线向下平移个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，
∴F（3，），
设M（0，y）（y＞0），
分两种情况：
①如图3，AF为边，当四边形AFNM是菱形时，AF＝AM，
∴（3+2）2+（）2＝22+y2，
∴y2＝，
∴y＝，
∴M（0，），
∴N（5，+）；
②如图4，AF是对角线，四边形AMFN是菱形，
∵AM＝FM，
∴22+y2＝32+（y﹣）2，
∴y＝，
∴M（0，），
∴N（1，﹣）；
综上，点N的坐标为（5，+）或（1，﹣）．
［经验总结］本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
13、如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．
［思路分析］（1）把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积＝EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；
②将直线DF解析式设为y＝﹣2x+m，联立一次函数与二次函数，得到点M和点N的坐标，分别求出MN，MP，NP长，分类讨论解出m即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
∴把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
（2）①过抛物线上P点作直线EG的平行线，△PEG的面积＝EG乘以点P到直线EG的距离，当点P到直线EG距离最短时，△PEG的面积最小，由图象可知，当过P点的直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线EG距离最短，这样的P点只有一个，
“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；
∵EF＝1，DE＝2k，
∴EG所在直线的解析式可设为：y＝2kx+m，
∴过点P与直线EG平行的直线解析式为：y＝2kx+b，
令2kx+b＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣（4+2k）x﹣（5+b）＝0，
∵过P点的直线与抛物线只有一个交点，
∴Δ＝（4+2k）2+4（5+b）＝0，可得（2+k）2＝﹣（5+b），
∴x2﹣（4+2k）x+（2+k）2＝0，解得x＝2+k，
∴y＝（k+2）2﹣4（2+k）﹣5＝k2﹣9，
∴P（k+2，k2﹣9）；
②当k＝1时，P（3，﹣8），
∴设直线DF的解析式为：y＝﹣2x+n，
令﹣2x+n＝x2﹣4x﹣5，得x2﹣2x﹣5﹣n＝0，
解得x＝+1或x＝﹣+1，
∵DF所在的直线与抛物线交于点M，N，
∴Δ＝4+4（5+n）＞0，即n＞﹣6，
∵点M在点N的右侧，
∴M（+1，﹣2+n﹣2），N（﹣+1，2+n﹣2），
∴MN2＝20（n+6），
MP2＝（﹣2）2+（2﹣n﹣6）2，
NP2＝（﹣﹣2）2+（2+m+6）2，
当∠MPN＝90°时，MP2+NP2＝MN2，
解得n＝﹣2或n＝﹣5，
∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5；
当∠PMN＝90°时，MP2+MN2＝NP2，
解得n＝﹣2或n＝﹣，
∴直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣；
当∠PNM＝90°时，NP2+MN2＝MP2，
无解；
综上，直线DF的解析式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣2x﹣5或y＝﹣2x﹣．
［经验总结］本题属于二次函数综合题，考查了二次函数解析式求法以及二次函数与三角形面积，直角三角形综合．解本题的关键是掌握待定系数法求解析式，将三角形面积最值转换为平行线间距离问题，利用只有一个交点求点坐标，分类讨论直角三角形．此题计算量比较大，计算时一定要细心．
14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P平移后的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为抛物线y1上一点，当以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
［思路分析］（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）用待定系数法求出直线AB为y＝﹣x+1，即可得P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），从而得PC＝﹣m2+4m，QD＝﹣m2+2m+3，即可求出四边形PQDC面积为PC |xQ﹣xP|+QD |xQ﹣xP|＝﹣m2+3m+，根据二次函数性质即得答案；
（3）由（2）知P（，﹣），根据直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，可知沿射线AB平移个单位，实际可看成向右平移2个单位，再向下平移1个单位，即得E（，﹣），抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+13，抛物线y1的对称轴为：直线x＝，根据平行四边形的性质分情况讨论，并由平移的性质可得点G的坐标．
［答案详解］解：（1）把A（0，1），B（4，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x+1；
（2）设直线AB为y＝kx+n，将A（0，1），B（4，﹣1）代入得：
，解得：，
∴直线AB为y＝﹣x+1，
∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，
∴P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），
∴PC＝﹣m+1﹣（m2﹣m+1）＝﹣m2+4m，QD＝﹣（m+1）+1﹣[（m+1）2﹣（m+1）+1]＝﹣m2+2m+3，
∴四边形PQDC面积为PC |xQ﹣xP|+QD |xQ﹣xP|
＝（﹣m2+4m） （m+1﹣m）+（﹣m2+2m+3） （m+1﹣m）
＝﹣m2+3m+
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，四边形PQDC面积的最大值为；
（3）由（2）知P（，﹣），
∵直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，
∴沿射线AB平移个单位，实际可看成向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴E（，﹣），
抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+13，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
①如图1，当BE＝FG时，
由平移得点G的横坐标为，
∴G（，﹣）；
②如图2，当BE＝FG时，
根据点B到点E横坐标的关系：4﹣＝，可得点F与点G的横坐标的关系：点G的横坐标为+＝，
∴点G（，﹣）；
③如图3，当BG＝EF时，同理可得G（，﹣）；
综上，点G的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．
［经验总结］本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
15、如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
［思路分析］（1）①利用配方法可得顶点M的坐标；
②根据x＝y列方程，计算Δ＞0可得结论；
（2）由tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），利用一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝，可得x1 2c＝，求出x1＝，标表示出点A坐标为（，0），由顶点坐标M（﹣，），C（0，c），用待定系数法表示出直线MC的解析式为：y＝x+c，点P坐标为（﹣，0），再相似得PC2＝PA PB，勾股定理得PC2＝OP2+OC2，列等式利用整体思想先求出b的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出a，c的值，从而写出解析式即可．
［答案详解］解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；
（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，
∴x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；
（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），
则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），
由一元二次方程根与系数的关系：x1 x2＝可得x1 2c＝，
∴x1＝，
∴点A坐标为（，0），
∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），
设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，
根据题意得：，
解得：，
∴直线MC的解析式为：y＝x+c，
∴点P坐标为（﹣，0），
由此可得PA＝+，PB＝2c+，
∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴＝，
∴PC2＝PA PB，
∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，
∴+c2＝（+）（2c+），
∴c2＝++，
∴c＝++＝①，
把点B（2c，0）代入二次函数解析式，
得：4ac2+2bc+c＝0，
∴4ac+2b+1＝0，
∴4ac+b+1＝﹣b②，
将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，
将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，
得，﹣4+2b+1＝0，
解得：b＝，
∴P的坐标为（﹣，0），
又∵S△PBC＝PB CO＝（2c+） c＝，
∴＝，
解得，c＝（﹣舍去），
又∵c＝﹣，a＝﹣，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合性问题，待定系数法求函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的运用，第三问有难度，利用参数表示点的坐标，列等式依次求出各项系数是解本题的关键．
16、小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
［思路分析］（1）根据表格中数据对称性，判断抛物线顶点，设为顶点式，再代入一个点坐标，进而求得结果；
（2）根据平移，先得出C2的解析式，可得其图象过原点，求得抛物线与x轴的交点，进而根据三角函数定义求得结果；
（3）设点P坐标，求出AP的关系式，从而求得Q点坐标，进而求得∠QDO的值，进一步命题得证；
（4）分别求出直线y＝与C1，C2有一个公共点时b的值，进而得出结果．
［答案详解］（1）解：设抛物线C1的解析式是：y＝a（x﹣2）2+7，
当x＝0时，y＝3，
∴4a+7＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3；
（2）如图，
∴C1的顶点是（2，7），
∴C2的顶点是（﹣2，4），
∴y＝﹣（x+2）2+4，
当﹣（x+2）2+4＝0时，
x1＝﹣4，x2＝0，
∴B（﹣4，0），C（0，0），
∴BD＝2，AD＝4，
∴tan∠ABC＝；
（3）设P（a，﹣a2﹣4a），D（a，0），
设直线AP的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣（a+2）x﹣2a，
当x＝0时，y＝﹣2a，
∴Q（0，﹣2a），
∴tan∠QDO＝＝＝2，
∴∠ABC＝∠QDO，
∴AB∥DQ；
（4）由+b＝﹣x2﹣4x得，
x2+x+b＝0，
当Δ＝0时，
（）2﹣4b＝0，
∴b＝，
由＝﹣x2+4x+3得，
x2﹣x+（b﹣3）＝0，
当Δ′＝0时，
（﹣）2﹣4（b﹣3）＝0，
∴b＝，
∴＜b＜．
［经验总结］本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，图象的平移，锐角三角形函数定义，图象交点坐标与方程组的解之间的关系等知识，解决问题的关键是数形结合，观察转化．
17、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标；
（2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
（3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，分a＞0或a＜0两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答；
（4）分类讨论顶点在线段AB上，a＞0，a＜0，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解．
［答案详解］解：（1）a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x+
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴顶点坐标为（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函数经过的定点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1+，
分两种情况：
①当a＜0时，1+＜1，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y＝0，
而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，
所以此种情况不成立；
②当a＞0时，1+＞1，
i）当1＜1+≤5时，即a≥，
当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
ii）当1+＞5时，
在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，
所以此种情况不成立；
综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三种情况：
①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，
即当y＝﹣3时，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
当a＝时，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合题意，如图1），
②当a＞0时，如图2，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③当a＜0时，如图3，
当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
18、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
［思路分析］（1）先将m＝2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为直线x＝﹣计算可得结论；
②函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．
［答案详解］解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m；
②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，
则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，
如图，
在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，
则点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
［经验总结］本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
19、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c即可得到答案；
（2）过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，则P的坐标是（m，m2+2m﹣3），利用待定系数法求AC的解析式，表示M的坐标，用m的代数式表示PM的长度，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，②如图3，四边形CBDE是菱形，根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答．
［答案详解］解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），
∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝ PM OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；
（3）分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，
∴t＝±，
∵t＜0，
∴t＝﹣，
∴E（﹣+1，）；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，
∴t＝0（舍）或﹣2，
∴E（﹣3，﹣4）；
综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质和判定，两点的距离公式等综合知识，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程．
20、已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
［思路分析］（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证AC∥BD，所以△ACQ的面积＝△ACD的面积，进而求△PAQ的面积最大可转化为求△PAC的面积最大；过点P作PE∥y轴交AC于点E，表达△PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的对角线时，分别求解即可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
∴．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y＝x+3；
∵B（1，0），D（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1；
∴AC∥BD，CD＝4，
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
过点P作PE∥y轴交AC于点E，如图，
设点P的横坐标为t，
则P（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝﹣（t+）2+．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，△PAQ的最大值为，此时P（﹣，）．
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∵y′＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5．
∵R在新抛物线对称轴上，
∴R的横坐标为x＝1．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当PD为平行四边形的边时，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣﹣0＝1﹣xS或﹣﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝﹣．
∴S（，﹣）或（﹣，）．
∵yP﹣yD＝yR﹣yS或yP﹣yD＝yS﹣yR，
∴﹣（﹣1）＝yR﹣（﹣）或﹣（﹣1）＝﹣yR，
∴yR＝﹣或yR＝﹣．
∴R（1，﹣）或（1，﹣）．
②当PD为平行四边形的对角线时，xP+xD＝xR+xS，
∴﹣+0＝1+xS，
解得xS＝﹣，
∴S（﹣，），
∵yP+yD＝yR+yS，
∴+（﹣1）＝yR+，
∴yR＝﹣．
∴R（1，﹣）．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，﹣）或（1，﹣）或（1，﹣）．
［经验总结］本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论．一 二次函数
— 解答专练 —
1、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
（3）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
4、如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 ，点P的坐标是 ，b＝ ；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
6、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
7、如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8、如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；
（3）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
9、如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10、已知抛物线y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2），直线l：y＝px+q（0＜p＜q）．
（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的顶点坐标；
（2）在第（1）条件下，将函数y＝﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m（﹣2＜m＜2）图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，得到的新图象与直线y＝n恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A，B，C，D，当以BC为直径的圆与x轴相切时，求n的值；
（3）若该抛物线经过点（t，4），且对任意实数x，不等式﹣x2+（﹣2m﹣1）x﹣2m≤4都成立；当p≤x≤q时，恰好有，求直线l的解析式．
11、已知顶点为M（1，）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当m≤x1≤m+3，x2≥5时，均有y1＞y2，求m的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，∠ABC＝30°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上（不与B，C重合）一点，连接PC，PB，AC，当S△PBC＝S△AOC，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程．
13、如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．
①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；
②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．
14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P平移后的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为抛物线y1上一点，当以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
15、如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．
（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．
①求此二次函数图象的顶点M的坐标；
②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．
（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．
16、小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．
17、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
18、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
19、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
20、已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
