5.6 二次函数的图象与一元二次方程
— 基础巩固 —
一、选择题
1、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根
5、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
7、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
二、填空题
9、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
10、若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
11、抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
12、若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是 ．
13、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 ．
14、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
15、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ．
16、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
三、解答题
17、已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
18、已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
19、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
20、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
21、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
22、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
23、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
24、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．5.6 二次函数的图象与一元二次方程
— 基础巩固 —
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一、选择题
1、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
［思路分析］利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
［答案详解］解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
2、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
［答案详解］解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．
故选：B．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．
3、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1＞0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②不正确；
∵a＞0，＜﹣1，即4ac﹣b2＜﹣4a，
∵﹣4a＜8a，
∴4ac﹣b2＜8a，故③正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
∴＝﹣3，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故④正确，
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴y＝a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
又a＞0，
∴b﹣c＞0，
∴b＞c，所以⑤不正确，
综上所述，正确的结论有①③④三个，
故选：C．
［经验总结］考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
4、如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根
［思路分析］由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．
［答案详解］解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，故A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，因为﹣2离对称轴的距离等于﹣4离对称轴的距离，所以m＝n，故B选项错误；
C、顶点为（﹣3，﹣6），则对称轴为直线x＝﹣3，抛物线开口向上，则当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，故C选项正确；
D、由抛物线开口向上及顶点为（﹣3，﹣6）可知，此函数的最小值为﹣6，则ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）没有实数根，故D选项错误．
故选：C．
［经验总结］本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．
5、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］由已知条件得出：a＜0，c＞0，＝1，a+b+c＞0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0．
①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），
当x＝1时，
y＝a+b+c＞0．
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∵b＞0，c＞0，
∴b+c﹣a＞0，
∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，
故①正确；
②由二次函数图象的对称性可知，当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，二次函数取得最大值，
即最大值为a+b+c．
∴当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，
即a+b≥m（am+b）．
故③正确；
④由二次函数图象的对称性可知，图象上的点C（t，n）关于对称轴x＝1对称的点的坐标为（2﹣t，n），且点（2﹣t，n）在二次函数图象上，
∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
故④正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，要熟练掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
6、定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
［思路分析］根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，
∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，
解得，
∵t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，
∴t2﹣t﹣1＝0，
∴t3﹣2t2+1＝t（t+1）﹣2t2+1＝﹣t2+t+1＝﹣1+1＝0．
故选：A．
［经验总结］本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．
7、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
［思路分析］由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．
［答案详解］解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
［思路分析］根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
［答案详解］解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题
9、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
［思路分析］将ax2﹣kx+c＜b化为ax2+c＜kx+b，根据图象求解．
［答案详解］解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
故答案为：﹣1＜x＜2．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．
10、若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
［思路分析］根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后求出不等式即可．
［答案详解］解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11、抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．
［答案详解］解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤且k≠1；
故答案为：k≤且k≠1．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
12、若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是 ．
［思路分析］由抛物线与x轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1．
［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．
13、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 ．
［思路分析］①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．
［答案详解］解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
14、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
［思路分析］根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
［答案详解］解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a+b＝0，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
15、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ．
［思路分析］根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
［答案详解］解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
故答案为：①③④，
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
16、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
［思路分析］由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
［答案详解］解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题
17、已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
［思路分析］（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6．
［经验总结］此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图象与坐标轴交点是解题关键．
18、已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
［思路分析］（1）由Δ＞0即可列不等式得到答案；
（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
［答案详解］解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣，
∴m的取值范围为m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
［经验总结］本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
19、已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
［思路分析］（1）利用顶点式写出抛物线解析式；
（2）设顶点M的纵坐标为m，利用顶点的坐标公式得到m＝，再进行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，从而可判断抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根据直线y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
［答案详解］（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数的解析式．
20、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
［思路分析］（1）利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据新定义，把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p值可得到p的值；
（2）利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（2，11），再利用待定系数法确定一次函数解析式为y＝3x+5，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y＝kx+t与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）先解方程x2+2x+n＝0得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，解方程得到n＝﹣3，再利用配方法得到抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），然后把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3中可求出m的值．
［答案详解］解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，
解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线的顶点坐标为（2，11），
把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，
当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），
当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，
∴n＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，
解得m＝﹣1，
∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；
（2）画函数图象；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数的图象；
（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．
［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；
（2）如图，
（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，
所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．
22、已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
［思路分析］（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD′的解析式，过点M作MN∥x轴，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线W1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，
∴D′（﹣1，4），
∴抛物线W2的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝＝6，
过点M作MN∥x轴，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直线DD′为y＝﹣4x，
设点M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（，﹣m2﹣2m+3），
∴MN＝﹣m＝，
∴S△DD′M＝××（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面积等于△ABC的面积，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±．
当m＝1+时，﹣m2﹣2m+3＝﹣4﹣10，
当m＝1﹣时，﹣m2﹣2m+3＝4﹣10，
∴M（1+，﹣4﹣10）或（1﹣，4﹣10）．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
23、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．
［思路分析］（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值．
［答案详解］解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，
当x＝1时，y有最小值﹣4，
∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴n＝﹣4，
而m+n＝1，
∴m＝5，
当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴k＝4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
24、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
［思路分析］（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
