数学北师大版（2019）必修第一册2.4.1函数的奇偶性教案

第二章　函数
第4节　函数的奇偶性与简单的幂函数
2.4.1函数的奇偶性
函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。
(1)知识目标：
理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
(2)核心素养目标：
通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。
(1)函数奇偶性的概念、图象特征和性质；
(2)根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；
(3)用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。
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一、知识引入
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。
思考讨论：
(1)上列各图，分别是怎样的对称图形？
提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形.
(2)在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；
提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等.
例1.画出函数的图象，并观察它的对称性.
解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图
(3)上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？
提示：对于定义域中任一个自变量的取值，都有函数值.
二、新知识
一般地，设函数定义域为.
如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；
如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。
如：函数、等等
注意：
①当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；
偶函数图象关于轴对称, 反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；
③若奇函数是在处有定义，则有；
④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质.
例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：(1)函数定义域为，对任意，有
， .
得，所以函数为奇函数.
(2)函数定义域为，对任意，有
， 得，
所以函数为偶函数.
(3)函数定义域为，对任意，有
， 得，
所以函数为偶函数.
(4)函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
思考讨论（综合练习）
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：
① ②
③ ④
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
提示：(1) ①函数有意义，则，即定义域为，有，
此时既有，又有
所以函数既是奇函数又是偶函数.
②函数定义域为，
若，则，
有，，有
若，则，
有，，仍有
所以函数为奇函数．
③函数有意义，则，即定义域为，函数即为
易得
所以函数为奇函数．
④函数定义域为，对任意，有
.
即
所以函数为奇函数．
(2) ①函数是定义在上的奇函数，设，则
.
又函数为奇函数，，上式即为
得
所以函数
②函数在上单调递增，画出函数图象，如图
则，解得
所以实数的取值范围为.
注意：
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；
②奇函数如果在处有定义，必有；
③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称.
三、课堂练习
教材P66，练习1、2、3.
四、课后作业
教材P67，习题2-4：A组第1、2、3题.
分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑轴一侧的情况，从而事半而功倍。