苏教版6上长方体和正方体单元综合知识点全套讲解附练习和答案
文档属性
| 名称 | 苏教版6上长方体和正方体单元综合知识点全套讲解附练习和答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1020.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-30 10:28:25 | ||
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文档简介
长方体和正方体综合知识点自编版
前言
要素立体图形 棱 面 顶点
数量 特征 数量 特征 数量 特征
长方体 12条 4条横长棱4条纵宽棱4条竖高棱 互相平行的棱长度相等，3组 6个面上下前后,左右各2个面 相对的面完全相同。上下、前后、左右相对的2个面完全相同 8个上面4个下面4个 同一个顶点引出的3条棱分别叫做：长、宽、高。三棱汇一点
半特殊长方体 12条4垂直棱+构正方8棱 垂直于正方形面的4条棱长度相等 6个面2面+4面 有一组相对的2个面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形 8个上面4个下面4个
正方体 12条 长度相等 6个面 6个面全相等 8个
唠叨说教
上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。
这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在——探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块—计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。
第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形→平行四边形→梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：
动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真—其实你很2.
长方体、正方体 空间构造认识
★长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长
和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长×宽×2；长方体前、后两面的面积和=长×高×2；长方体左、右面两的面积和=宽×高×2；最后易记忆并合成为，S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。
★三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面—正、侧、俯视三取其一；两面—正、侧、俯视三取其二；三面—正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return ——推荐聆听2014春晚歌曲《时间都去哪儿了》。
★长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用◆【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】◆ 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。
上下2相对 前后2相对 左右2相对
其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后
4环形等长方 4环形等长方 4环形等长方
相 对 2 正 方，其 余 环 形 4 个 等 长 方 形
★长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；
有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。
【管中窥豹之你的前世今生变形记】
一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
【解法1】根据题意可以知道：
①长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】, 4cm
②把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为
（4＋2）cm，面积是120cm 的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形
（长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】
③正方体的棱长：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【红色线均为5cm】
④原长方体的体积：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米）
【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积，
②长方体底面周长：120÷6=20厘米， 【侧面积÷底面周长=高】 2cm
③因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为20÷4=5厘米，
那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)，
所以原长方体体积：5×5×11=275立方厘米。
【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米， 4cm
【依然是利用半特殊长方体的相对两正方这一特性】
高就是x+2+4厘米。
根据题意：原来长方体的表面积-正方体的表面积=120
2x +4x(x+2+4)-6x =120
2x +4x +24x-6x =120
24x=120
x=5 2cm
那么长方体的长和宽都是5cm，高是5+2+4=11cm。
体积V=长×宽×高 V=5×5×11=275立方厘米
★最后一点强调：由一维空间的点、线，到二维空间的平面图形：长方形，正方形，再到立体几何图形的学习。图形的日趋复杂的变化演绎过程，可以说：点动成线，线动成面，面动则成体。
不管是曾经的平面图形周长，面积的题目，还是现在立体几何中的棱长和、表面积、体积、容积、容积中的排水法、挖一块或若干块、切一刀或几刀、若干块拼成一大块、棱的几倍变形引起表面积体积的变化，涂色问题，这些所有的所有，根本都要围绕变化的和不变化的，从棱变则全变这一点去探究！
最后的最后，请你画画图，讲讲道理，带入公式的数字含义对吗？另外数学一些题目是需要你联系生活实际的，例如：在现实生活中，不是所有长方体都要求六个面的面积，要根据实际情况，有的是求六个面的面积，有的是求五个面的面积，有的是求四个面的面积。做个画家和导演，讲讲道理，学校那点简单题目没有你不会做的！
公式
棱长类：
长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4 C=4（a＋b＋h）
长方体的棱长和=长×4＋宽×4＋高×4 C=4a＋4b＋4h
长方体的高=棱长和÷4－长－宽
正方体的棱长和=棱长×12 C=12a
正方体的棱长=棱长和÷12
棱长和的变形：包扎用绳总长度=2个长+2个宽+4个高+打结用绳长度
长方体、正方体的表面积和体积类：
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示S=2(ab＋ac＋bc)
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2 用字母表示S=2ab＋2ac＋2bc
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示S=6a2
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示V=abc
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示V= a3
上述公式变形很无聊： 长方体的长=体积÷宽÷高 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 长方体的高=体积÷底面积 长方体的体积=横截面积×长 长方体的长=体积÷横截面积
★侧面积÷底面周长=高 【这是个好公式】
★解决有关长方体和正方体表面积的实际问题时，有时只求长方体、正方体的4个面（如：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；）或5个面（无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，还需要扣除不需要刷涂涂料的门、窗的面积）
★在计算时，请注意首先进行单位换算统一后再进行。
一、长方体和正方体的认识
【知识点1】关于点、线、面
如图所示为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样的方法，截去原长方体的八个角，则新的立体图形的顶点有 个；棱有 条，面有 个，
【思路分析】一个长方体有4+4+4=12条棱，一个角上裁出3条棱，
即8个角共3×8=24条棱，相加即可．
原有棱的条数12+八个顶角裁出的24条棱=36条棱。
顶点的变化为：原有一个顶点因裁去而损失，但是增加的一个面，
或者说增加的3条棱于其它棱交点为3个，3-1=2个。
【思路点拨】每切去一个角，多出3条棱，多1个面，多2个顶点；依此类推，切
去长方体的八个角，多出24条棱，8个面，16个顶点加上原来的12
条棱,6个面,8个顶点一共36条棱，14个面,16个顶点。
【举一反三】
如果把一个长方体截去一个角后,新的立体图形有（ ）个顶点，有（ ）条棱、有（ ）个面
图1 图2 图 3 图4
解答：图1、新的几何体有（ 10 ）个顶点， 有（ 15 ）条棱、有（ 7 ）个面
图2、新的几何体有（ 9 ）个顶点， 有（ 14 ）条棱、有（ 7 ）个面
图3、新的几何体有（ 8 ）个顶点， 有（ 13 ）条棱、有（ 7 ）个面
图4、新的几何体有（ 7 ）个顶点， 有（ 12 ）条棱、有（ 7 ）个面
判断并改正：
1、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( )
2、长方体的六个面一定是长方形； ( )
3、正方体的六个面面积一定相等； ( )
4、一个长方体最多有四个面面积相等； ( )
5、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( )
6、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( )
7、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ）
8、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ）
9、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ）
10、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ）
11、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（ ）
12、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）
【知识点2】关于棱长
棱长和的变形：
①例如：一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。
解答：需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm
②图2这款IPAD的外包装长a厘米，宽b厘米，高c厘米，商
店为了顾客方便，用丝带进行捆扎，结头处长d厘米，
这个包装盒至少要准备 米彩带？ 图2
③图3有5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？
A．①号2张，③号4张
B．②号2张，③号2张，①号2张
C．①号2张，③号2张，④号2张
D．①号2张，⑤号4张
E. ①号2张，②号4张 图3
F. ④号4张，⑤号两张
④仓库有四种规格的铁皮（单位：分米）：
规格①长6，宽4． 规格②长6，宽5 规格③长5，宽4． 规格④边长是4的正方形．
从中选择5张制成一个无盖的长方体容器的两种方案．（表格中填入几张）
规格① 规格② 规格③ 规格④ 容积/升
方案一
方案二
练习：
1．有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，
需要（ ）米的铝合金。
2．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。
3．一个长方体长12厘米 宽8厘米 高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。
4．一个长方体的礼堂如右图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，
每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？ 【右图礼堂】
5．一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，
右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
6．正方体的六个面中，选出3个面，其中有两个面不相邻的排法有多少种方案？
本题为和计数体系排列组合的结合
解答：①两个面不相邻那就是对面！正方体共3组对面，假定选组对面，还有一面从其他4面中任意选，就有4种情况！所以共有3×4=12种
②先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。 正方体共有6个面，因此共有4×6＝24种选法。 但是不相邻便是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2. 所以最终共有选法为24/2＝12种。
③从正方体的六个面中任意选三个面共有20（6+5+4+3+2=20）种。其中过同一顶点的三个面相邻的只有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种。
7.小明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
A. 9a+6b B. 8a+4b C.6(a+b) D.12a+12b E. 6a+9b F. 4a+8b
举一反三：
1 小明有59根a厘米长的小棒和56根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
2 小明有49根a厘米长的小棒和46根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
3 小明有29根a厘米长的小棒和16根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了两个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
★长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
一，切割对正方体、正方体棱长的影响
1 切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；
（棱长增加的最长）
②将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；
（棱长增加的最短）
③将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。
2、组合对长方体、正方体棱长的影响
1 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；
（棱长减少的最多）
②将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；
③将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；
（棱长减少的最少）
④将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；
一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））
例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？
【分析】：五个正方体棱长共有12×5=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。
【知识点3】长方体、正方体的侧面展开图：
长方体的展开图有几种
长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：
一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种；
三三式3种，共计54种
长方体的展开图判断：
1 展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的
大小完全相同。
2 在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的，
其中同样大小的两个长方形中间一定只隔一个
其他的长方形。
①把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
分析：右图中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心圆”的正方形做“上面”，显然是正方体C的展形图，故选（C）。
2 有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形，
它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的
【分析】由题意得：将侧面展开后的图形为右图所示
说明这个长方体的底面周长和高相等（半特殊化长方体）；
因为底面也是正方形，说明底面周长就是正方形的周长，
所以正方形的周长和高相等，正方形的周长是正方形边长的4倍，则长方体的高就是正方形的边长的4倍，即这个正方形的边长是长方体高的1/4
③有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度
观察的结果如图所示，那么这个立方体
1的对面是 ，3的对面是 ，
4的对面是 ．
④用红、黄、蓝、白、黑、绿这6种颜色分别
涂在正方体的各面上，每一个面只涂一种颜色。如图所示，现有涂色方式完全一样的4块小正方体拼成了一个长方体。每个小正方体中，红色面的对面涂的是 色？黄色面的对面涂的是 色？黑色面的对面涂的是 色？
⑤下面是一个长方体的展开图，其中错误的是（ ）
A. B. C. D.
⑥下图是长方体的展开图，已经给出有关数据，求出这个长方体的表面积和体积．
【分析】要会看图哎！由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、5分米和3分米，
解答：
长方体的表面积： 长方体的体积：=(8×5+5×3+3×8)×2 =8×5×3
=(40+15+24）×2， =40×3
=79×2 =120立方分米
=158（平方分米）
⑦ 这是一个长方体的展开图，请问此长方体的体积是多少立方厘米？
解析：观察图形可知长+宽的和是
则可得高是
则这个长方体的长是 ，宽是
由此利用长方体的体积公式即可解答．
解答：
⑧经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：
【知识点4】★一定要按照棱长对棱长的方式去考虑
①小正方体拼大正方体的规律
由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……
从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。
★要求能够熟记一些数的立方：
23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000
②小正方体拼大长方体的规律
规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。
练习：1、用棱长为3cm的小正方体拼棱长为9cm的大正方体需要（ ）个小正方体。
A、8个 B、27个 C、26个 D、64个
2、一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。
3、一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以
（ ）块。
③从一个长方体中切出一个最大的正方体问题
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的
长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是
多少？剩余部分的表面积是多少？
二、长方体和正方体的表面积和体积
静止型
【知识点1】
①判断正误
两个棱长和相等的长方体，它们的表面积相等（ ）
一个长方体和一个正方体的棱长和相等，它们的表面积相等（ ）
两个棱长和相等的正方体，它们的表面积相等 （ ）
表面积相等的两个长方体，它们的棱长和相等 （ ）
表面积相等的一个长方体和一个正方体，它们的棱长和相等 （ ）
表面积相等的两个正方体，它们的棱长和也相等 （ ）
②下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ）
A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？
B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？
C：求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？
③一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。
【知识点2】长方体、正方体表面积求法的变形：
①一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面.
②贴商标类、通风管型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？
一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮
③游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？
做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？
一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？
一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
④抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
⑤占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？
一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？
⑥一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。
一个长方体的长12厘米,高8厘米, 底面与左侧面的面积和为200平方厘米.求这个长方体的体积？
⑦一个长方体的表面积是66.16分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。求长方体的体积
⑧一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如右图， 从四个角上剪去
边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少
平方厘米？
【知识点3】棱长变化对棱长和、表面积、体积的影响：
必须习惯并熟悉字母替代数字后，去考虑棱长的变化对长方体、正方体棱长和、表面积、体积的影响！
①棱长变化对正方体的棱长和、表面积、体积的影响
★正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
★正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
②棱长变化对长方体的棱长和、表面积、体积的影响
★长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8；
★长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍；
★长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律。
体积扩大a×b×c倍。
★长方体长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍
★长方体宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍
★长方体长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍
练习：
①大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。
②正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍．
③一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。
④正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。
⑤一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。
⑥一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。
⑦大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
⑧把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。
A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍
⑨判断：
一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ）
正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（ ）
有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ）
棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（ ）
【知识点4】表面积、体积与数论体系的结合
★ 唯一的偶质数是2，是帮助我们解决质数问题的一个非常好条件，请时刻想起。以下是利用数论的特性与先天不足，一些和数论有关系的公式，我们只需要最多通过0—9这10个数字便可推导出，例：
★ 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数
★ 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=奇数 偶数×偶数=偶数
例1．一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导航】
长方体的前面与上面的面积和是长×宽+长×高=长×（高+宽），由于长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17+2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 ★为什么不写成209=19×11，若是这样，11是个质数，两个质数的和是奇数，其中必有一个偶质数，唯一的偶质数是2，那么另一个数是9，不是质数，不合题意要求。
长方体的体积：209=11×19=11×（17+2）=374 （立方厘米）
表面积：（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米）
练习：
①一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
②一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。
③用2100个棱长为1cm的正方体堆成一个长方体，它的高是1dm，且长大于宽大于高，这个长方体的
长为 ；宽为 .
三、长方体和正方体的表面积
静止非穿透型—不规则型、挖N块型、置放N块型
①不规则型几何体表面积、体积的求解：
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】
（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，
左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），
右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
练习：
1.如图是一些棱长是1厘米的小正方体搭成的立体图形，
如果要在基础上拼搭成一个长方体（不可以移动原有的小正方体），
这个长方体的体积至少是 立方厘米，
还需用 个这样的小正方体．
2. 将若干个完全相同的正立方体黏合而成如右的立体图形，若其表面积为270平方公分，
则其体积= 立方公分．
②挖N块型：
★ 无论在哪里挖，原来体积－挖出的体积=新的几何体的体积
★小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化
①挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。
②挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。增大的面积为4-2=2个小正方体的面。
3 挖去的小正方体在面的位置，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。增大的面积=5-1=4个小正方体的面。
★再复杂的并着挖的情况根据图例实际进行讨论。
【例题1】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），
由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），
这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），
但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的
面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，
因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
【例题2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个
长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【思路导航】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，
新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600．
【例题3】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．
它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、
上面挖去的正方体）
【思路导航】原正方体的表面积是44696(平方厘米)．
每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了
5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．
总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：9646120平方厘米。
【例题4】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【思路导航】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50 ×50 ×6 ＝15000(平方厘米)。
【例题5】下图是最大的是一个棱长为2厘米的正方体，
在这个大正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米
的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长
为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法
和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的
表面积是多少平方厘米？
【思路导航】棱长为2厘米的大正方体的表面积为：
2×2×6=24（平方厘米）；下挖的棱长为1厘米的正方形小洞，
增加了四周4个面的面积=1144(平方厘米)，
下挖的棱长为厘米厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=41(平方厘米)，下挖的棱长为厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=4(平方厘米)，这个立体图形的总表面积为：24 41(平方厘米).
练习：
1. 一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，
被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2．有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，
在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），
求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
3． 右图是一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个
棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
4．在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的6个面（不触及棱、角），12条棱上，上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
5. 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，
分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，
表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
6.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
4 置放型：
★ 无论在哪儿放，原来的体积﹢置放的体积﹦新的几何体的体积
★ 根据单一凹凸型的特性，放置一个，无论放哪里，新的几何体的表面积增加的是所置放小的几何体的四周面积。再复杂的，并着放置的情况根据图例实际进行讨论。
【例题1】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，
求这个立体图形的表面积．
【思路导航】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，
“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分
合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积
就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；
四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，
大正方体的四个侧面．上下方向：(平方分米)；
侧面：(平方分米)，(平方分米)．
这个立体图形的表面积为：(平方分米)．
【例题2】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、
厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，
则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【思路导航】（方法1）四个正方体的表面积之和为：
(平方厘米)，
重叠部分的面积为：
(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)．
(方法2)三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,
从左右两个面观察到的面积为平方厘米，
从上下能观察到的面积为平方厘米．
表面积为(平方厘米)．
【例题3】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，
按右图中的方式拼成一个立体图形.，
求这个立体图形的表面积．
【思路导航】从上下、左右、前后观察到的的平面图形
如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：
2个上面个左面个前面．上表面的面积为：9平方厘米，
左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．
因此，这个立体图形的总表面积为：(平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
练习：
1 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米
2
②有一个形状如右图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
③如图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，
它的表面积是多少平方厘米？
④有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，
然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．
★挖完再置放型：
如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如右图），
那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
【较难】一个由棱长为N厘米的小正方体，构成棱长M厘米的大正方体。然后分别在大正方体的其中一个顶点处取出了一个小正方体、在其中两条棱上分别取出一个小正方体、其中三个面上各取出一个小正方体（在面的相对靠近中间位置）。并且随后将这些小正方体呈“一字长蛇阵”摆放在大正方体的上表面。请计算大正方体最终的体积和表面积是多少？
四、长方体和正方体的表面积
静止穿透型——切割型、拼接型
1 立体图形的切割：(切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题)
正方体
对于正方体而言，无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，不存在增加最多最少的问题。增加的面积均为2a2 。
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
★1刀→增加 2 面→分成 2 段 ★2刀→增加 面→分成 段
★3刀→增加 面→分成 段 ★N刀→增加 面→分成 段
【例题1】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，
其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，
每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。
正方体有6个这样的面，所以，
原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
【例题2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，
每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，
那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【思路导航】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数
的公式为：锯的总次数2增加的面数．
原正方体表面积：1166(平方米)，
一共锯了(21)(31)(41)6次，
6112618(平方米)．
【例题3】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体
如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的
和是 ．
【思路导航】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于
与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，
表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为．
【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，
沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，
每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．
那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米
练习：
①把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）
②用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是
（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。
③把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。
④用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。
⑤棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。
⑥一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加( )平方分米
⑦一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积
最多能增加多少平方厘米？
8 把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的
底面积是多少平方分米？
9 一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加( )平方厘米？
10 一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个
完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？
【较难】
如图所示，在棱长为3的正方体中，由上到下，由左到右，
由前到后的居中位置各钻一个洞，其洞口为一正方形，
面积为1且洞深为3．求所得几何体的总表面积．
②立体图形的拼接：（组合只会使表面积减少，因此也存在减少最多或最少的问题）
正方体 无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面。减少的面积均为2a2 。
长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
【例题1】例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？
【分析】要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，
根据规律应该选择第一种包装方式。
【例题2】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
【思路导航】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【巩固】123块边长为a厘米的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是 ？
【例题3】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？
①当 b2h时，如何打包？
②当 b2h时，如何打包？
③当 b2h时，如何打包？
【思路导航】图2和图3正面的面积相同，
侧面面积正面周长长方体长，
所以正面的周长愈大表面积越大，
图2的正面周长是8h6b，
图3的周长是12h4b.
两者的周长之差为2（b2h）.
当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，
显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，
砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
【例题5】用若干个棱长为1厘米的小正方体可以摆出一个长方体．如图：
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是 42平方厘米，第n个长方体的表面积是
4n+2平方厘米，如果摆成的长方体的表面是202平方厘米，那么这个长方体排在第 50个．
【思路导航】：棱长为1厘米的正方体的一个面的面积是1平方厘米，且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：
第一个长方体的表面积是：6个小正方体的面，可以写成1×4+2；
第二个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成2×4+2；
第三个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成3×4+2；…
则第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
【解答】：根据题意分析可得：
第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
小正方体的一个面的面积为：1×1=1（平方厘米）；所以
①当n=10时，长方体的表面积有：10×4+2=42，所以1×42=42（平方厘米）；
②第n个长方体的表面积为：1×（4n+2）=4n+2（平方厘米）；
③当（4n+2）×1=202时，解得：n=50（个）；
答：第10个长方体的表面积是42平方厘米，第n个长方体的表面积是4n+2平方厘米，如果摆成的长方体的表面是202平方厘米，那么这个长方体排在第50个．故答案为：42；4n+2；50．
练习：
1.把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ），比原来3个正方体表面积之和减少了（ ）。
2.把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ），体积是（ ）。
3.用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）
4.把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？
5.一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？
6.一种长方体积木，长3厘米，宽2.5厘米，高2厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？
7.用3个棱长5分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
8.有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。
9.用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
10.用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？
11.用3个棱长4分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
12.用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
四，长方体、正方体的体积和容积
【知识点1】容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积﹥容积。
★ 体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；
★ 表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。
★ 表面积相等的情况下，越是规整的几何体体积（容积越大）
当S球=S正=S长；那么V球>V正>V长；当V球=V正=V长；那么S球练习：
判断：
1.体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （ ）
2.正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（ ）
3.表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等． （ ）
4.长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
5.表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）．
①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
6.将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）．
①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等．
7.用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
【知识点2】单位换算
长度单位：mm、 cm、 dm、m 相邻两个单位进率为10
面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100
体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000
容积单位：mL、 L 相邻两个单位进率为1000
特别的：1ml=cm3 1L=1dm3 1方=1m
大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。
例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。
一个粉笔盒的体积约为1 dm 。 建一游泳池，约要挖土6000方。
1.36 dm =1360 cm 4.573m =4573 dm
一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm =5670cm
练习：
4.25立方米=( )立方分米=( )升 1.24立方米=( )升=( )毫升
3.06升=（ ）升（ ）毫升 4立方分米5立方厘米＝（ ）立方分米
2100毫升＝（ ）立方厘米＝（ ）立方分米 0.3升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米
一个水池能装水400立方米，这是指（ ），占地2公顷指的是（ ）。
一块橡皮擦的体积约是8( ) 一本书的封面约是2( )。
运货集装箱的体积约是40( ) 一台录音机的体积约是20( )。
【知识点2】体积大小的比较
对于液体可以直接比较体积大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。
★对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高和容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。
例如：有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？
分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。通过计算硬纸盒的长=8分米
宽=240÷（8×5）=6分米 高=5分米 陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米 高=4分米
我们可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。
练习：
1.有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？
2.有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？
【知识点3】切割组合对体积的影响
练习：
①一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？
②一个长方体，把它的高增加3厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了１２０平方厘米，求原来的体积是多少？
③一个长方体，把它的高减少５厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了２００平方厘米，求原来的体积是多少？
④一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了８０平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
⑤一个棱长为１分米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑥把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑦把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑧一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。
【知识点4】填土抬高地面类问题
【知识点5】计算不规则物体体积的方法
★它的实质是给出的公式：溢出水的体积=水的体积+铁块的体积-玻璃缸的容积
【例题1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
【例题2】 有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是
多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。
当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状
是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除
以底面积就知道现在水的深度了。
【例题3】 有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。
练习：
1. 一个铁块体积500立方厘米，完全浸入棱长10厘米的正方体容器的水中．
①原来水深4厘米，现在水深几厘米？
②原来水深7厘米，溢出多少立方厘米的水？
2. 在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器中，在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体
容器中，直立一根长1米，底面边长是15厘米的正方形四棱柱铁棍，这时容器水深为50厘米，现在把铁棍轻轻向上提起24厘米，露出水面的四棱柱浸湿部分长多少厘米？
3. 一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
4. 雨哗哗地不停地下着．如果在雨地
放一个如图1那样的长方体的容器
（单位：厘米），雨水将它灌满要用
1小时。雨水灌满图2、图3容器
各需多长时间？
5. 流动的水：有圆柱体、长方体和正方体玻璃容器连在一起，
容器下面用细管连接起来，水可以流动，并装有A、B两个阀门．
已知圆柱体底面积为25平方厘米，水深14厘米，
长方体底面积为15平方厘米，水深10厘米，
正方体底面积10平方厘米，无水．
★圆柱的体积公式为：底面积×高
（1）如果打开A阀，等水停止流动，此时长方体水深多少厘米？
（2）接着打开B阀，等水停止流动，此时正方体水深多少厘米？
【知识点6】等体积变形问题
练习：
把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？
五、长方体和正方体涂色问题
对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：
三面涂色的：8块 二面涂色的：（n－2）×12 一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6
没有颜色的：（n－2）×（n－2）×（n－2）
对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下：
三面涂色的：8块 二面涂色的：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4
一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2
没有颜色的：（a－2）×（b－2）×（c－2）
图1
图2
总结:三个面都染色的在8个顶点处，两个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的里面。
将四边形分成三组：两组对边都不平行的是任意四边形，有一组对边平行，另外一组对边不平行的是梯形；两组对边分别平行的是平行四边形。
对于梯形分组来说，两腰相等是等腰梯形，有一个角是直角叫直角梯形。对于平行四边形分组来说，有一个角是直角的变成了矩形，有一组临边相等的是菱形；最后当拥有了直角后，再增加上一组临边相等；当拥有了一组临边相等后，再增加上有一个角是直角，最终，长方形和菱形都变成了正方形。
提问：
1.长方体中的12条棱如何分组
2.长方体最少有4个面是长方形
3.半特殊化长方体对其所属的正方形的面有什么位置要求
4.若想构成半特殊化长方体,对棱的数量和位置上有什么要求
5.相邻不相对、相对不相邻。你是如何理解这句话在长方体上的表现？
30㎝
20cm
20cm
30m
6m
50m
2厘米
高级单位
进率×高级单位的数
低级单位
低级单位的数÷进率
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；
在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面的面有1个；
用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。
练习：
图一中，长方体共有（ ）个小正方体；
其中两个面露在外面的小正方体共有（ ）个；
没有露在外面的小正方体共有（ ）个。
图二中三个图依次有（ ）、（ ）、（ ）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面的正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）。
例如：在该正方体表面涂上漆，
有三个面涂上漆的小正方体有几个？
有两个面图上漆的小正方体有几个？
有一个面涂上漆的小正方体有几个？
没有涂上漆的小正方体有几个？
PAGE
前言
要素立体图形 棱 面 顶点
数量 特征 数量 特征 数量 特征
长方体 12条 4条横长棱4条纵宽棱4条竖高棱 互相平行的棱长度相等，3组 6个面上下前后,左右各2个面 相对的面完全相同。上下、前后、左右相对的2个面完全相同 8个上面4个下面4个 同一个顶点引出的3条棱分别叫做：长、宽、高。三棱汇一点
半特殊长方体 12条4垂直棱+构正方8棱 垂直于正方形面的4条棱长度相等 6个面2面+4面 有一组相对的2个面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形 8个上面4个下面4个
正方体 12条 长度相等 6个面 6个面全相等 8个
唠叨说教
上述表格中涉及到的一些数字，相信你基本能脱口而出，可每到解题的时候，头脑一片混乱。每次考完试后，我常会听到一些同学说：这次考试我又粗心了。粗心是借口，过了4年级，粗心实际就是数学思维混乱，不讲数学道理，水平低的表现。并且屡教不改。
这里牵涉到两个问题：一是记忆问题；形同其它学科，数学所需要背诵的基本概念、法则、定义、定理、公式，大多为了加快解题步骤，省却学生重复推倒的过程（很多小学、初中阶段学生自己都还无法去推倒）。由于数学学科的自身特点表现在——探讨对象的抽象性，数学语言在纸面表达的抽象性很强。因此为记忆而记忆，机械的记忆，不仅枯燥无味，且造成错误频出，说到底无任何意义。纵观对于数学7大体系需要进行记忆的内容，其中6大版块—计算体系、计数体系、组合体系、数论体系、行程体系、应用体系，每次在记忆的时候，脑海中最好同步显现相应的一道哪怕是最简单的题目即可；而对于第七体系的几何体系而言，公式、概念背诵的同时，不仅头脑中必须出现对应的图形，反复映射，特别重要的是，对于立体几何而言：作图，标上带单位的数字，更是不可或缺，意义重大。
第二个问题：数学还是一门知识的连贯性、系统性、逻辑性很强的学科。决不可将数学不同阶段、时期的知识点孤立看待。数学知识的连贯性，犹如链条，缺少某一环节，知识就会散架。 例如说三年级上学期对于长方形、正方形周长的学习；三下对它们面积的学习；四下从三角形→平行四边形→梯形；五上，将上述图形简单合成，进入到多边形面积的学习；看下图所示：
动笔前一副“空想社会主义”的萌样；动笔时一副凌空蹈虚的傻样，很傻很天真—其实你很2.
长方体、正方体 空间构造认识
★长方体中，汇聚于一点的三条棱，分别是横长棱，纵深棱，竖高棱。平面几何中，以长度来界定长
和宽。立体几何中，长宽高的界定，没有一本教材给出。我觉得，按照呈现在眼前的三维立体平面图中，线条的横向，纵向，竖向走向来定义为好。这对于长方体表面积的计算：长方体上、下两面的面积和=长×宽×2；长方体前、后两面的面积和=长×高×2；长方体左、右面两的面积和=宽×高×2；最后易记忆并合成为，S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。初中起到将来，直线坐标系，直角坐标系，空间坐标系与之相对应的实数虚数、函数、解析几何、微积分学习都有关联。
★三维立体平面图是为了方便研究，其实既可只见一面—正、侧、俯视三取其一；两面—正、侧、俯视三取其二；三面—正视图、侧视图、俯视图三合一。特别说明：1，如果物体的宽度明显小于人双眼距离的时候，有可能4个面。但是你忽略了前提条件是从一点去观察；2，从不同角度观察长方体，最多能同时看见几面，请不要累加，前提条件是同时能看见。时间在流逝：是孔圣的“不舍昼夜”，是庄生的“白驹过隙”，是曹孟德的“譬如朝露”，是陈子昂的“怆然泣下”。还有那句拨动无数少年心弦，触落无数老者清泪的“你聪明的，告诉我，我们的日子为什么一去不复返呢？” You the wise, tell me, why should our days leave us, never to return ——推荐聆听2014春晚歌曲《时间都去哪儿了》。
★长方体有“大众化”和“半特殊化”两种。实质为汇聚于顶点的长宽高三种棱，有且只可以两两之间数值大小一样时，“大众化长方体“成为“半特殊化”长方体。若长宽高大小都相等，就成为正方体。半特殊化长方体由于隐含着有一组相对的两个面是正方形（为什么不能相邻？），或者说隐含着长方体的6个面，必定分为2个对面为正方形，4个只可为长方形的条件，我们依然应当从这个条件形成的实质内涵是12条原本分组为4长、4宽、4高的棱，重新分组为4和8两组棱。充分利用◆【相对2正方，其余环形4个等长方形】，【4棱环形4长方、8棱相对两正方】◆ 是解决很多半特殊化长方体问题的关键。
上下2相对 前后2相对 左右2相对
其余前后左右 其余上下左右 其余上下前后
4环形等长方 4环形等长方 4环形等长方
相 对 2 正 方，其 余 环 形 4 个 等 长 方 形
★长方体和正方体的差别，不是面的差别，依然是棱！因为面的大小，就是棱的长度乘积结果造成；
有关你前世今生的故事是这样的：正方体是特殊的长方体，它拥有长方体所具有的特征：8个顶点，12条棱，6个面且相对的面一定平行，不平行那叫“喇叭开口笑”！探究实质，依然是12条棱其中的8条，长度首先变得完全一样后，形成且只能形成相对的两个正方形，这样前世大众化长方体的你，变形为半特殊化长方体（又名正四棱柱，妖也要有名）。当原本垂直于正方形的4条棱，长度增加（你前世矮胖子，现在矮胖挫的妖）或者减少（你前世瘦丑穷）到和8条棱完全一样时，汇于一点三棱的你本是人，且是矮胖挫或瘦丑穷，某一日，走火入魔，邪念丛生，祸害学生，变形是为妖人？人妖？（随便你啦）。最终幡然醒悟，潜心修炼，放下屠刀，又某一日，得道成仙！—本类型妖题，用你当年，破解不再是妖人或人妖的方法，依然是口念：相对2正方，其余环形4个等长方形，去解决。
【管中窥豹之你的前世今生变形记】
一个长方体木块,从上部和下部分别截去4厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
【解法1】根据题意可以知道：
①长方体是一个底面为正方形的长方体。【相对两正方】, 4cm
②把截去的4cm和2cm拼凑在一起，这样就减少了一个高度为
（4＋2）cm，面积是120cm 的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形
（长就是长方体的长，宽就是6cm）组成的。【其余环形4个等长方形】
③正方体的棱长：120÷（4＋2）÷4=5（cm）【红色线均为5cm】
④原长方体的体积：5×5×（4+2+5）=275（立方厘米）
【解法2】①120平方厘米就是(4+2)厘米高的长方体的侧面积，
②长方体底面周长：120÷6=20厘米， 【侧面积÷底面周长=高】 2cm
③因为成为正方体，底面是正方形，所以底面边长为20÷4=5厘米，
那么原来长方体的高为(4+2+5=11厘米)，
所以原长方体体积：5×5×11=275立方厘米。
【解法3】列方程，设长方体的长是x厘米，那么宽也就是x厘米， 4cm
【依然是利用半特殊长方体的相对两正方这一特性】
高就是x+2+4厘米。
根据题意：原来长方体的表面积-正方体的表面积=120
2x +4x(x+2+4)-6x =120
2x +4x +24x-6x =120
24x=120
x=5 2cm
那么长方体的长和宽都是5cm，高是5+2+4=11cm。
体积V=长×宽×高 V=5×5×11=275立方厘米
★最后一点强调：由一维空间的点、线，到二维空间的平面图形：长方形，正方形，再到立体几何图形的学习。图形的日趋复杂的变化演绎过程，可以说：点动成线，线动成面，面动则成体。
不管是曾经的平面图形周长，面积的题目，还是现在立体几何中的棱长和、表面积、体积、容积、容积中的排水法、挖一块或若干块、切一刀或几刀、若干块拼成一大块、棱的几倍变形引起表面积体积的变化，涂色问题，这些所有的所有，根本都要围绕变化的和不变化的，从棱变则全变这一点去探究！
最后的最后，请你画画图，讲讲道理，带入公式的数字含义对吗？另外数学一些题目是需要你联系生活实际的，例如：在现实生活中，不是所有长方体都要求六个面的面积，要根据实际情况，有的是求六个面的面积，有的是求五个面的面积，有的是求四个面的面积。做个画家和导演，讲讲道理，学校那点简单题目没有你不会做的！
公式
棱长类：
长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4 C=4（a＋b＋h）
长方体的棱长和=长×4＋宽×4＋高×4 C=4a＋4b＋4h
长方体的高=棱长和÷4－长－宽
正方体的棱长和=棱长×12 C=12a
正方体的棱长=棱长和÷12
棱长和的变形：包扎用绳总长度=2个长+2个宽+4个高+打结用绳长度
长方体、正方体的表面积和体积类：
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示S=2(ab＋ac＋bc)
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2 用字母表示S=2ab＋2ac＋2bc
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示S=6a2
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示V=abc
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示V= a3
上述公式变形很无聊： 长方体的长=体积÷宽÷高 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 长方体的高=体积÷底面积 长方体的体积=横截面积×长 长方体的长=体积÷横截面积
★侧面积÷底面周长=高 【这是个好公式】
★解决有关长方体和正方体表面积的实际问题时，有时只求长方体、正方体的4个面（如：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一个火柴盒的外盒；）或5个面（无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、一个火柴盒的内盒、一本影集的封套；家里地面不刷涂料，还需要扣除不需要刷涂涂料的门、窗的面积）
★在计算时，请注意首先进行单位换算统一后再进行。
一、长方体和正方体的认识
【知识点1】关于点、线、面
如图所示为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样的方法，截去原长方体的八个角，则新的立体图形的顶点有 个；棱有 条，面有 个，
【思路分析】一个长方体有4+4+4=12条棱，一个角上裁出3条棱，
即8个角共3×8=24条棱，相加即可．
原有棱的条数12+八个顶角裁出的24条棱=36条棱。
顶点的变化为：原有一个顶点因裁去而损失，但是增加的一个面，
或者说增加的3条棱于其它棱交点为3个，3-1=2个。
【思路点拨】每切去一个角，多出3条棱，多1个面，多2个顶点；依此类推，切
去长方体的八个角，多出24条棱，8个面，16个顶点加上原来的12
条棱,6个面,8个顶点一共36条棱，14个面,16个顶点。
【举一反三】
如果把一个长方体截去一个角后,新的立体图形有（ ）个顶点，有（ ）条棱、有（ ）个面
图1 图2 图 3 图4
解答：图1、新的几何体有（ 10 ）个顶点， 有（ 15 ）条棱、有（ 7 ）个面
图2、新的几何体有（ 9 ）个顶点， 有（ 14 ）条棱、有（ 7 ）个面
图3、新的几何体有（ 8 ）个顶点， 有（ 13 ）条棱、有（ 7 ）个面
图4、新的几何体有（ 7 ）个顶点， 有（ 12 ）条棱、有（ 7 ）个面
判断并改正：
1、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( )
2、长方体的六个面一定是长方形； ( )
3、正方体的六个面面积一定相等； ( )
4、一个长方体最多有四个面面积相等； ( )
5、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( )
6、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( )
7、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ）
8、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ）
9、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ）
10、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ）
11、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（ ）
12、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）
【知识点2】关于棱长
棱长和的变形：
①例如：一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？
分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度=长的长度。
解答：需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm
②图2这款IPAD的外包装长a厘米，宽b厘米，高c厘米，商
店为了顾客方便，用丝带进行捆扎，结头处长d厘米，
这个包装盒至少要准备 米彩带？ 图2
③图3有5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？
A．①号2张，③号4张
B．②号2张，③号2张，①号2张
C．①号2张，③号2张，④号2张
D．①号2张，⑤号4张
E. ①号2张，②号4张 图3
F. ④号4张，⑤号两张
④仓库有四种规格的铁皮（单位：分米）：
规格①长6，宽4． 规格②长6，宽5 规格③长5，宽4． 规格④边长是4的正方形．
从中选择5张制成一个无盖的长方体容器的两种方案．（表格中填入几张）
规格① 规格② 规格③ 规格④ 容积/升
方案一
方案二
练习：
1．有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，
需要（ ）米的铝合金。
2．把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。
3．一个长方体长12厘米 宽8厘米 高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。
4．一个长方体的礼堂如右图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，
每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？ 【右图礼堂】
5．一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，
右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
6．正方体的六个面中，选出3个面，其中有两个面不相邻的排法有多少种方案？
本题为和计数体系排列组合的结合
解答：①两个面不相邻那就是对面！正方体共3组对面，假定选组对面，还有一面从其他4面中任意选，就有4种情况！所以共有3×4=12种
②先任选一个面，再选第二个面与之不相邻只有一个，第三个面可从剩下的4个面中任选。因此选定一个面后再选2个面可达到要求的种数有4种。 正方体共有6个面，因此共有4×6＝24种选法。 但是不相邻便是相对的，因此选法有一次重复，所以要除以2. 所以最终共有选法为24/2＝12种。
③从正方体的六个面中任意选三个面共有20（6+5+4+3+2=20）种。其中过同一顶点的三个面相邻的只有8种，是不符合题意的，所以20-8=12种。
7.小明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒，他用其中的若干根小棒搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
A. 9a+6b B. 8a+4b C.6(a+b) D.12a+12b E. 6a+9b F. 4a+8b
举一反三：
1 小明有59根a厘米长的小棒和56根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个长方体框架．长方体框架的棱长和是多少？
2 小明有49根a厘米长的小棒和46根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了一个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
3 小明有29根a厘米长的小棒和16根b厘米长的小棒，他用其中的若干根搭成了两个正方体框架．正方体框架的棱长和是多少？
★长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
一，切割对正方体、正方体棱长的影响
1 切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；
（棱长增加的最长）
②将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；
（棱长增加的最短）
③将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。
2、组合对长方体、正方体棱长的影响
1 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；
（棱长减少的最多）
②将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；
③将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；
（棱长减少的最少）
④将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；
一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））
例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？
【分析】：五个正方体棱长共有12×5=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。
【知识点3】长方体、正方体的侧面展开图：
长方体的展开图有几种
长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：
一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种；
三三式3种，共计54种
长方体的展开图判断：
1 展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的
大小完全相同。
2 在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的，
其中同样大小的两个长方形中间一定只隔一个
其他的长方形。
①把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
分析：右图中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心圆”的正方形做“上面”，显然是正方体C的展形图，故选（C）。
2 有一个长方体，它的侧面展开图是个正方形，
它的底面也是个正方形，那么底面正方形的边长是长方体高的
【分析】由题意得：将侧面展开后的图形为右图所示
说明这个长方体的底面周长和高相等（半特殊化长方体）；
因为底面也是正方形，说明底面周长就是正方形的周长，
所以正方形的周长和高相等，正方形的周长是正方形边长的4倍，则长方体的高就是正方形的边长的4倍，即这个正方形的边长是长方体高的1/4
③有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度
观察的结果如图所示，那么这个立方体
1的对面是 ，3的对面是 ，
4的对面是 ．
④用红、黄、蓝、白、黑、绿这6种颜色分别
涂在正方体的各面上，每一个面只涂一种颜色。如图所示，现有涂色方式完全一样的4块小正方体拼成了一个长方体。每个小正方体中，红色面的对面涂的是 色？黄色面的对面涂的是 色？黑色面的对面涂的是 色？
⑤下面是一个长方体的展开图，其中错误的是（ ）
A. B. C. D.
⑥下图是长方体的展开图，已经给出有关数据，求出这个长方体的表面积和体积．
【分析】要会看图哎！由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、5分米和3分米，
解答：
长方体的表面积： 长方体的体积：=(8×5+5×3+3×8)×2 =8×5×3
=(40+15+24）×2， =40×3
=79×2 =120立方分米
=158（平方分米）
⑦ 这是一个长方体的展开图，请问此长方体的体积是多少立方厘米？
解析：观察图形可知长+宽的和是
则可得高是
则这个长方体的长是 ，宽是
由此利用长方体的体积公式即可解答．
解答：
⑧经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：
【知识点4】★一定要按照棱长对棱长的方式去考虑
①小正方体拼大正方体的规律
由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……
从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。
★要求能够熟记一些数的立方：
23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000
②小正方体拼大长方体的规律
规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。
练习：1、用棱长为3cm的小正方体拼棱长为9cm的大正方体需要（ ）个小正方体。
A、8个 B、27个 C、26个 D、64个
2、一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。
3、一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以
（ ）块。
③从一个长方体中切出一个最大的正方体问题
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的
长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是
多少？剩余部分的表面积是多少？
二、长方体和正方体的表面积和体积
静止型
【知识点1】
①判断正误
两个棱长和相等的长方体，它们的表面积相等（ ）
一个长方体和一个正方体的棱长和相等，它们的表面积相等（ ）
两个棱长和相等的正方体，它们的表面积相等 （ ）
表面积相等的两个长方体，它们的棱长和相等 （ ）
表面积相等的一个长方体和一个正方体，它们的棱长和相等 （ ）
表面积相等的两个正方体，它们的棱长和也相等 （ ）
②下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ）
A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？
B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？
C：求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？
③一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。
【知识点2】长方体、正方体表面积求法的变形：
①一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面.
②贴商标类、通风管型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？
一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮
③游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？
做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？
一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？
一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？
④抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
⑤占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？
一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？
⑥一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。
一个长方体的长12厘米,高8厘米, 底面与左侧面的面积和为200平方厘米.求这个长方体的体积？
⑦一个长方体的表面积是66.16分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。求长方体的体积
⑧一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如右图， 从四个角上剪去
边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少
平方厘米？
【知识点3】棱长变化对棱长和、表面积、体积的影响：
必须习惯并熟悉字母替代数字后，去考虑棱长的变化对长方体、正方体棱长和、表面积、体积的影响！
①棱长变化对正方体的棱长和、表面积、体积的影响
★正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
★正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。
②棱长变化对长方体的棱长和、表面积、体积的影响
★长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8；
★长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
★长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍；
★长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律。
体积扩大a×b×c倍。
★长方体长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍
★长方体宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍
★长方体长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍
练习：
①大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。
②正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍．
③一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。
④正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。
⑤一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。
⑥一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。
⑦大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
⑧把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。
A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍
⑨判断：
一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ）
正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（ ）
有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ）
棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（ ）
【知识点4】表面积、体积与数论体系的结合
★ 唯一的偶质数是2，是帮助我们解决质数问题的一个非常好条件，请时刻想起。以下是利用数论的特性与先天不足，一些和数论有关系的公式，我们只需要最多通过0—9这10个数字便可推导出，例：
★ 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数
★ 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=奇数 偶数×偶数=偶数
例1．一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导航】
长方体的前面与上面的面积和是长×宽+长×高=长×（高+宽），由于长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17+2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。 ★为什么不写成209=19×11，若是这样，11是个质数，两个质数的和是奇数，其中必有一个偶质数，唯一的偶质数是2，那么另一个数是9，不是质数，不合题意要求。
长方体的体积：209=11×19=11×（17+2）=374 （立方厘米）
表面积：（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米）
练习：
①一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
②一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。
③用2100个棱长为1cm的正方体堆成一个长方体，它的高是1dm，且长大于宽大于高，这个长方体的
长为 ；宽为 .
三、长方体和正方体的表面积
静止非穿透型—不规则型、挖N块型、置放N块型
①不规则型几何体表面积、体积的求解：
【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】
（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，
左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），
右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），
整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
练习：
1.如图是一些棱长是1厘米的小正方体搭成的立体图形，
如果要在基础上拼搭成一个长方体（不可以移动原有的小正方体），
这个长方体的体积至少是 立方厘米，
还需用 个这样的小正方体．
2. 将若干个完全相同的正立方体黏合而成如右的立体图形，若其表面积为270平方公分，
则其体积= 立方公分．
②挖N块型：
★ 无论在哪里挖，原来体积－挖出的体积=新的几何体的体积
★小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化
①挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。
②挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。增大的面积为4-2=2个小正方体的面。
3 挖去的小正方体在面的位置，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。增大的面积=5-1=4个小正方体的面。
★再复杂的并着挖的情况根据图例实际进行讨论。
【例题1】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）
【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），
由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），
这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），
但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的
面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，
因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
【例题2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个
长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【思路导航】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，
新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600．
【例题3】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．
它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、
上面挖去的正方体）
【思路导航】原正方体的表面积是44696(平方厘米)．
每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了
5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．
总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：9646120平方厘米。
【例题4】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【思路导航】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50 ×50 ×6 ＝15000(平方厘米)。
【例题5】下图是最大的是一个棱长为2厘米的正方体，
在这个大正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米
的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长
为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法
和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的
表面积是多少平方厘米？
【思路导航】棱长为2厘米的大正方体的表面积为：
2×2×6=24（平方厘米）；下挖的棱长为1厘米的正方形小洞，
增加了四周4个面的面积=1144(平方厘米)，
下挖的棱长为厘米厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=41(平方厘米)，下挖的棱长为厘米的正方形小洞，增加了四周4个面的面积=4(平方厘米)，这个立体图形的总表面积为：24 41(平方厘米).
练习：
1. 一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，
被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2．有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，
在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），
求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
3． 右图是一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个
棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
4．在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的6个面（不触及棱、角），12条棱上，上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
5. 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，
分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，
表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
6.（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
4 置放型：
★ 无论在哪儿放，原来的体积﹢置放的体积﹦新的几何体的体积
★ 根据单一凹凸型的特性，放置一个，无论放哪里，新的几何体的表面积增加的是所置放小的几何体的四周面积。再复杂的，并着放置的情况根据图例实际进行讨论。
【例题1】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，
求这个立体图形的表面积．
【思路导航】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，
“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分
合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积
就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；
四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，
大正方体的四个侧面．上下方向：(平方分米)；
侧面：(平方分米)，(平方分米)．
这个立体图形的表面积为：(平方分米)．
【例题2】(2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、
厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，
则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【思路导航】（方法1）四个正方体的表面积之和为：
(平方厘米)，
重叠部分的面积为：
(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：(平方厘米)．
(方法2)三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米,
从左右两个面观察到的面积为平方厘米，
从上下能观察到的面积为平方厘米．
表面积为(平方厘米)．
【例题3】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，
按右图中的方式拼成一个立体图形.，
求这个立体图形的表面积．
【思路导航】从上下、左右、前后观察到的的平面图形
如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：
2个上面个左面个前面．上表面的面积为：9平方厘米，
左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．
因此，这个立体图形的总表面积为：(平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
练习：
1 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米
2
②有一个形状如右图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
③如图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，
它的表面积是多少平方厘米？
④有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，
然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．
★挖完再置放型：
如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如右图），
那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
【较难】一个由棱长为N厘米的小正方体，构成棱长M厘米的大正方体。然后分别在大正方体的其中一个顶点处取出了一个小正方体、在其中两条棱上分别取出一个小正方体、其中三个面上各取出一个小正方体（在面的相对靠近中间位置）。并且随后将这些小正方体呈“一字长蛇阵”摆放在大正方体的上表面。请计算大正方体最终的体积和表面积是多少？
四、长方体和正方体的表面积
静止穿透型——切割型、拼接型
1 立体图形的切割：(切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题)
正方体
对于正方体而言，无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，不存在增加最多最少的问题。增加的面积均为2a2 。
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
★1刀→增加 2 面→分成 2 段 ★2刀→增加 面→分成 段
★3刀→增加 面→分成 段 ★N刀→增加 面→分成 段
【例题1】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，
其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，
每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。
正方体有6个这样的面，所以，
原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
【例题2】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，
每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，
那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【思路导航】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数
的公式为：锯的总次数2增加的面数．
原正方体表面积：1166(平方米)，
一共锯了(21)(31)(41)6次，
6112618(平方米)．
【例题3】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体
如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的
和是 ．
【思路导航】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于
与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，
表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为．
【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，
沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，
每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．
那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米
练习：
①把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）
②用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是
（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。
③把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。
④用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。
⑤棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。
⑥一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加( )平方分米
⑦一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积
最多能增加多少平方厘米？
8 把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的
底面积是多少平方分米？
9 一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加( )平方厘米？
10 一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个
完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？
【较难】
如图所示，在棱长为3的正方体中，由上到下，由左到右，
由前到后的居中位置各钻一个洞，其洞口为一正方形，
面积为1且洞深为3．求所得几何体的总表面积．
②立体图形的拼接：（组合只会使表面积减少，因此也存在减少最多或最少的问题）
正方体 无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面。减少的面积均为2a2 。
长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
【例题1】例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？
【分析】要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，
根据规律应该选择第一种包装方式。
【例题2】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
【思路导航】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【巩固】123块边长为a厘米的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是 ？
【例题3】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？
①当 b2h时，如何打包？
②当 b2h时，如何打包？
③当 b2h时，如何打包？
【思路导航】图2和图3正面的面积相同，
侧面面积正面周长长方体长，
所以正面的周长愈大表面积越大，
图2的正面周长是8h6b，
图3的周长是12h4b.
两者的周长之差为2（b2h）.
当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，
显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，
砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
【例题5】用若干个棱长为1厘米的小正方体可以摆出一个长方体．如图：
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是 42平方厘米，第n个长方体的表面积是
4n+2平方厘米，如果摆成的长方体的表面是202平方厘米，那么这个长方体排在第 50个．
【思路导航】：棱长为1厘米的正方体的一个面的面积是1平方厘米，且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：
第一个长方体的表面积是：6个小正方体的面，可以写成1×4+2；
第二个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成2×4+2；
第三个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成3×4+2；…
则第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
【解答】：根据题意分析可得：
第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
小正方体的一个面的面积为：1×1=1（平方厘米）；所以
①当n=10时，长方体的表面积有：10×4+2=42，所以1×42=42（平方厘米）；
②第n个长方体的表面积为：1×（4n+2）=4n+2（平方厘米）；
③当（4n+2）×1=202时，解得：n=50（个）；
答：第10个长方体的表面积是42平方厘米，第n个长方体的表面积是4n+2平方厘米，如果摆成的长方体的表面是202平方厘米，那么这个长方体排在第50个．故答案为：42；4n+2；50．
练习：
1.把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ），比原来3个正方体表面积之和减少了（ ）。
2.把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ），体积是（ ）。
3.用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）
4.把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？
5.一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？
6.一种长方体积木，长3厘米，宽2.5厘米，高2厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？
7.用3个棱长5分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
8.有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。
9.用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
10.用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？
11.用3个棱长4分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
12.用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
四，长方体、正方体的体积和容积
【知识点1】容积与体积基本概念
体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积﹥容积。
★ 体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；
★ 表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。
★ 表面积相等的情况下，越是规整的几何体体积（容积越大）
当S球=S正=S长；那么V球>V正>V长；当V球=V正=V长；那么S球
判断：
1.体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （ ）
2.正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（ ）
3.表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等． （ ）
4.长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
5.表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）．
①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
6.将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）．
①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等．
7.用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。
【知识点2】单位换算
长度单位：mm、 cm、 dm、m 相邻两个单位进率为10
面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100
体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000
容积单位：mL、 L 相邻两个单位进率为1000
特别的：1ml=cm3 1L=1dm3 1方=1m
大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。
例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。
一个粉笔盒的体积约为1 dm 。 建一游泳池，约要挖土6000方。
1.36 dm =1360 cm 4.573m =4573 dm
一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm =5670cm
练习：
4.25立方米=( )立方分米=( )升 1.24立方米=( )升=( )毫升
3.06升=（ ）升（ ）毫升 4立方分米5立方厘米＝（ ）立方分米
2100毫升＝（ ）立方厘米＝（ ）立方分米 0.3升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米
一个水池能装水400立方米，这是指（ ），占地2公顷指的是（ ）。
一块橡皮擦的体积约是8( ) 一本书的封面约是2( )。
运货集装箱的体积约是40( ) 一台录音机的体积约是20( )。
【知识点2】体积大小的比较
对于液体可以直接比较体积大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。
★对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高和容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。
例如：有一个长为8分米，高位5分米，体积为240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4分米，高位4分米，宽为6.5分米，是否可以放入该容器？
分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积<硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。通过计算硬纸盒的长=8分米
宽=240÷（8×5）=6分米 高=5分米 陶瓷的长=7.4分米 宽=6.5分米 高=4分米
我们可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。
练习：
1.有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？
2.有一个长方体的硬纸盒，长为11分米，宽为15分米，高为6分米，现将一个长为12分米，宽为10分米，高为5分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？
【知识点3】切割组合对体积的影响
练习：
①一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？
②一个长方体，把它的高增加3厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了１２０平方厘米，求原来的体积是多少？
③一个长方体，把它的高减少５厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了２００平方厘米，求原来的体积是多少？
④一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了８０平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？
⑤一个棱长为１分米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑥把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑦把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？
⑧一个长方体木箱，从里面量长0.6米，宽0.4米，高0.2米，这个长方体木箱内能装（ ）个棱长2分米的正方体物体。
【知识点4】填土抬高地面类问题
【知识点5】计算不规则物体体积的方法
★它的实质是给出的公式：溢出水的体积=水的体积+铁块的体积-玻璃缸的容积
【例题1】 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
【例题2】 有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是
多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积：30×20×6=3600（立方厘米）。
当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状
是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除
以底面积就知道现在水的深度了。
【例题3】 有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。
练习：
1. 一个铁块体积500立方厘米，完全浸入棱长10厘米的正方体容器的水中．
①原来水深4厘米，现在水深几厘米？
②原来水深7厘米，溢出多少立方厘米的水？
2. 在底面边长是60厘米的正方形的一个长方体容器中，在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体
容器中，直立一根长1米，底面边长是15厘米的正方形四棱柱铁棍，这时容器水深为50厘米，现在把铁棍轻轻向上提起24厘米，露出水面的四棱柱浸湿部分长多少厘米？
3. 一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
4. 雨哗哗地不停地下着．如果在雨地
放一个如图1那样的长方体的容器
（单位：厘米），雨水将它灌满要用
1小时。雨水灌满图2、图3容器
各需多长时间？
5. 流动的水：有圆柱体、长方体和正方体玻璃容器连在一起，
容器下面用细管连接起来，水可以流动，并装有A、B两个阀门．
已知圆柱体底面积为25平方厘米，水深14厘米，
长方体底面积为15平方厘米，水深10厘米，
正方体底面积10平方厘米，无水．
★圆柱的体积公式为：底面积×高
（1）如果打开A阀，等水停止流动，此时长方体水深多少厘米？
（2）接着打开B阀，等水停止流动，此时正方体水深多少厘米？
【知识点6】等体积变形问题
练习：
把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽4分米，求这个长方体钢锭高多少分米？
五、长方体和正方体涂色问题
对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：
三面涂色的：8块 二面涂色的：（n－2）×12 一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6
没有颜色的：（n－2）×（n－2）×（n－2）
对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下：
三面涂色的：8块 二面涂色的：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4
一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2
没有颜色的：（a－2）×（b－2）×（c－2）
图1
图2
总结:三个面都染色的在8个顶点处，两个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的里面。
将四边形分成三组：两组对边都不平行的是任意四边形，有一组对边平行，另外一组对边不平行的是梯形；两组对边分别平行的是平行四边形。
对于梯形分组来说，两腰相等是等腰梯形，有一个角是直角叫直角梯形。对于平行四边形分组来说，有一个角是直角的变成了矩形，有一组临边相等的是菱形；最后当拥有了直角后，再增加上一组临边相等；当拥有了一组临边相等后，再增加上有一个角是直角，最终，长方形和菱形都变成了正方形。
提问：
1.长方体中的12条棱如何分组
2.长方体最少有4个面是长方形
3.半特殊化长方体对其所属的正方形的面有什么位置要求
4.若想构成半特殊化长方体,对棱的数量和位置上有什么要求
5.相邻不相对、相对不相邻。你是如何理解这句话在长方体上的表现？
30㎝
20cm
20cm
30m
6m
50m
2厘米
高级单位
进率×高级单位的数
低级单位
低级单位的数÷进率
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；
在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面的面有1个；
用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。
练习：
图一中，长方体共有（ ）个小正方体；
其中两个面露在外面的小正方体共有（ ）个；
没有露在外面的小正方体共有（ ）个。
图二中三个图依次有（ ）、（ ）、（ ）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面的正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）。
例如：在该正方体表面涂上漆，
有三个面涂上漆的小正方体有几个？
有两个面图上漆的小正方体有几个？
有一个面涂上漆的小正方体有几个？
没有涂上漆的小正方体有几个？
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