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2.3.1 两条直线的交点坐标
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 两条直线的交点坐标
已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).
(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系 代数表示
点P P(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
点P在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是P 方程组的解是
(2)两条直线的交点
一般地,将两条直线的方程联立,得方程组
若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;
若方程组无数组解,则两条直线无公共点,此时两条直线重合;
若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.
注意点:
①判断两直线位置关系的方法,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0,即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.
②虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
(3)过定点的直线系方程
①平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).
②垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.
③过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
习题精练 基础落实 题题到位
一、 选择题
1. (2022·西安高二检测)直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )
A. (2,2) B. (2,-2) C. (-2,2) D. (-2,-2)
答案:C
解析:解方程组得∴交点坐标为(-2,2).
2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
答案:C
解析:在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将代入x-ky+12=0,解得k=±6.
3.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.(2,+∞)
答案:C
解析:解出两直线的交点坐标为.由交点在第二象限,得解得 m∈.
4.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线方程是( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0
答案:A
解析:首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.
5.当a取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一定点,则这个定点是( )
A. (2,3) B. (-2,3) C. D. (-2,0)
答案:B
解析:直线化为a(x+2)-x-y+1=0.由得所以直线过定点(-2,3).
6.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为( )
A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3
答案:B
解析:由方程组得交点B(1,2),代入方程ax+by-11=0中,有a+2b-11=0①,又直线ax+by-11=0平行于直线3x+4y-2=0,所以-=-②,≠③.由①②③,得a=3,b=4.
7.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足C (A∩B)的集合C的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:A∩B=={(1,2)},则集合C是{(1,2)}的子集. 又因为集合 {(1,2)}的子集有 ,{(1,2)},共2个,所以集合C有2个 .
8.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°} C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
答案:C
解析:由题可知k≠-1,联立解得x=,y=,∴两直线的交点坐标为.∵两直线的交点在第一象限,∴解得k>.又直线l的倾斜角为θ,则tan θ>,∴30°<θ<90°.
9.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为( )
A.y=2x+4 B.y=x-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
答案:C
解析:设B关于直线y=x+1的对称点B′(x,y),则即解得即B′(1,0).又B′在直线AC上,则直线AC的方程为=,即x-2y-1=0.
10.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为( )
A. B. C.- D.-
答案:D
解析:设直线l与直线y=1的交点为A(x1,1),直线l与直线x-y-7=0的交点为B(x2,y2),因为M(1,-1)为AB的中点,所以-1=即y2=-3,代入直线x-y-7=0得x2=4,因为点B,M都在直线l上,所以kl==-.故选D
二、填空题
11.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.
答案:4x+3y-6=0
解析:由方程组得即P(0,2).因为l⊥l3,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.
12.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
答案:2
解析:解方程组得代入直线方程y=3x+b,得b=2.
13.已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,则a的取值范围为______________.
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析:如图所示,
直线l:ax-y-2=0经过定点D(0,-2),a表示直线l的斜率,设线段AB与y轴交于点C,由图形知,当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段CB上时,a大于或等于DB的斜率,即a≥=1,即a≥1.当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段AC上时,a小于或等于DA的斜率,即a≤=-3,即a≤-3.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
14.点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是________.
答案: (-4,-1)
解析:设对称点的坐标为(x0,y0),则解得所以所求对称点的坐标为(-4,-1).
15.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是________.
答案:
解析:由距离公式得==,∴最小值为=.三、解答题
16.求经过直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且垂直于直线2x-y+7=0的直线方程.
解:由方程组解得所以交点坐标为.
又因为直线斜率为k=-,所以所求直线方程为y+=×,
即27x+54y+37=0.
17.若两条直线l1:y=kx+2k+1和l2:x+2y-4=0的交点在第四象限,求k的取值范围.
解:联立两直线的方程解得
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限,∴
解得即-则k的取值范围为.
18.如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
解:设B(x0,y0),则AB的中点E的坐标为,
由条件可得得解得即B(6,4).
同理可求得C点的坐标为(5,0).
故所求直线BC的方程为=,
即4x-y-20=0.
19.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
解:如图建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20).
所以线段EF的方程是+=1(0≤x≤30).
在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,作PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因为+=1(0≤m≤30),所以n=20,
所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30).
于是当m=5时,S有最大值.
这时==.
故当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且=5时,草坪的面积最 大.
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知识点 两条直线的交点坐标
已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).
(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系 代数表示
点P P(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
点P在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是P 方程组的解是
(2)两条直线的交点
一般地,将两条直线的方程联立,得方程组
若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;
若方程组无数组解,则两条直线无公共点,此时两条直线重合;
若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.
注意点:
①判断两直线位置关系的方法,关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0,即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.
②虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
(3)过定点的直线系方程
①平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).
②垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.
③过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
习题精练 基础落实 题题到位
一、 选择题
1. (2022·西安高二检测)直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )
A. (2,2) B. (2,-2) C. (-2,2) D. (-2,-2)
2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( )
A.-24 B.6 C.±6 D.24
3.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.(2,+∞)
4.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线x-2y=0的直线方程是( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0
5.当a取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一定点,则这个定点是( )
A. (2,3) B. (-2,3) C. D. (-2,0)
6.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为( )
A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3
7.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足C (A∩B)的集合C的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°} C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
9.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为( )
A.y=2x+4 B.y=x-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
10.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为( )
A. B. C.- D.-
二、填空题
11.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.
12.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
13.已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,则a的取值范围为______________.
14.点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是________.
15.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是________.
三、解答题
16.求经过直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且垂直于直线2x-y+7=0的直线方程.
17.若两条直线l1:y=kx+2k+1和l2:x+2y-4=0的交点在第四象限,求k的取值范围.
18.如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
19.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
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