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2.3.1 两条直线的交点坐标
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 两条直线的交点坐标
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).
(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系 代数表示
点P P(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
点P在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是P 方程组的解是
(2)两条直线的交点
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无数组解，则两条直线无公共点，此时两条直线重合；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
注意点：
①判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
②虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
(3)过定点的直线系方程
①平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
②垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
③过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
习题精练 基础落实 题题到位
一、 选择题
1. (2022·西安高二检测)直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点坐标是( )
A. (2，2) B. (2，－2) C. (－2，2) D. (－2，－2)
答案：C
解析：解方程组得∴交点坐标为(－2，2)．
2.两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A.－24 B.6 C.±6 D.24
答案：C
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
3.若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.(2，＋∞)
答案：C
解析：解出两直线的交点坐标为.由交点在第二象限，得解得 m∈.
4.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
答案：A
解析：首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
5.当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )
A. (2，3) B. (－2，3) C. D. (－2，0)
答案：B
解析：直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.由得所以直线过定点(－2，3)．
6.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A.－3，－4 B.3，4 C.4，3 D.－4，－3
答案：B
解析：由方程组得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0①，又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－②，≠③.由①②③，得a＝3，b＝4.
7.设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足C (A∩B)的集合C的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：A∩B＝＝{(1,2)}，则集合C是{(1，2)}的子集. 又因为集合 {(1，2)}的子集有 ，{(1，2)}，共2个，所以集合C有2个 .
8.若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°} C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
答案：C
解析：由题可知k≠－1，联立解得x＝，y＝，∴两直线的交点坐标为.∵两直线的交点在第一象限，∴解得k>.又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>，∴30°<θ<90°.
9.已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为( )
A.y＝2x＋4 B.y＝x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0
答案：C
解析：设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)，则即解得即B′(1，0)．又B′在直线AC上，则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0.
10.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B. C.－ D.－
答案：D
解析：设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－．故选D
二、填空题
11.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
答案：4x＋3y－6＝0
解析：由方程组得即P(0,2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
12.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
答案：2
解析：解方程组得代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.
13.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________．
答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1.当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
14.点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
答案： (－4，－1)
解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，则解得所以所求对称点的坐标为(－4，－1).
15.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
答案：
解析：由距离公式得＝＝，∴最小值为＝.三、解答题
16.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．
解：由方程组解得所以交点坐标为.
又因为直线斜率为k＝－，所以所求直线方程为y＋＝×，
即27x＋54y＋37＝0.
17.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
解：联立两直线的方程解得
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴
解得即－则k的取值范围为.
18.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
解：设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，
由条件可得得解得即B(6,4)．
同理可求得C点的坐标为(5，0)．
故所求直线BC的方程为＝，
即4x－y－20＝0.
19.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20).
所以线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30).
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，作PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n).
又因为＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20，
所以S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30).
于是当m＝5时，S有最大值.
这时＝＝.
故当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且＝5时，草坪的面积最 大.
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知识点 两条直线的交点坐标
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).
(1)基本知识——点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系 代数表示
点P P(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
点P在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是P 方程组的解是
(2)两条直线的交点
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无数组解，则两条直线无公共点，此时两条直线重合；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
注意点：
①判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
②虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
(3)过定点的直线系方程
①平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
②垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
③过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
习题精练 基础落实 题题到位
一、 选择题
1. (2022·西安高二检测)直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点坐标是( )
A. (2，2) B. (2，－2) C. (－2，2) D. (－2，－2)
2.两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A.－24 B.6 C.±6 D.24
3.若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.(2，＋∞)
4.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
5.当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )
A. (2，3) B. (－2，3) C. D. (－2，0)
6.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A.－3，－4 B.3，4 C.4，3 D.－4，－3
7.设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足C (A∩B)的集合C的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°} C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
9.已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为( )
A.y＝2x＋4 B.y＝x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0
10.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B. C.－ D.－
二、填空题
11.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
12.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
13.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________．
14.点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
15.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
三、解答题
16.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．
17.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
18.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
19.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
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