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2.3.2 两点间的距离公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 两点间的距离公式
1.两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
注意点：
当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．已知M(2，1)，N(－1，5) ，则|MN|等于( )
A．5 B. C. D．4
答案：A
解析：|MN|＝＝5.
2．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0
答案：C
解析：由两点间的距离公式得＝1.
3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )
A．4 B．4 C．2 D．2
答案：B
解析：∵P(1，1)，Q(5，5)，∴|PQ|＝＝4.
4．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，∴三角形为等腰三角形. 故选B.
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，
由两点间的距离公式，得|AB|＝.
6．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋
答案：C
解析：由两点间距离公式得|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|CA|＝＝3.故△ABC的周长为6＋3.
7．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2 B．3 C． D．
答案：C
解析：由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝.
8．已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
答案：B
解析：设到A、B距离相等的点P(x，y)，则由|PA|＝|PB|得，4x－2y＝5．
9．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1，0) B．(1，0) C． D．
答案：B
解析：如图所示，A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M坐标为(1，0)．
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
答案：A
解析：由已知得A(－1，0)，P(2，3)，由|PA|＝|PB|，得B(5，0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．
二、填空题
11．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
答案：2
解析：设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即 A(4，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.
12．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
答案：
解析：由距离公式得＝＝，∴最小值为＝.
13．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
答案：
解析：由题意知解得∴d＝＝．
14．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
答案：(2，10)或(－10，10)
解析：设M(x，y)，则|y|＝＝10．解得或．
15．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为________．
答案：2
解析：|BD|＝|BC|＝2，|AD|＝＝2．在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．
三、解答题
16．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.
解：设直线l的方程为y＝6x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
所以直线l与x轴，y轴的交点分别为，(0，b).
这两点间的距离为＝＝|b|.
由题意，得|b|＝.所以b＝±6.
所以所求直线l的方程为y＝6x＋6或y＝6x－6，
即6x－y＋6＝0或6x－y－6＝0.
17．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
解：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，
令y＝0，有x＝，则A，
令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，
∵线段AB的中点到原点的距离为，
∴＝，解得a＝±2.
18．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组得即B.
由|AB|＝＝5，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
19．已知两点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P，
(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使|PA|－|PB|最大.
解：(1) 如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).
则有解得
由两点式求得直线A′B的方程为y＝(x－4)＋1，由平面几何知识可知，当点P为直线 A′B与直线l的交点时，|PA|＋|PB|最小，此时|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|，若P不在 此点时，|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＞|A′B|，即直线A′B与l的交点为P.
(2)由两点式求得直线AB的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0.由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，|PA|－|PB|最大，此时|PA|－|PB|＝|AB|.
直线AB与l的交点为所求点P(8，－3).
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1.两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
注意点：
当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．已知M(2，1)，N(－1，5) ，则|MN|等于( )
A．5 B. C. D．4
2．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0
3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )
A．4 B．4 C．2 D．2
4．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A． B． C． D．
6．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋
7．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2 B．3 C． D．
8．已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
9．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1，0) B．(1，0) C． D．
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、填空题
11．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
12．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.
13．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
14．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
15．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为________．
三、解答题
16．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.
17．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
18．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
19．已知两点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P，
(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使|PA|－|PB|最大.
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