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2.3.2 两点间的距离公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 两点间的距离公式
1.两点间的距离
平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=.
注意点:
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距离公式可得|P1P2|==|x2-x1|,或|P1P2|=|y2-y1|.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.
(2)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
注意点:
当两点A(x1,y1),B(x2,y2)都在x轴上时,|AB|=|x1-x2|;当两点都在y轴上时,|AB|=|y1-y2|.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知M(2,1),N(-1,5) ,则|MN|等于( )
A.5 B. C. D.4
答案:A
解析:|MN|==5.
2.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是( )
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0 C.=1 D.=0
答案:C
解析:由两点间的距离公式得=1.
3.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于( )
A.4 B.4 C.2 D.2
答案:B
解析:∵P(1,1),Q(5,5),∴|PQ|==4.
4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案:B
解析:∵|AB|=,|AC|=,|BC|=3,∴三角形为等腰三角形. 故选B.
5.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B,
由两点间的距离公式,得|AB|=.
6.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( )
A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+
答案:C
解析:由两点间距离公式得|AB|==3,|BC|==3,|CA|==3.故△ABC的周长为6+3.
7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是( )
A.2 B.3 C. D.
答案:C
解析:由中点坐标公式可得,BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|==.
8.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5
答案:B
解析:设到A、B距离相等的点P(x,y),则由|PA|=|PB|得,4x-2y=5.
9.已知A(-3,8),B(2,2),在x轴上有一点M,使得|MA|+|MB|最短,则点M的坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0) C. D.
答案:B
解析:如图所示,A关于x轴对称点为A′(-3,-8),则A′B与x轴的交点即为M,求得M坐标为(1,0).
10.设A,B是x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
答案:A
解析:由已知得A(-1,0),P(2,3),由|PA|=|PB|,得B(5,0),由两点式得直线PB的方程为x+y-5=0.
二、填空题
11.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|=________.
答案:2
解析:设A(x,0),B(0,y),∵AB中点P(2,-1),∴=2,=-1,∴x=4,y=-2,即 A(4,0),B(0,-2),∴|AB|==2.
12.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是________.
答案:
解析:由距离公式得==,∴最小值为=.
13.已知点A(x,5)关于点C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是________.
答案:
解析:由题意知解得∴d==.
14.点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为______________.
答案:(2,10)或(-10,10)
解析:设M(x,y),则|y|==10.解得或.
15.等腰△ABC的顶点是A(3,0),底边长|BC|=4,BC边的中点是D(5,4),则此三角形的腰长为________.
答案:2
解析:|BD|=|BC|=2,|AD|==2.在Rt△ADB中,由勾股定理得腰长|AB|==2.
三、解答题
16.已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.
解:设直线l的方程为y=6x+b.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=-.
所以直线l与x轴,y轴的交点分别为,(0,b).
这两点间的距离为==|b|.
由题意,得|b|=.所以b=±6.
所以所求直线l的方程为y=6x+6或y=6x-6,
即6x-y+6=0或6x-y-6=0.
17.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
解:由题易知a≠0,直线ax+2y-1=0中,
令y=0,有x=,则A,
令x=0,有y=,则B,故AB的中点为,
∵线段AB的中点到原点的距离为,
∴=,解得a=±2.
18.已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.
解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-1),
解方程组得即B.
由|AB|==5,解得k=-,
所以直线l的方程为y+1=-(x-1),
即3x+4y+1=0.
当过A点的直线的斜率不存在时,方程为x=1.
此时,与l1的交点为(1,4),也满足题意.
综上所述,直线l的方程为3x+4y+1=0或x=1.
19.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P,
(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使|PA|-|PB|最大.
解:(1) 如图,可判断A,B在直线l的同侧,设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1,y1).
则有解得
由两点式求得直线A′B的方程为y=(x-4)+1,由平面几何知识可知,当点P为直线 A′B与直线l的交点时,|PA|+|PB|最小,此时|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|=|A′B|,若P不在 此点时,|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|>|A′B|,即直线A′B与l的交点为P.
(2)由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.由平面几何知识可知,当点P为直线AB与l的交点时,|PA|-|PB|最大,此时|PA|-|PB|=|AB|.
直线AB与l的交点为所求点P(8,-3).
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知识点 两点间的距离公式
1.两点间的距离
平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=.
注意点:
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由两点间的距离公式可得|P1P2|==|x2-x1|,或|P1P2|=|y2-y1|.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.
(2)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
注意点:
当两点A(x1,y1),B(x2,y2)都在x轴上时,|AB|=|x1-x2|;当两点都在y轴上时,|AB|=|y1-y2|.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知M(2,1),N(-1,5) ,则|MN|等于( )
A.5 B. C. D.4
2.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是( )
A.x2-y2=1 B.x2+y2=0 C.=1 D.=0
3.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于( )
A.4 B.4 C.2 D.2
4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
6.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( )
A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+
7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是( )
A.2 B.3 C. D.
8.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5
9.已知A(-3,8),B(2,2),在x轴上有一点M,使得|MA|+|MB|最短,则点M的坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0) C. D.
10.设A,B是x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
二、填空题
11.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|=________.
12.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是________.
13.已知点A(x,5)关于点C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是________.
14.点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为______________.
15.等腰△ABC的顶点是A(3,0),底边长|BC|=4,BC边的中点是D(5,4),则此三角形的腰长为________.
三、解答题
16.已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.
17.已知直线ax+2y-1=0和x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值.
18.已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.
19.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P,
(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使|PA|-|PB|最大.
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2.3.2 两点间的距离公式 1/1