安徽省皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期9月开学考数学试题（含解析）

皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期9月开学考
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.某学校有教职工x人，其中高一教师120人，高二教师120人，教学服务岗30人，其余为高三教师，现召开教职工代表大会，需要按比例用分层随机抽样的方法从中抽取28人，其中抽取高三教师10人，则（ ）
A.420 B.450 C.480 D.510
3.已知函数.若，则（ ）
A.5 B.-7 C.5或-7 D.6
4.已知正数a，b满足，则（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
5.如图，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.甲、乙要从“政治”“地理”“化学”“生物”中选出2门作为自己的再选科目.已知甲同学确定选择政治，乙同学确定选择化学，他们另一门都随机选择，则他们恰有一门相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）
A.24 B.25 C.27 D.28
8.已知函数若函数有四个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A.与z的模相等 B.与z的实部相等
C.z是方程的一个复数根 D.
10.已知一组不完全相同的数据的平均数为，方差为，中位数为m，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，中位数为，则下列判断一定正确的为（ ）
A. B. C. D.
11.函数在区间上的大致图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知正方体，的棱长为2，E为的中点，平面过B，，E三点，则（ ）
A.与平面平行 B.平面与平面垂直
C.平面截正方体所得截面面积为 D.正方体的顶点到平面的距离最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数是纯虚数，则实数a的值为___________.
14.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则的概率为_________.
15.先将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度后得到函数的图象，则___________.
16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量，.
（Ⅰ）若，求实数m的值；
（Ⅱ）若向量与共线且，求的坐标.
18.（12分）
如图，在三棱锥中，，，O，M分别为，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
19.（12分）
心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部不适为主要表现的临床综合征.在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图.
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）
（Ⅲ）估计这组数据的第55百分位数.
20.（12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且，求.
21.（12分）
如图，在四棱锥中，底面，且，，，，M为棱上一点.
（Ⅰ）若，证明：M为的中点；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
22.（12分）
已知函数，.
（Ⅰ）若的定义域为，值域为R，求a的值；
（Ⅱ）若，且对任意的，当时，总满足，求a的取值范围.
皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期9月开学考
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案B
命题意图 本题考查集合的表示与运算
解析 ，则.
2.答案A
命题意图 本题考查分层随机抽样的应用.
解析 由题意可得，解得.
3.答案C
命题意图 本题考查函数的概念.
解析 令，解得或-4，所以或-7.
4.答案D
命题意图 本题考查指数和对数的运算性质.
解析 由已知得，所以，所以，所以.
5.答案C
命题意图 本题考查圆锥和球的结构特征.
解析 设球的半径为R，则由题意可得球与圆锥的母线相切，所以球心到母线的距离等于球的半径，得，得，所以球的表面积为.
6.答案A
命题意图 本题考查古典概型的概率计算.
解析 按照他们选择另一门的情况，一共有种不同的结果.因为两人恰有一门相同，若甲选了地理，则乙可以选择政治或地理；若甲选了化学，则乙可以选地理或生物；若甲选了生物，则乙可以选政治或生物，所以满足条件的情况有6种.所以他们恰有一门相同的概率为.
7.答案D
命题意图 本题考查解三角形.
解析 易知的外接圆半径.由可得，所以，，，所以.
8.答案A
命题意图 本题考查分段函数与复合函数的综合问题.
解析 画出的函数图象如图，令，要使有四个零点，则关于t的方程有两个不等实根，且两个根都大于等于4，所以，解得.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.答案ACD
命题意图 本题考查复数的概念和基本运算.
解析 ，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C正确；，又因为，所以，故D正确.
10.答案AC
命题意图 本题考查平均数、方差、中位数的性质.
解析 记这组数据为，选项A显然正确；，，所以，故B错误，C正确；由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误.
11.答案ABD
命题意图 本题考查函数的性质与图象.
解析 A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数，为偶函数，则，当时，，符合A项，当时，，符合B项.C，D中函数图象关于y轴对称，则对应的为偶函数，为奇函数，则，此时，当时，，故D正确，C错误.
12.答案BC
命题意图 本题考查空间中的位置关系.
解析 如图所示，与平面相交，因为，所以与平面不可能平行，A错误；易证平面，而平面，故平面与平面垂直，B正确；平面截正方体所得截面为等腰梯形，其中F是的中点，，，在矩形中计算得梯形的高，所以梯形的面积为，C正确；正方体的顶点中，D到平面的距离最大，这个距离可以转化为D到直线的距离，同样可以在矩形中计算得最大距离为2，D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案-2
命题意图 本题考查复数的有关概念及运算.
解析 是纯虚数，所以，即.
14.答案
命题意图 本题考查古典概型的概率计算.
解析 基本事件有36个，满足，即的基本事件有，，，共3个，所以所求概率为.
15.答案1
命题意图 本题考查三角函数的图象变换.
解析 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，得到的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，将所得图象向上平移1个单位长度得到的图象，所以.
16.答案2
命题意图 本题考查平面向量的几何应用.
解析 由得，又因为点M为的中点，所以，所以，过A作的平行线交于点Q，当点P与点Q重合时，的值最大.因为点M为的中点，且，所以点D为的中点，此时，所以的最大值为2.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.命题意图 本题考查向量的坐标表示及向量共线的定义.
解析 （Ⅰ）由题可知，
.………………………………………………………………（2分）
∵，∴，
∴，………………………………………………………………（3分）
即，
解得或.…………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）设.
.…………………………………………………………（6分）
∵，∴.
又，∴，即.………………………………………………（8分）
联立可得解得，或.
∴或.…………………………………………………………………………（10分）
18.命题意图 本题考查线面平行的证明以及棱锥体积的计算.
解析 （Ⅰ）因为O，M分别为，的中点，
所以，………………………………………………………………………………（2分）
又平面，平面，所以平面.………………………………（4分）
（Ⅱ）由题知是等边三角形，O为的中点，
所以，且.………………………………………………………………（7分）
由题可知为等腰直角三角形，.
又因为，所以，所以.…………………………（8分）
又因为，所以平面，
所以三棱锥的高为，………………………………………………………………（10分）
其体积为.………………………………………………………………（12分）
19.命题意图 本题考查频率分布直方图的概念，平均数和百分位数的计算.
解析 （Ⅰ）根据直方图，，
解得.……………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）估计这组数据的平均数约为
.……………………（8分）
（Ⅲ）前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
所以第55百分位数位于区间内，………………………………………………………（10分）
估计这组数据的第55百分位数约为.………………………………（12分）
20.命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用.
解析 （Ⅰ）因为，所以，……………………………………（1分）
由正弦定理可得，………………………………………………（3分）
由余弦定理可得，………………………………………………（4分）
整理得.………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由得D为的中点，所以，………………………………（6分）
所以.
又，
所以.…………………………………………………………（8分）
因为，由（Ⅰ）的解题过程可知，
所以，即，………………………………………………（10分）
解得（负值舍去），所以由正弦定理可得.………………（12分）
21.命题意图 本题考查空间位置关系的证明，以及线面角的计算.
解析 （Ⅰ）如图，连接.
因为平面，平面，所以.…………………………（1分）
由条件可知四边形是直角梯形，
可得，，
所以，所以.……………………………………………………（2分）
又因为，所以平面，……………………………………………………（3分）
因为平面，所以.
又因为，，所以平面，…………………………………………（4分）
所以，……………………………………………………………………………………（5分）
又因为，所以M为的中点.……………………………………………………（6分）
（Ⅱ）过点B作垂直于的延长线，垂足为Q，
因为平面，平面，所以，
又因为，且，所以平面.
所以即为直线与平面所成的角.………………………………………（8分）
易得，
在中，，，所以.………………………………………（9分）
在中，得.…………………………………………（11分）
所以与平面所成角的正弦值为.…………………………………………（12分）
22.命题意图 本题考查函数的有关概念和综合问题.
解析 （Ⅰ）因为的定义域为，
所以对任意，恒成立，即恒成立，
因为，所以.…………………………………………………………（3分）
的取值范围是，
因为的值域为R，所以，
所以.………………………………………………………………………………（5分）
综上可知，.………………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）易知函数在上为减函数……………………（7分）
当时，满足，
则，
所以，即对任意的恒成立……………………（9分）
设，.
易知函数在上单调递增，
所以，………………………………………………………………（11分）
所以，即a的取值范围是.……………………………………………………………………（12分）