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2.3.3点到直线的距离公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 点到直线的距离
1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.
2.公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B. C．1 D.
答案：B
解析：点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B.
2．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
答案：B
解析：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.选B.
3．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B. C．3 D．0或
答案：D
解析：点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.
4．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是( )
A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0
答案：A
解析：设点P的坐标为(x，y)，则根据题意得＝，整理得32x－56y＋65＝0或 7x＋4y＝0. 选A.
5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5. 选C.
6．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
答案：C
解析：直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.
7．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A.[0,10] B. C.(0,10) D.(－∞，0]∪[10，＋∞)
答案：A
解析：d＝＝≤3，|3a－15|≤15，∴－15≤3a－15≤15,0≤a≤10.
8．已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：A
解析：设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则 这个三角形中AB边上的高h满足方程 ×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得 ＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不 相等的实数根，故这样的点C有4个 .
9．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1，2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3)
答案：AC
解析：设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意得＝，解得a＝1或2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1)．
10．(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是 B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l的距离是2 D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
答案：CD
解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝0，故D正确.
二、填空题
11．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点的距离为5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
12．(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
答案：[0，10]
解析：由题意得，点P到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10].
13．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________.
答案：(－1,0)或
解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，利用 点到直线的距离公式可求得 x＝－1或 x＝.
14．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.
答案：x＝2或4x－3y－5＝0
解析：法一 两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，此时A到直线l的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由点到线的距离公式得d＝＝3，解得k＝，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，解得λ＝2或λ＝.所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
15．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为______.
答案：
解析：方法一 ∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M (x，y)到一个定点N(1,1)距离的平方.即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方.∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.
方法二 ∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，∴S＝＝＝ ，∴x＝－时，Smin＝＝.
三、解答题
16．已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
17．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，
即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，则d＝＝.
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
18．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程．
解：当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0，由已知得＝，
整理得7k2－6k－1＝0，解得k＝－或k＝1，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
由题意得＝，整理得|a－4|＝2，解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
19.当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？
解：设l1与l2的交点为M，则由解得M .
设M到l3的距离为d，则d＝＝.
故当m＝－时，距离最短，且dmin＝.
20．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．
解：(1)联立解得
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
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2.3.3点到直线的距离公式
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1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.
2.公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B. C．1 D.
2．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
3．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B. C．3 D．0或
4．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是( )
A.32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0 B.x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0
5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
7．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A.[0,10] B. C.(0,10) D.(－∞，0]∪[10，＋∞)
8．已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1，2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3)
10．(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是 B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l的距离是2 D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
二、填空题
11．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
12．(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
13．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________.
14．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.
15．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为______.
三、解答题
16．已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
17．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
18．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程．
19.当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？
20．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．
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2.3.3 点到直线的距离公式 1/1
