高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习(含解析)

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名称 高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习(含解析)
格式 zip
文件大小 302.1KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-07 20:48:43

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.3点到直线的距离公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 点到直线的距离
1.概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
注意点:
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式;
(2)分子含有绝对值;
(3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是(  )
A.3 B. C.1 D.
答案:B
解析:点P(1,-1)到直线l的距离d==,选B.
2.(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(  )
A.1 B. C. D.2
答案:B
解析:设点A(0,-1),直线l:y=k(x+1),由l恒过定点B(-1,0),当AB⊥l时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为.选B.
3.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=(  )
A.0 B. C.3 D.0或
答案:D
解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=,选D.
4.若点P到直线5x-12y+13=0和直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P的坐标应满足的方程是(  )
A.32x-56y+65=0或7x+4y=0 B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0
C.7x+4y=0 D.x-4y+4=0
答案:A
解析:设点P的坐标为(x,y),则根据题意得=,整理得32x-56y+65=0或 7x+4y=0. 选A.
5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:C
解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|= =2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5. 选C.
6.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为(  )
A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
答案:C
解析:直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,整理得|t|=1,所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为(2,4);当t=-1时,点P的坐标为(0,-2),故选C.
7.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是(  )
A.[0,10] B. C.(0,10) D.(-∞,0]∪[10,+∞)
答案:A
解析:d==≤3,|3a-15|≤15,∴-15≤3a-15≤15,0≤a≤10.
8.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:A
解析:设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0,|AB|=2.由于△ABC的面积为2,则 这个三角形中AB边上的高h满足方程 ×2h=2,即h=.由点到直线的距离公式,得 =,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不 相等的实数根,故这样的点C有4个 .
9.(多选)已知点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(  )
A.(1,2) B.(3,-4) C.(2,-1) D.(4,-3)
答案:AC
解析:设点P的坐标为(a,5-3a),由题意得=,解得a=1或2,所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
10.(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(  )
A.直线l的倾斜角是 B.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m
C.点(,0)到直线l的距离是2 D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0
答案:CD
解析:对于A,直线l:x-y+1=0的斜率k=tan θ=,故直线l的倾斜角是,故A错误;对于B,因为直线m:x-y+1=0的斜率k′=,kk′=1≠-1,故直线l与直线m不垂直,故B错误;对于C,点(,0)到直线l的距离d==2,故C正确;对于D,过(2,2)与直线l平行的直线方程是y-2=(x-2),整理得:x-y-4=0,故D正确.
二、填空题
11.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线方程为________________.
答案:x-y+10=0或x-y-10=0
解析:因为直线斜率为tan 60°=,可设直线方程为y=x+b,化为一般式得x-y+b=0.由直线与原点的距离为5,得=5 |b|=10.所以b=±10.所以直线方程为x-y+10=0或x-y-10=0.
12.(2022·湖州调研)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.
答案:[0,10]
解析:由题意得,点P到直线的距离为=.又≤3,即|15-3a|≤15,解得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].
13.已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标为________.
答案:(-1,0)或
解析:由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x+3),利用 点到直线的距离公式可求得 x=-1或 x=.
14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,若点A(5,0)到直线l的距离为3,则l的方程为________.
答案:x=2或4x-3y-5=0
解析:法一 两直线交点为(2,1),当斜率不存在时,所求直线方程为x-2=0,此时A到直线l的距离为3,符合题意;当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+(1-2k)=0.由点到线的距离公式得d==3,解得k=,故所求直线方程为4x-3y-5=0.综上知,所求直线方程为x-2=0或4x-3y-5=0.
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以=3,解得λ=2或λ=.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
15.若实数x,y满足关系式x+y+1=0,则式子S=的最小值为______.
答案:
解析:方法一 ∵x2+y2-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2,∴上式可看成是一个动点M (x,y)到一个定点N(1,1)距离的平方.即为点N与直线l:x+y+1=0上任意一点M(x,y)距离的平方.∴S=|MN|的最小值应为点N到直线l的距离,即|MN|min=d==.
方法二 ∵x+y+1=0,∴y=-x-1,∴S=== ,∴x=-时,Smin==.
三、解答题
16.已知点P(2,-1),求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
解:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,
由点到直线的距离公式得=2,解得k=,
所以直线l的方程为3x-4y-10=0.
故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
17.已知△ABC三个顶点的坐标A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.
解:由直线方程的两点式得直线BC的方程为=,
即x-2y+3=0.
由两点间距离公式得|BC|==2,
点A到BC的距离为d,即为BC边上的高,则d==.
所以S=|BC|·d=×2×=4,
即△ABC的面积为4.
18.已知某直线在两坐标轴上的截距相等,且点A(3,1)到该直线的距离为,求该直线的方程.
解:当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0,
即直线过原点时,设直线的方程为y=kx,
即kx-y=0,由已知得=,
整理得7k2-6k-1=0,解得k=-或k=1,
所以所求直线的方程为x+7y=0或x-y=0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时,
设直线的方程为x+y=a,
由题意得=,整理得|a-4|=2,解得a=6或a=2,
所以所求直线的方程为x+y-6=0或x+y-2=0.
综上所述,所求直线方程为x+7y=0或x-y=0或x+y-6=0或x+y-2=0.
19.当m取何值时,直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3:4x-3y-12=0的距离最短?这个最短距离是多少?
解:设l1与l2的交点为M,则由解得M .
设M到l3的距离为d,则d==.
故当m=-时,距离最短,且dmin=.
20.已知直线m:(a-1)x+(2a+3)y-a+6=0,n:x-2y+3=0.
(1)当a=0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系.
解:(1)联立解得
即m与n的交点为(-21,-9).
当直线l过原点时,直线l的方程为3x-7y=0;
当直线l不过原点时,设l的方程为+=1,
将(-21,-9)代入得b=-12,
所以直线l的方程为x-y+12=0,
故满足条件的直线l的方程为3x-7y=0或x-y+12=0.
(2)设原点O到直线m的距离为d,则d==,
解得a=-或a=-,
当a=-时,直线m的方程为x-2y-5=0,此时m∥n;
当a=-时,直线m的方程为2x+y-5=0,此时m⊥n.
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2.3.3 点到直线的距离公式 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.3点到直线的距离公式
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 点到直线的距离
1.概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
注意点:
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式;
(2)分子含有绝对值;
(3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是(  )
A.3 B. C.1 D.
2.(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(  )
A.1 B. C. D.2
3.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=(  )
A.0 B. C.3 D.0或
4.若点P到直线5x-12y+13=0和直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P的坐标应满足的方程是(  )
A.32x-56y+65=0或7x+4y=0 B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0
C.7x+4y=0 D.x-4y+4=0
5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为(  )
A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1)
7.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是(  )
A.[0,10] B. C.(0,10) D.(-∞,0]∪[10,+∞)
8.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.(多选)已知点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(  )
A.(1,2) B.(3,-4) C.(2,-1) D.(4,-3)
10.(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(  )
A.直线l的倾斜角是 B.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m
C.点(,0)到直线l的距离是2 D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0
二、填空题
11.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线方程为________________.
12.(2022·湖州调研)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.
13.已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标为________.
14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,若点A(5,0)到直线l的距离为3,则l的方程为________.
15.若实数x,y满足关系式x+y+1=0,则式子S=的最小值为______.
三、解答题
16.已知点P(2,-1),求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
17.已知△ABC三个顶点的坐标A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.
18.已知某直线在两坐标轴上的截距相等,且点A(3,1)到该直线的距离为,求该直线的方程.
19.当m取何值时,直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3:4x-3y-12=0的距离最短?这个最短距离是多少?
20.已知直线m:(a-1)x+(2a+3)y-a+6=0,n:x-2y+3=0.
(1)当a=0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系.
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2.3.3 点到直线的距离公式 1/1