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2.3.4 两条平行直线间的距离
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝.
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A.3 B.7 C. D.
答案：C
解析：在3x＋4y－2＝0上取一点，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，
d＝＝，故选C.
2．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝ C.a＝6，d＝ D.a＝－6，d＝
答案：B
解析：由题知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋＝0，∴d＝＝.
3．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A.1 B. C. D.2
答案：B
解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝.
4．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为( )
A. B. C. D.13
答案：B
解析：两条直线的方程分别为3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝.
5．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A.0 B.1 C.－2 D.－1
答案：C
解析：由题意得n－2×(－2)＝0，解得n＝－4，所以直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线之间的距离d＝＝，解得m＝2(m＝－8舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.
6．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
7．(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为( )
A.9 B.－9 C.11 D.－11
答案：BC
解析：∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，∴＝2，解得c＝11或c＝－9.
8．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，两直线之间的距离为＝.
9．两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( )
A.0答案：B
解析：当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以010．(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0 C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
答案：BD
解析：设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
二、填空题
11．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
答案：(0,5]
解析：当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，dmax＝＝5；当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．所以0＜d≤5.
12．(2020·上海卷)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为________.
答案：
解析：直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，当l1∥l2时，a2－1＝0解得a＝±1.当a＝1时，l1与l2重合，不满足题意；当a＝－1时，l1∥l2，则l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，则l1与l2的距离为d＝＝.
13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
答案：2x－y＋1＝0
解析：方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
14．(2022·邯郸模拟)直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
答案：－
解析：由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)，直线l2的斜率为，所以－＝，解得a＝－，则直线l1：x－y－2＝0，即3x－4y－6＝0，直线l2：y＝x－1，即3x－4y－4＝0，所以它们之间的距离为d＝＝.
15．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为 .
答案：或
解析：∵l1∥l2，∴解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为＝.
三、解答题
16．(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
解：(1)由两直线平行得＝，∴m＝6.
∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.
∴两平行直线间的距离d＝＝＝3.
(2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得＝3，解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
17．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
18．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解：(1)如图，显然有0而|AB|＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
19．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0，∴l1和l2的距离d＝＝，
∴＝.
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或c＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，
∴3x0＋2＝0不符合题意．
联立方程解得x0＝－3，y0＝，应舍去．
联立解得x0＝，y0＝.
所以P即为同时满足三个条件的点．
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2.3.4 两条平行直线间的距离
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝.
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A.3 B.7 C. D.
2．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝ C.a＝6，d＝ D.a＝－6，d＝
3．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A.1 B. C. D.2
4．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为( )
A. B. C. D.13
5．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A.0 B.1 C.－2 D.－1
6．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
7．(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为( )
A.9 B.－9 C.11 D.－11
8．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A. B. C. D.
9．两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( )
A.010．(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0 C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
二、填空题
11．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
12．(2020·上海卷)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为________.
13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
14．(2022·邯郸模拟)直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
15．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为 .
三、解答题
16．(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
17．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
18．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
19．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
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