高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习(含解析)

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名称 高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习(含解析)
格式 zip
文件大小 320.4KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-07 20:51:22

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.4 两条平行直线间的距离
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1.两条平行直线间的距离:指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=.
注意点:
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
(2)运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于(  )
A.3 B.7 C. D.
答案:C
解析:在3x+4y-2=0上取一点,其到6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,
d==,故选C.
2.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则a,d的值分别为(  )
A.a=6,d= B.a=-6,d= C.a=6,d= D.a=-6,d=
答案:B
解析:由题知2×3=-a,解得a=-6,又-6x+3y-4=0可化为2x-y+=0,∴d==.
3.若倾斜角为45°的直线m被直线l1:x+y-1=0与l2:x+y-3=0所截得的线段为AB,则AB的长为(  )
A.1 B. C. D.2
答案:B
解析:由题意,可得直线m与直线l1,l2垂直,则由两平行线间的距离公式,得|AB|==.
4.两条直线y=x,6x-4y+13=0之间的距离为(  )
A. B. C. D.13
答案:B
解析:两条直线的方程分别为3x-2y=0,3x-2y+=0,所以两条直线之间的距离d==.
5.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=(  )
A.0 B.1 C.-2 D.-1
答案:C
解析:由题意得n-2×(-2)=0,解得n=-4,所以直线l2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离d==,解得m=2(m=-8舍去),所以m+n=-2,故选C.
6.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )
A. B. C. D.
答案:C
解析:因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.
7.(多选)若直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,则实数c的值为(  )
A.9 B.-9 C.11 D.-11
答案:BC
解析:∵直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,∴=2,解得c=11或c=-9.
8.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为(  )
A. B. C. D.
答案:B
解析:由题意知,直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则3=a(a-2),即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1,当a=3时,直线l1:x+3y+6=0与l2:x+3y+6=0重合;当a=-1时,直线l1:x-y+6=0与l2:x-y+=0平行,两直线之间的距离为=.
9.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(  )
A.0答案:B 
解析:当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以010.(多选)(2022·济南调研)已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为(  )
A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0 C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=0
答案:BD
解析:设直线l:4x+6y+m=0,m≠-2且m≠-9,直线l到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,由题意知d1=,d2=.因为=,所以=,即2|m+2|=|m+9|,解得m=5或m=-,即直线l为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.
二、填空题
11.直线l1经过点(3,0),直线l2经过点(0,4),且l1∥l2,d表示l1和l2之间的距离,则d的取值范围是________.
答案:(0,5]
解析:当直线l1,l2都与过(3,0),(0,4)两点的直线垂直时,dmax==5;当直线l1和l2都经过(3,0),(0,4)两点时,两条直线重合.所以0<d≤5.
12.(2020·上海卷)已知直线l1:x+ay=1,l2:ax+y=1,若l1∥l2,则l1与l2的距离为________.
答案:
解析:直线l1:x+ay=1,l2:ax+y=1,当l1∥l2时,a2-1=0解得a=±1.当a=1时,l1与l2重合,不满足题意;当a=-1时,l1∥l2,则l1:x-y-1=0,l2:x-y+1=0,则l1与l2的距离为d==.
13.已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程是________.
答案:2x-y+1=0
解析:方法一 由题意可设l的方程为2x-y+c=0,于是有=,即|c-3|=|c+1|,解得c=1,则直线l的方程为2x-y+1=0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间,故设l的方程为2x-y+c=0,则c==1.则直线l的方程为2x-y+1=0.
14.(2022·邯郸模拟)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=x-1平行,则a=________,l1与l2的距离为________.
答案:- 
解析:由题可知直线l1的斜率为-(a≠0),直线l2的斜率为,所以-=,解得a=-,则直线l1:x-y-2=0,即3x-4y-6=0,直线l2:y=x-1,即3x-4y-4=0,所以它们之间的距离为d==.
15.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则l1与l2间的距离为 .
答案:或
解析:∵l1∥l2,∴解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y=-1,l2:y=,此时l1与l2间的距离为;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,此时l1与l2间的距离为=.
三、解答题
16.(1)求两条平行直线3x+4y-12=0与mx+8y+6=0之间的距离;
(2)求到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程.
解:(1)由两直线平行得=,∴m=6.
∴直线6x+8y+6=0即为3x+4y+3=0.
∴两平行直线间的距离d===3.
(2)设所求直线方程为3x-4y+m=0,
由两平行线间的距离公式得=3,解得m=16或m=-14.
故所求的直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
17.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0.
又因为直线l1过点(-3,-1),
所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.
(2)因为直线l2的斜率存在,l1∥l2,
所以直线l1的斜率存在.所以=1-a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,
所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.②
联立①②可得a=2,b=-2或a=,b=2.
18.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
解:(1)如图,显然有0而|AB|==3.
故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线与AB垂直.
而kAB==,
所以所求直线的斜率为-3.
故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
19.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)l2的方程即为2x-y-=0,∴l1和l2的距离d==,
∴=.
∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,
且=×,
即c=或c=.
∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得=·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵点P在第一象限,
∴3x0+2=0不符合题意.
联立方程解得x0=-3,y0=,应舍去.
联立解得x0=,y0=.
所以P即为同时满足三个条件的点.
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2.3.4 两条平行直线间的距离
知识梳理 回顾教材 夯实基础
1.两条平行直线间的距离:指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=.
注意点:
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
(2)运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于(  )
A.3 B.7 C. D.
2.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则a,d的值分别为(  )
A.a=6,d= B.a=-6,d= C.a=6,d= D.a=-6,d=
3.若倾斜角为45°的直线m被直线l1:x+y-1=0与l2:x+y-3=0所截得的线段为AB,则AB的长为(  )
A.1 B. C. D.2
4.两条直线y=x,6x-4y+13=0之间的距离为(  )
A. B. C. D.13
5.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=(  )
A.0 B.1 C.-2 D.-1
6.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )
A. B. C. D.
7.(多选)若直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,则实数c的值为(  )
A.9 B.-9 C.11 D.-11
8.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为(  )
A. B. C. D.
9.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(  )
A.010.(多选)(2022·济南调研)已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为(  )
A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0 C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=0
二、填空题
11.直线l1经过点(3,0),直线l2经过点(0,4),且l1∥l2,d表示l1和l2之间的距离,则d的取值范围是________.
12.(2020·上海卷)已知直线l1:x+ay=1,l2:ax+y=1,若l1∥l2,则l1与l2的距离为________.
13.已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程是________.
14.(2022·邯郸模拟)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=x-1平行,则a=________,l1与l2的距离为________.
15.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则l1与l2间的距离为 .
三、解答题
16.(1)求两条平行直线3x+4y-12=0与mx+8y+6=0之间的距离;
(2)求到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程.
17.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
18.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
19.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
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