中小学教育资源及组卷应用平台
2.4.1 圆的标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
注意点：
(1)确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
答案：B
解析：点M(5，－7)到圆心A(2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
解析：方法一 (直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
4．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定
答案：C
解析：将点的坐标代入圆方程，得sin2θ＋cos 2θ＝1>，所以点在圆外．
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．
6．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
答案：C
解析：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
7．(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案：C
解析：到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1 B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
答案：B
解析：两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1．
9．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆
答案：D
解析：由y＝知，y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9．
10． (2022·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
答案：B
解析：设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得|4a－3b|＝5，①又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
二、填空题
11．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的标准方程为________________．
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
解析：方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解得故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的距离d＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
12．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
答案：5＋
解析：点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．
13．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
答案：(－，)
解析：∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－14．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
答案：[0,2]
解析：由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2．
15．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
答案：a>或a<－
解析：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴a>或a＜－.
三、解答题
解：
16．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因为A(1,1)和B(2，－2)，所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝－3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程为y＋＝，即x－3y－3＝0．
圆心C的坐标是方程组的解．
解此方程组，得所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长r＝|AC|＝＝5．
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
17．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)．
由题意得．解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．
18．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
解：由题意得圆心坐标为(，1)，半径为2，
则圆心到直线l的距离为d＝＝3－，
则圆C上的点到直线l距离的最大值为3－＋2，最小值为3－－2．
19．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
解：设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得
消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝.
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝.
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.4.1 圆的标准方程 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.4.1 圆的标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
注意点：
(1)确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
4．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
7．(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
8．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1 B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
9．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆
10． (2022·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
二、填空题
11．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的标准方程为________________．
12．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
13．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
14．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
15．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
三、解答题
16．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
17．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
18．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
19．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.4.1 圆的标准方程 1/1
