中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.2 圆的一般方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
知识点二 圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F > 0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F ＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F < 0
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列结论错误的是( )
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案：C
解析：AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确．
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)， C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
答案：D
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3.(易错题)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A.a＜－2 B.－＜a＜0 C.－2＜a＜0 D.－2＜a＜
答案：D
解析：由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，∴－2＜a＜.
4.若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值不可能的是( )
A.－2 B.0 C.1 D.
答案：C
解析：根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈，则a的值可以为－2,0，.
5.圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
答案：C
解析：圆(x－3)2＋(y－1)2＝5的圆心(3，1)关于直线y＝－x对称点为(－1，－3)，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.
6.已知⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
答案：D
解析：∵⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴⊙C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
7. (多选)圆x2＋y2－4x－1＝0( )
A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
答案：ABC
解析：x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确．
8.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：A
解析：由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.
9.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
10.(多选)设有一组⊙Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
答案：ABD
解析：圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
二、填空题
11. (2022·武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为________.
答案：(x－4)2＋(y－6)2＝4
解析：设对称圆的圆心为(m，n)，则解得所以所求圆的圆心为(4，6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
12.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.
答案：2
解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
13.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
答案：x2＋y2－2x＝0
解析：法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
14. (2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
答案：12
解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
15.(2022·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则⊙C的半径r＝________；若在⊙C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
答案： [－16，4]
解析：⊙C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2，0)，半径为r＝，
若在⊙C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4.
三、解答题
16.若A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)三点的外接圆为⊙M，点D(m，3)在⊙M上，求m的值．
解：设过A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
依题意有解得
即所求圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0.
因为点D(m，3)在⊙M上， 所以m2＋32－4m－×3－5＝0，
解得m＝－3或m＝7.
17.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
解：(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
由7t2－6t－1<0，得－故t的取值范围是.
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为.
(3)r＝＝≤.
所以r的最大值为，此时t＝，
故圆的标准方程为2＋2＝.
18.已知点P(2，2)，⊙C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与⊙C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
解：(1) ⊙C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在⊙C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在⊙N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.
19.已知M(x，y)为⊙C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
解：(1)由⊙C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴⊙C的圆心坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与⊙C有交点，
∴≤2，可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与⊙C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.4.2 圆的一般方程 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.2 圆的一般方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
知识点二 圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F > 0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F ＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F < 0
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列结论错误的是( )
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)， C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
3.(易错题)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A.a＜－2 B.－＜a＜0 C.－2＜a＜0 D.－2＜a＜
4.若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值不可能的是( )
A.－2 B.0 C.1 D.
5.圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
6.已知⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
7. (多选)圆x2＋y2－4x－1＝0( )
A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
8.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A. B. C. D.
10.(多选)设有一组⊙Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
二、填空题
11. (2022·武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为________.
12.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.
13.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
14. (2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
15.(2022·泰安模拟)已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则⊙C的半径r＝________；若在⊙C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
三、解答题
16.若A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)三点的外接圆为⊙M，点D(m，3)在⊙M上，求m的值．
17.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
18.已知点P(2，2)，⊙C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与⊙C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
19.已知M(x，y)为⊙C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.4.2 圆的一般方程 1/1
