高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练习(含解析)

文档属性

名称 高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练习(含解析)
格式 zip
文件大小 350.4KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-07 20:56:58

文档简介

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2.5.1 直线与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= dr
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
图形
思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时,二者在侧重点上有什么不同?
答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系,只是角度不同,代数法侧重于“数”的计算,几何法侧重于“形”的直观.
知识点二 圆的切线问题
1.求圆的切线的方法
(1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:
先求切点与圆心的连线的斜率k,则由垂直关系,知切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程:
几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时,直线x=x0是否为圆的切线.
代数法:设切线方程y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时,直线x=x0是否为圆的切线.
2.切线段的长度公式
(1)从圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则P到切点的切线段长为
d=.
(2)从圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的切线,则P到切点的切线段长为
d=.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(  )
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
答案:C
解析:方法一 圆心(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=≤1<=r,∴直线与圆 相交,且圆心(0,0)不在该直线上.
方法二 直线kx-y+1=0恒过定点(0,1),而该点在圆内,故直线与圆相交,且圆心不在该 直线上.
2.已知点M(a,b)在⊙O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与⊙O的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案:B
解析:因为M(a,b)在⊙O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.所以直线与圆相交.
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与⊙C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(  )
A.若点A在⊙C上,则直线l与⊙C相切 B.若点A在⊙C内,则直线l与⊙C相离
C.若点A在⊙C外,则直线l与⊙C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与⊙C相切
答案:ABD
解析:圆心C(0,0)到直线l的距离d=.若点A(a,b)在⊙C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与⊙C相切,故A正确;若点A(a,b)在⊙C内,则a2+b2|r|,则直线l与⊙C相离,故B正确;若点A(a,b)在⊙C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与⊙C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与⊙C相切,故D正确.
4.(2022·广州调研)已知⊙C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长为6,则⊙C的方程为(  )
A.x2+y2-2x-4y-8=0
B.x2+y2+2x-4y-8=0
C.x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
D.x2+y2+2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
答案:C
解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,将P,Q两点的坐标代入得 令y=0,得x2+Dx+F=0, ③
设x1,x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6得D2-4F=36, ④
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
5.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(  )
A. B. C. D.
答案:B
解析:由题意可知圆心在第一象限,设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0).∵圆与两坐标轴均相切,∴a=b,且半径r=a,∴圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.∵点(2,1)在圆上,∴(2-a)2+(1-a)2=a2,∴a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心坐标为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离d==;当a=5时,圆心坐标为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离d==.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为.
6.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1) C.(0,-1) D.(0,+1)
答案:A
解析:计算得圆心到直线l的距离为=>1,如图.
直线l:x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离+1.
7.(多选)已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:y-1=k(x-3).则以下几个命题正确的有(  )
A.直线l恒过定点(3,1)
B. ⊙C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与⊙C相交或相切
D.直线l被⊙C截得弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0
答案 ABD
解析 直线l:y-1=k(x-3)恒过D(3,1),A正确;对于B,令x=0,则(y-2)2=24,解得y=2±2,故⊙C被y轴截得弦长为4,故B正确;对于C,因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,则点D在⊙C内部,直线l与⊙C相交,故C不正确;对于D,圆心C(1,2),半径为5,|CD|=,当截得的弦长最小时,l⊥CD,由于kCD=-,则l的斜率为2,此时直线的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0,故D正确.
8. (2022·郑州调研)已知⊙C:(x-1)2+(y+1)2=1与直线kx+y+1=0相交于A,B两点,若△CAB为等边三角形,则k的值为(  )
A.± B.±2 C.± D.±
答案:A
解析:⊙C:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C(1,-1),半径为1,故|CB|=|CA|=1,又△CAB为等边三角形,所以点C到直线kx+y+1=0的距离为,即=,解得k=±,故选A.
9.已知⊙M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则⊙M与⊙N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案:B
解析:由题意得⊙M的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2,圆M,⊙N的圆心距|MN|=,小于两圆半径之和1+2,大于两圆半径之差1,故两圆相交.
10.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(  )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3
答案:ACD
解析:设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),由题意知直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,则圆心M到直线AB的距离d==>4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+,又4+<5+=10,故A正确;易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4,又-4<-4=1,故B不正确;过点B作圆M的两条切线,切点分别为N,Q,如图所示,连接MB,MN,MQ,则当∠PBA最小时,点P与N重合,|PB|===3;当∠PBA最大时,点P与Q重合,|PB|=3,故C,D都正确.综上,选ACD.
二、填空题
11.过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为________.
答案:
解析:由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0,圆心O(0,0)到直线l的距离为d==,则有|AB|=2=2 =.
12.(2020·天津卷)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为__________.
答案:5
解析:由题意知圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d==4.取AB的中点M,连接OM(图略),则OM⊥AB.在Rt△OMA中,r==5.
13.(2020·浙江卷)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=__________,b=__________.
答案: -
解析:如图,直线分别与两个半径相等的圆相切,由对称性可知,直线与x轴的交点为A(2,0).
由AB=2,BM=1,∠AMB=90°,得∠MAB=30°,可得直线的斜率k=tan 30°=,直线方程为y=(x-2)=x-,因此b=-.
14.(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中,若⊙C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是________.
答案:[-1,+1]
解析:⊙C1关于直线x-y=0对称的⊙C3的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),则⊙C3与⊙C2存在公共点,所以|r-1|≤≤r+1,所以r∈[-1,+1].
15.若A为⊙C1:x2+y2=1上的动点,B为⊙C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是________.
答案:8
解析:⊙C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,⊙C2:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为C2(3,-4),半径r2=2,∴|C1C2|=5.又A为⊙C1上的动点,B为⊙C2上的动点,∴线段AB长度的最大值是|C1C2|+r1+r2=5+1+2=8.
三、解答题
16.已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被⊙C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明:因为l的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0(m∈R),
所以解得即l恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2),|AC|=<5(半径),
所以点A在⊙C内,从而直线l与⊙C恒交于两点.
(2) 解:由题意可知弦长最小时,l⊥AC.
因为kAC=-,所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1),所以l的方程为2x-y-5=0.
17.已知⊙C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程;
(1)与直线l1:x+y-4=0平行;
(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;
(3)过切点A(4,-1).
解:(1)设切线方程为x+y+b=0(b≠-4),则=,∴b=1±2,
∴切线方程为x+y+1±2=0.
(2)设切线方程为2x+y+m=0,则=,∴m=±5,
∴切线方程为2x+y±5=0.
(3)∵kAC==,
∴过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,
∴过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),
即3x+y-11=0.
18.已知⊙C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与⊙C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被⊙C所截得的弦长.
解:(1) ⊙C的圆心为(2,3),半径r=2.
当斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时⊙C与直线l相切;
当斜率存在时,设直线l的方程为kx-y-4k-1=0,则=2,解得k=-,
所以此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为x+y-3=0,
圆心到直线l的距离d==,
故所求弦长为2=2=2.
19.(2022·重庆调研)已知A(2,0),直线4x+3y+1=0被⊙C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,且P为⊙C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值;
(2)⊙C与坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解:(1)∵直线4x+3y+1=0被⊙C: (x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,
∴圆心到直线的距离d===1.
∵m<3,∴m=2,
∴|AC|==,
∴|PA|的最大值与最小值分别为+,-.
(2)由(1)可得⊙C的方程为(x+3)2+(y-2)2=13,
令x=0,得y=0或4;令y=0,得x=0或-6,
∴⊙C与坐标轴相交于三点M(0,4),O(0,0),N(-6,0),
∴△MON为直角三角形,斜边|MN|=2,
∴△MON内切圆的半径为=5-.
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2.5.1 直线与圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.1 直线与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= dr
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
图形
思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时,二者在侧重点上有什么不同?
答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系,只是角度不同,代数法侧重于“数”的计算,几何法侧重于“形”的直观.
知识点二 圆的切线问题
1.求圆的切线的方法
(1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:
先求切点与圆心的连线的斜率k,则由垂直关系,知切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程:
几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时,直线x=x0是否为圆的切线.
代数法:设切线方程y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时,直线x=x0是否为圆的切线.
2.切线段的长度公式
(1)从圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则P到切点的切线段长为
d=.
(2)从圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的切线,则P到切点的切线段长为
d=.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(  )
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
2.已知点M(a,b)在⊙O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与⊙O的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与⊙C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(  )
A.若点A在⊙C上,则直线l与⊙C相切 B.若点A在⊙C内,则直线l与⊙C相离
C.若点A在⊙C外,则直线l与⊙C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与⊙C相切
4.(2022·广州调研)已知⊙C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长为6,则⊙C的方程为(  )
A.x2+y2-2x-4y-8=0
B.x2+y2+2x-4y-8=0
C.x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
D.x2+y2+2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
5.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(  )
A. B. C. D.
6.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是(  )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1) C.(0,-1) D.(0,+1)
7.(多选)已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:y-1=k(x-3).则以下几个命题正确的有(  )
A.直线l恒过定点(3,1)
B. ⊙C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与⊙C相交或相切
D.直线l被⊙C截得弦长最短时,直线l的方程为2x-y-5=0
8. (2022·郑州调研)已知⊙C:(x-1)2+(y+1)2=1与直线kx+y+1=0相交于A,B两点,若△CAB为等边三角形,则k的值为(  )
A.± B.±2 C.± D.±
9.已知⊙M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则⊙M与⊙N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
10.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(  )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3
二、填空题
11.过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为________.
12.(2020·天津卷)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为__________.
13.(2020·浙江卷)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=__________,b=__________.
14.(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中,若⊙C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是________.
15.若A为⊙C1:x2+y2=1上的动点,B为⊙C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是________.
三、解答题
16.已知⊙C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被⊙C截得的弦长最小时的l的方程.
17.已知⊙C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程;
(1)与直线l1:x+y-4=0平行;
(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;
(3)过切点A(4,-1).
18.已知⊙C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l.
(1)当直线l与⊙C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被⊙C所截得的弦长.
19.(2022·重庆调研)已知A(2,0),直线4x+3y+1=0被⊙C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,且P为⊙C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值;
(2)⊙C与坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
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2.5.1 直线与圆的位置关系 1/1