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2.5.1 直线与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？
答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观.
知识点二 圆的切线问题
1.求圆的切线的方法
(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.
代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.
2.切线段的长度公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
答案：C
解析：方法一 圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1＜＝r，∴直线与圆 相交，且圆心(0,0)不在该直线上.
方法二 直线kx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该 直线上.
2.已知点M(a，b)在⊙O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与⊙O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案：B
解析：因为M(a，b)在⊙O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1.所以直线与圆相交.
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与⊙C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在⊙C上，则直线l与⊙C相切 B.若点A在⊙C内，则直线l与⊙C相离
C.若点A在⊙C外，则直线l与⊙C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与⊙C相切
答案：ABD
解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝.若点A(a，b)在⊙C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与⊙C相切，故A正确；若点A(a，b)在⊙C内，则a2＋b2|r|，则直线l与⊙C相离，故B正确；若点A(a，b)在⊙C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与⊙C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与⊙C相切，故D正确.
4.(2022·广州调研)已知⊙C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则⊙C的方程为( )
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
答案：C
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，将P，Q两点的坐标代入得 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， ③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36， ④
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
5.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；当a＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
6.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A.(＋1，＋∞) B.(－1，＋1) C.(0，－1) D.(0，＋1)
答案：A
解析：计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图.
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
7.(多选)已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B. ⊙C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与⊙C相交或相切
D.直线l被⊙C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
答案 ABD
解析 直线l：y－1＝k(x－3)恒过D(3，1)，A正确；对于B，令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2，故⊙C被y轴截得弦长为4，故B正确；对于C，因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，则点D在⊙C内部，直线l与⊙C相交，故C不正确；对于D，圆心C(1，2)，半径为5，|CD|＝，当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于kCD＝－，则l的斜率为2，此时直线的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确.
8. (2022·郑州调研)已知⊙C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
答案：A
解析：⊙C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，即＝，解得k＝±，故选A.
9.已知⊙M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则⊙M与⊙N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案：B
解析：由题意得⊙M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，⊙N的圆心距|MN|＝，小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.
10.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案：ACD
解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题意知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，又4＋<5＋＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，又－4<－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3；当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确.综上，选ACD.
二、填空题
11.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案：
解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，则有|AB|＝2＝2 ＝.
12.(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
答案：5
解析：由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝＝5.
13.(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.
答案： －
解析：如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0).
由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，可得直线的斜率k＝tan 30°＝，直线方程为y＝(x－2)＝x－，因此b＝－.
14.(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若⊙C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.
答案：[－1，＋1]
解析：⊙C1关于直线x－y＝0对称的⊙C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，则⊙C3与⊙C2存在公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以r∈[－1，＋1].
15.若A为⊙C1：x2＋y2＝1上的动点，B为⊙C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
答案：8
解析：⊙C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，⊙C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5.又A为⊙C1上的动点，B为⊙C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
三、解答题
16.已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被⊙C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明：因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
所以解得即l恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在⊙C内，从而直线l与⊙C恒交于两点.
(2) 解：由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
17.已知⊙C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
18.已知⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与⊙C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被⊙C所截得的弦长．
解：(1) ⊙C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时⊙C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，则＝2，解得k＝－，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
故所求弦长为2＝2＝2.
19.(2022·重庆调研)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被⊙C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为⊙C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)⊙C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解：(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被⊙C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.
(2)由(1)可得⊙C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴⊙C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，
∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，
∴△MON内切圆的半径为＝5－.
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2.5.1 直线与圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.1 直线与圆的位置关系
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知识点一 直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？
答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观.
知识点二 圆的切线问题
1.求圆的切线的方法
(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：
先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：
几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.
代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出.并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线.
2.切线段的长度公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为
d＝.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
2.已知点M(a，b)在⊙O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与⊙O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与⊙C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在⊙C上，则直线l与⊙C相切 B.若点A在⊙C内，则直线l与⊙C相离
C.若点A在⊙C外，则直线l与⊙C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与⊙C相切
4.(2022·广州调研)已知⊙C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则⊙C的方程为( )
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
5.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A. B. C. D.
6.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A.(＋1，＋∞) B.(－1，＋1) C.(0，－1) D.(0，＋1)
7.(多选)已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B. ⊙C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与⊙C相交或相切
D.直线l被⊙C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
8. (2022·郑州调研)已知⊙C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
9.已知⊙M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则⊙M与⊙N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
10.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
二、填空题
11.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
12.(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
13.(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.
14.(2022·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若⊙C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.
15.若A为⊙C1：x2＋y2＝1上的动点，B为⊙C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
三、解答题
16.已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被⊙C截得的弦长最小时的l的方程.
17.已知⊙C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
18.已知⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与⊙C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被⊙C所截得的弦长．
19.(2022·重庆调研)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被⊙C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为⊙C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)⊙C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
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2.5.1 直线与圆的位置关系 1/1
