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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
选择性必修 第一册
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习(含解析)
文档属性
名称
高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习(含解析)
格式
zip
文件大小
422.1KB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-10-07 20:58:04
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离;外切和内切统称为相切.
如图:
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|
(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时,这两个圆一定外切吗?
答 不一定,也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
答案:B
解析:把圆O1和圆O2的方程化为标准方程,得圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=4,则O1(1,0),O2(0,2),|O1O2|==
2. (2022·长沙模拟)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为( )
A.(3,+∞) B.(2,+∞) C. D.(3,4)
答案:A
解析:|C1C2|=,因为圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,所以|a-2|<
3.
3.已知圆C1:x2+y2-m=0,圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>121 C.1≤m≤121 D.1<m<121
答案:C
解析:圆C1的方程可化为x2+y2=m(m>0),则圆心为C1(0,0),半径r1=;圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,4),半径r2=6.∵圆C1与圆C2有公共点,∴|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2,即|-6|≤≤+6,∴解得1≤m≤121.
4.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
答案:C
解析:根据题意作出图形,由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心的坐标是(2,-3),圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 (3,0),则所求直线方程为=,即3x-y-9=0.
5.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(0,1] C.(0,2-] D.(0,2]
答案:C
解析:由已知M∩N=N,知N M,∴圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含 ,∴2-r≥,∴0<r≤2-.
6.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为( )
A. B.4 C. D.
答案:D
解析:由圆C1与圆C2的方程相减得l:2x-3y+2=0.圆心O(0,0)到l的距离d=,圆O的半径R=2,所以截得的弦长为2=2=.
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案:B
解析:由题意得圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2,圆M,圆N的圆心距|MN|=小于两圆半径之和3,大于两圆半径之差1,故两圆相交.
8.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是( )
A.9 B.14 C.14-6 D.14+6
答案:D
解析:方程化为(x+2)2+(y-1)2=9,所以圆心为(-2,1),r=3,而x2+y2=()2.所以x2+y2的最大值为(+3)2=14+6.
9.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案:C
解析:因为两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),所以两圆C1,C2的圆心都在y=x上 .设圆C1,C2的圆心坐标分别为 (x1,x1),(x2,x2),则(4-x1)2+(1-x1)2=x,(4-x2)2+(1-x2)2=x,即x1,x2是方程(x-4)2+(x-1)2=x2的两根.,即x2-10x+17=0.所以 x1+x2=10,x1x2=17.所以|C1C2|=|x1-x2|= =8.
10.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
答案:B
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.如图所示,
设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6),半圆所在圆的方程为:x2+(y+3.6)2=3.62把A(0.8,h-3.6).代入得0.82+h2=3.62.∴h=4≈3.5(米 ).
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C:x2+16x+y2+m=0被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则m的值为________.
答案:39
解析:将圆化为(x+8)2+y2=64-m(m<64),所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离d==4,该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形,所以42+32=64-m,解得m=39.
12. (2022·广州模拟)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为________.
答案:π
解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,则当x-1=0且y-1=0,即x=1且y=1时,等式恒成立,所以直线恒过定点M(1,1),设圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,此时弦长AB对的圆心角为,所以劣弧AB的长为×2=π.
13.圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为______________,公共弦长为________.
答案:x-2y+4=0 2
解析:联立两圆的方程得两式相减并化简,得x-2y+4=0,此即两圆公共弦所在直线的方程.由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径r=5,圆心到直线x-2y+4=0的距离为d==3.设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(3)2+l2,解得l=,故公共弦长为2.
14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是________.
答案:(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析:设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与已知圆内切,则=4-1,∴(x-5)2+(y+7)2=9.
15. (2022·青岛模拟)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法:①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件;②当m=3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1;③“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件;④当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点.正确的是________.
答案:③
解析:对于①,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0 (x+2)2+(y+m)2=m2-1,曲线C要表示圆,则m2-1>0 m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件,故①错误;对于②,m=3时,直线l:x+y+1=0,曲线C:(x+2)2+(y+3)2=26,圆心到直线l的距离d==5,所以弦长=2=2=2,故②错误;对于③,若直线l与圆相切,则圆心到直线l的距离d== m=±3,所以“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件,③正确;对于④,当m=-2时,曲线C:(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=,曲线C与圆x2+y2=1的圆心距为=2>+1,故两圆相离,不会有两个公共点,④错误.
三、解答题
16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解:(1)由圆C1:x2+y2=4,知圆心C1(0,0),半径r1=2,又由圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0,两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4,此时相交弦过圆心C1(0,0),即r2=9(r>0),解得r=3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)·y2-2x-4y+4(1-λ)=0,所以2+2=,由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径,可得=,解得λ=1,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.
17.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解:两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.
(1)当两圆外切时,=+,解得m=25+10.
(2)当两圆内切时-=5,解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0,
∴公共弦长为2=2.
18.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1,1),且与圆C相切,求l1的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线l2:x-y+2=0上,且与圆C外切,求圆D的方程.
解:(1)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,
所以圆C的圆心为(3,4),半径为2.
①若直线l1的斜率不存在,即直线为x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y-1=k(x-1).
即kx-y-k+1=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,
所以=2,即=2,
解得k=,所以直线方程为5x-12y+7=0.
综上,所求l1的方程为x=1和5x-12y+7=0.
(2)依题意,设D(a,a+2).
又已知圆C的圆心为(3,4),半径为2,
由两圆外切,可知|CD|=5,
∴=5,解得a=-1或a=6.
∴D(-1,1)或D(6,8),
∴所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
19.已知圆M与圆N:2+2=r2关于直线y=x对称,且点D在圆M上.
(1)判断圆M与圆N的位置关系;
(2)设P为圆M上任意一点,A,B,P,A,B三点不共线,PG为∠APB的平分线,且交AB于G,求证:△PBG与△APG的面积之比为定值.
(1)解:N关于直线y=x的对称点为M,
所以圆M的半径r===,
所以圆M的方程为2+2=.
又|MN|==>×2,
故圆M与圆N相离.
(2)证明:设P(x0,y0),则|PA|2=(x0+1)2+2=(x0+1)2+-2=-x0,
|PB|2=(x0-1)2+2=(x0-1)2+-2=-x0,
所以2=,即=.
又PG为∠APB的平分线,故==2为定值.
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离;外切和内切统称为相切.
如图:
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|
(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时,这两个圆一定外切吗?
答 不一定,也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
2. (2022·长沙模拟)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为( )
A.(3,+∞) B.(2,+∞) C. D.(3,4)
3.已知圆C1:x2+y2-m=0,圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>121 C.1≤m≤121 D.1<m<121
4.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
5.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(0,1] C.(0,2-] D.(0,2]
6.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为( )
A. B.4 C. D.
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
8.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是( )
A.9 B.14 C.14-6 D.14+6
9.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
10.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C:x2+16x+y2+m=0被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则m的值为________.
12. (2022·广州模拟)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为________.
13.圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为______________,公共弦长为________.
14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是________.
15. (2022·青岛模拟)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法:①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件;②当m=3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1;③“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件;④当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点.正确的是________.
三、解答题
16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
17.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
18.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1,1),且与圆C相切,求l1的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线l2:x-y+2=0上,且与圆C外切,求圆D的方程.
19.已知圆M与圆N:2+2=r2关于直线y=x对称,且点D在圆M上.
(1)判断圆M与圆N的位置关系;
(2)设P为圆M上任意一点,A,B,P,A,B三点不共线,PG为∠APB的平分线,且交AB于G,求证:△PBG与△APG的面积之比为定值.
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1
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同课章节目录
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
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