高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习(含解析)

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名称 高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习(含解析)
格式 zip
文件大小 422.1KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-07 20:58:04

文档简介

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2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离;外切和内切统称为相切.
如图:
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时,这两个圆一定外切吗?
答 不一定,也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(  )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
答案:B
解析:把圆O1和圆O2的方程化为标准方程,得圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=4,则O1(1,0),O2(0,2),|O1O2|==2. (2022·长沙模拟)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为(  )
A.(3,+∞) B.(2,+∞) C. D.(3,4)
答案:A
解析:|C1C2|=,因为圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,所以|a-2|<3.
3.已知圆C1:x2+y2-m=0,圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是(  )
A.m<1 B.m>121 C.1≤m≤121 D.1<m<121
答案:C
解析:圆C1的方程可化为x2+y2=m(m>0),则圆心为C1(0,0),半径r1=;圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,4),半径r2=6.∵圆C1与圆C2有公共点,∴|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2,即|-6|≤≤+6,∴解得1≤m≤121.
4.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(  )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
答案:C
解析:根据题意作出图形,由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心的坐标是(2,-3),圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 (3,0),则所求直线方程为=,即3x-y-9=0.
5.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(  )
A.(0,-1) B.(0,1] C.(0,2-] D.(0,2]
答案:C
解析:由已知M∩N=N,知N M,∴圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含 ,∴2-r≥,∴0<r≤2-.
6.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为(  )
A. B.4 C. D.
答案:D
解析:由圆C1与圆C2的方程相减得l:2x-3y+2=0.圆心O(0,0)到l的距离d=,圆O的半径R=2,所以截得的弦长为2=2=.
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案:B
解析:由题意得圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2,圆M,圆N的圆心距|MN|=小于两圆半径之和3,大于两圆半径之差1,故两圆相交.
8.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是(  )
A.9 B.14 C.14-6 D.14+6
答案:D
解析:方程化为(x+2)2+(y-1)2=9,所以圆心为(-2,1),r=3,而x2+y2=()2.所以x2+y2的最大值为(+3)2=14+6.
9.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(  )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案:C
解析:因为两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),所以两圆C1,C2的圆心都在y=x上 .设圆C1,C2的圆心坐标分别为 (x1,x1),(x2,x2),则(4-x1)2+(1-x1)2=x,(4-x2)2+(1-x2)2=x,即x1,x2是方程(x-4)2+(x-1)2=x2的两根.,即x2-10x+17=0.所以 x1+x2=10,x1x2=17.所以|C1C2|=|x1-x2|= =8.
10.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(  )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
答案:B
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.如图所示,
设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6),半圆所在圆的方程为:x2+(y+3.6)2=3.62把A(0.8,h-3.6).代入得0.82+h2=3.62.∴h=4≈3.5(米 ).
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C:x2+16x+y2+m=0被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则m的值为________.
答案:39
解析:将圆化为(x+8)2+y2=64-m(m<64),所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离d==4,该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形,所以42+32=64-m,解得m=39.
12. (2022·广州模拟)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为________.
答案:π
解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,则当x-1=0且y-1=0,即x=1且y=1时,等式恒成立,所以直线恒过定点M(1,1),设圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,此时弦长AB对的圆心角为,所以劣弧AB的长为×2=π.
13.圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为______________,公共弦长为________.
答案:x-2y+4=0 2
解析:联立两圆的方程得两式相减并化简,得x-2y+4=0,此即两圆公共弦所在直线的方程.由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径r=5,圆心到直线x-2y+4=0的距离为d==3.设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(3)2+l2,解得l=,故公共弦长为2.
14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是________.
答案:(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析:设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与已知圆内切,则=4-1,∴(x-5)2+(y+7)2=9.
15. (2022·青岛模拟)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法:①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件;②当m=3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1;③“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件;④当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点.正确的是________.
答案:③
解析:对于①,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0 (x+2)2+(y+m)2=m2-1,曲线C要表示圆,则m2-1>0 m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件,故①错误;对于②,m=3时,直线l:x+y+1=0,曲线C:(x+2)2+(y+3)2=26,圆心到直线l的距离d==5,所以弦长=2=2=2,故②错误;对于③,若直线l与圆相切,则圆心到直线l的距离d== m=±3,所以“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件,③正确;对于④,当m=-2时,曲线C:(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=,曲线C与圆x2+y2=1的圆心距为=2>+1,故两圆相离,不会有两个公共点,④错误.
三、解答题
16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解:(1)由圆C1:x2+y2=4,知圆心C1(0,0),半径r1=2,又由圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0,两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4,此时相交弦过圆心C1(0,0),即r2=9(r>0),解得r=3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)·y2-2x-4y+4(1-λ)=0,所以2+2=,由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径,可得=,解得λ=1,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.
17.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解:两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.
(1)当两圆外切时,=+,解得m=25+10.
(2)当两圆内切时-=5,解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0,
∴公共弦长为2=2.
18.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1,1),且与圆C相切,求l1的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线l2:x-y+2=0上,且与圆C外切,求圆D的方程.
解:(1)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,
所以圆C的圆心为(3,4),半径为2.
①若直线l1的斜率不存在,即直线为x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y-1=k(x-1).
即kx-y-k+1=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,
所以=2,即=2,
解得k=,所以直线方程为5x-12y+7=0.
综上,所求l1的方程为x=1和5x-12y+7=0.
(2)依题意,设D(a,a+2).
又已知圆C的圆心为(3,4),半径为2,
由两圆外切,可知|CD|=5,
∴=5,解得a=-1或a=6.
∴D(-1,1)或D(6,8),
∴所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
19.已知圆M与圆N:2+2=r2关于直线y=x对称,且点D在圆M上.
(1)判断圆M与圆N的位置关系;
(2)设P为圆M上任意一点,A,B,P,A,B三点不共线,PG为∠APB的平分线,且交AB于G,求证:△PBG与△APG的面积之比为定值.
(1)解:N关于直线y=x的对称点为M,
所以圆M的半径r===,
所以圆M的方程为2+2=.
又|MN|==>×2,
故圆M与圆N相离.
(2)证明:设P(x0,y0),则|PA|2=(x0+1)2+2=(x0+1)2+-2=-x0,
|PB|2=(x0-1)2+2=(x0-1)2+-2=-x0,
所以2=,即=.
又PG为∠APB的平分线,故==2为定值.
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离;外切和内切统称为相切.
如图:
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|(2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时,这两个圆一定外切吗?
答 不一定,也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(  )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
2. (2022·长沙模拟)若圆C1:(x-1)2+(y-a)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+1)2=a2相交,则正实数a的取值范围为(  )
A.(3,+∞) B.(2,+∞) C. D.(3,4)
3.已知圆C1:x2+y2-m=0,圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是(  )
A.m<1 B.m>121 C.1≤m≤121 D.1<m<121
4.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(  )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
5.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(  )
A.(0,-1) B.(0,1] C.(0,2-] D.(0,2]
6.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为(  )
A. B.4 C. D.
7.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
8.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是(  )
A.9 B.14 C.14-6 D.14+6
9.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(  )
A.4 B.4 C.8 D.8
10.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(  )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C:x2+16x+y2+m=0被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则m的值为________.
12. (2022·广州模拟)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧AB的长为________.
13.圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为______________,公共弦长为________.
14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是________.
15. (2022·青岛模拟)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法:①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件;②当m=3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1;③“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件;④当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点.正确的是________.
三、解答题
16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值;
(2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
17.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
18.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1,1),且与圆C相切,求l1的方程;
(2)若圆D的半径为3,圆心在直线l2:x-y+2=0上,且与圆C外切,求圆D的方程.
19.已知圆M与圆N:2+2=r2关于直线y=x对称,且点D在圆M上.
(1)判断圆M与圆N的位置关系;
(2)设P为圆M上任意一点,A,B,P,A,B三点不共线,PG为∠APB的平分线,且交AB于G,求证:△PBG与△APG的面积之比为定值.
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1