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2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.
如图：
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？
答 不一定，也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
答案：B
解析：把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝2. (2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C. D.(3,4)
答案：A
解析：|C1C2|＝，因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<3.
3.已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.m＜1 B.m＞121 C.1≤m≤121 D.1＜m＜121
答案：C
解析：圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0,0)，半径r1＝；圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3,4)，半径r2＝6.∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，即|－6|≤≤＋6，∴解得1≤m≤121.
4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
答案：C
解析：根据题意作出图形，由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心的坐标是(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是 (3,0)，则所求直线方程为＝，即3x－y－9＝0.
5.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A.(0，－1) B.(0,1] C.(0,2－] D.(0,2]
答案：C
解析：由已知M∩N＝N，知N M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含 ，∴2－r≥，∴0＜r≤2－.
6.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为( )
A. B．4 C. D.
答案：D
解析：由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0,0)到l的距离d＝，圆O的半径R＝2，所以截得的弦长为2＝2＝.
7.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案：B
解析：由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
8.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )
A.9 B.14 C.14－6 D.14＋6
答案：D
解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2,1)，r＝3，而x2＋y2＝()2.所以x2＋y2的最大值为(＋3)2＝14＋6.
9.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案：C
解析：因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上 .设圆C1，C2的圆心坐标分别为 (x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根.，即x2－10x＋17＝0.所以 x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝|x1－x2|＝ ＝8.
10.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
答案：B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系.如图所示，
设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6).代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4≈3.5(米 ).
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m的值为________．
答案：39
解析：将圆化为(x＋8)2＋y2＝64－m(m<64)，所以圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝4，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以42＋32＝64－m，解得m＝39.
12. (2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为________．
答案：π
解析：直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,1)，设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2＝2，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧AB的长为×2＝π.
13.圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
答案：x－2y＋4＝0 2
解析：联立两圆的方程得两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长为2.
14.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．
答案：(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
15. (2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法：①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件；②当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1；③“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件；④当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点.正确的是________．
答案：③
解析：对于①，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0 (x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示圆，则m2－1>0 m<－1或m>1，所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故①错误；对于②，m＝3时，直线l：x＋y＋1＝0，曲线C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝26，圆心到直线l的距离d＝＝5，所以弦长＝2＝2＝2，故②错误；对于③，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离d＝＝ m＝±3，所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，③正确；对于④，当m＝－2时，曲线C：(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r＝，曲线C与圆x2＋y2＝1的圆心距为＝2>＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，④错误．
三、解答题
16.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解：(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以2＋2＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
17.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2＝2.
18.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解：(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，
解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴＝5，解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
19.已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上．
(1)判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．
(1)解：N关于直线y＝x的对称点为M，
所以圆M的半径r＝＝＝，
所以圆M的方程为2＋2＝.
又|MN|＝＝>×2，
故圆M与圆N相离．
(2)证明：设P(x0，y0)，则|PA|2＝(x0＋1)2＋2＝(x0＋1)2＋－2＝－x0，
|PB|2＝(x0－1)2＋2＝(x0－1)2＋－2＝－x0，
所以2＝，即＝.
又PG为∠APB的平分线，故＝＝2为定值．
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
2.5.2圆与圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 圆与圆的位置关系及判定
1.圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含.
外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.
如图：
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？
答 不一定，也有可能是内切.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
2. (2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C. D.(3,4)
3.已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.m＜1 B.m＞121 C.1≤m≤121 D.1＜m＜121
4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
5.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A.(0，－1) B.(0,1] C.(0,2－] D.(0,2]
6.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为( )
A. B．4 C. D.
7.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )
A.9 B.14 C.14－6 D.14＋6
9.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
10.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
二、填空题
11. (2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m的值为________．
12. (2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为________．
13.圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
14.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．
15. (2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法：①“m>1”是曲线C表示圆的充要条件；②当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1；③“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件；④当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点.正确的是________．
三、解答题
16.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
17.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
18.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
19.已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上．
(1)判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．
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2.5.2 圆与圆的位置关系 1/1