高中数学(新RJ·A)必修第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.1 n次方根与分数指数幂
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　根式的定义
1.n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝ x＝± x＝0 不存在
3.根式的定义
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
4.根式的性质
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4) ＝
注意点：
(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠.
(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序．
知识点二　分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注意点：
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
(3)在分数指数幂与根式的互化公式＝中，必须规定a>0.①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值.②若a<0，＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
知识点三　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar+s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).
拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．②r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四　无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．下列各式正确的是(　　)
A.＝－3 B.＝a C.＝2 D.＝2
答案：C
解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误，故选C.
2．若2A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1
答案：C
解析：由于20，所以原式＝a－2＋3－a＝1.故选C.
3．当有意义时，化简－的结果为(　　)
A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x
答案：C
解析：由有意义得x≤2.故－＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
4．在① a2n·an＝a3n；②22×33＝65；③32×32＝81；④a2·a3＝5a；⑤(－a)2·(－a)3＝a5中，计算正确的式子有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：C
解析：①a2n·an＝a3n，正确；②65＝25×35，故22×33≠65，故②错误；③32×32＝9×9＝81，正确；④a2·a3＝a5，故④错误；⑤(－a)2·(－a)3＝(－a)5，故⑤错误．
5．若＝，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B. C. D.
答案：D
解析：∵＝＝＝，∴1－2a≥0，即a≤.
6．计算＋－的结果为(　　)
A．2 B．2 C.－ D.＋
答案：B
解析：原式＝＋
－
＝＋－＝＋＋2－－2＋＝2.故选B.
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为(　　)
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
答案：D
解析：由题图可知a×(－1)2＋b×(－1)＋0.1<0，∴a8．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x)(x＞0) B.＝y(y＜0)
C．xy＝(x＞0，y＞0) D．x＝－(x≠0)
答案：C
解析：对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝(x＞0，y＞0)，故C正确；对于D，x＝(x≠0)，故D错误．
9.化简(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B.ab C. D.a2b
答案：C
解析：原式＝[a3b2(ab2)]÷(a1b2ba－)＝＝.
10．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．bc>a D．a答案：D
解析：∵a＝＝＝，b＝＝＝，c＝＝＝，∴a二、填空题
11．当x<0时，x＋＋＝________.
答案：1
解析：原式＝x＋|x|＋＝x－x＋1＝1.
12．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.
答案：27
解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
13．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝ .
答案：0
解析：∵＋＝0且x－1≥0，x＋y≥0，∴x－1＝0且x＋y＝0，∴x＝1，y＝－1，∴x2 020＋y2 021＝12 020＋(－1)2 021＝1－1＝0.
14．设f(x)＝，若0答案：－a
解析：f＝＝＝＝|a－|.由于015.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______.
答案：　2
解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
三、解答题
16.计算下列各式的值：(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)7－3－6＋；(3)·÷(a＞0，b＞0).
解：(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.
(2)原式＝7×3－3－6＋
＝7×3－6×3－6×3＋3＝2×3－2×3×3＝2×3－2×3＝0.
(3)原式＝＝＝＝a0b0＝1.
17.已知a＝－，b＝，求÷的值.
解：原式＝·＝＝a＝(－)
＝(－)－2＝.
18．(1)计算：＋(e≈2.7)．
(2)若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
解：(1)原式＝＋＝＋
＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
(2)因为x－－2y＝0，x>0，y>0.
所以()2－－2()2＝0，
所以(＋)(－2 )＝0，
由x>0，y>0得 ＋>0，所以－2 ＝0.
所以x＝4y，所以＝＝.
19.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值.
解：(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
(2)＝＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x＜y，∴x－y＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
4.1.1 n次方根与分数指数幂 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.1 n次方根与分数指数幂
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　根式的定义
1.n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝ x＝± x＝0 不存在
3.根式的定义
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
4.根式的性质
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4) ＝
注意点：
(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠.
(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序．
知识点二　分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注意点：
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
(3)在分数指数幂与根式的互化公式＝中，必须规定a>0.①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值.②若a<0，＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
知识点三　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar+s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).
拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．②r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四　无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1．下列各式正确的是(　　)
A.＝－3 B.＝a C.＝2 D.＝2
2．若2A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1
3．当有意义时，化简－的结果为(　　)
A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x
4．在① a2n·an＝a3n；②22×33＝65；③32×32＝81；④a2·a3＝5a；⑤(－a)2·(－a)3＝a5中，计算正确的式子有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．若＝，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B. C. D.
6．计算＋－的结果为(　　)
A．2 B．2 C.－ D.＋
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为(　　)
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
8．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x)(x＞0) B.＝y(y＜0)
C．xy＝(x＞0，y＞0) D．x＝－(x≠0)
9.化简(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B.ab C. D.a2b
10．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．bc>a D．a二、填空题
11．当x<0时，x＋＋＝________.
12．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.
13．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝ .
14．设f(x)＝，若015.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______.
三、解答题
16.计算下列各式的值：(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)7－3－6＋；(3)·÷(a＞0，b＞0).
17.已知a＝－，b＝，求÷的值.
18．(1)计算：＋(e≈2.7)．
(2)若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
19.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
4.1.1 n次方根与分数指数幂 1/1