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4.2.1指数函数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
注意点：
(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.给出下列函数：①y＝4·3x；②y＝2x+1；③y＝2x；④y＝x3；⑤y＝(－3)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案：B
解析：①中，3x的系数是4，故①不是指数函数；②中，y＝2x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，2x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有2x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－3＜0，不是指数函数.
2.下列各函数中，是指数函数的是( )
A.y＝(－3)x B.y＝－3x C.y＝3x－1 D.y＝x
答案：D
解析：由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.
3.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D.
答案：C
解析：依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，即a的取值范围是∪(1，＋∞)
4.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.任意值
答案：B
解析：由指数函数的定义可得a2－5a＋7＝1，解得a＝3或a＝2，又因为a－1>0且a－1≠1，故a＝3.
5.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为( )
A.(1－0.1250)m B. C.0.9250m D.
答案：B
解析：设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，∴1－a＝，由2017年的耕地面积为m，得2022年的耕地面积为(1－a)5m＝.
6.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为( )
A.2 B.－2 C.－2 D.2
答案：D
解析：因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f ＝＝2.
7.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(2)·f(1)等于( )
A.－3 B.9 C.27 D.81
答案：C
解析：由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝3，函数的解析式为y＝3x，f(2)·f(1)＝32×31＝27.
8.已知函数f(x)＝4＋ax+1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0)
答案：A
解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1,5).故选A.
9.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B等于( )
A.{0} B.{1} C.{－1} D.{0,1}
答案：B
解析：因为A＝{－1,0,1}，所以B＝，因此A∩B＝{1}．
10.函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于( )
A.－2x B.2－x C.－2－x D.2x
答案：C
解析：当x<0时，f(x)＝2x，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝2－x.又f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
二、填空题
11.函数y＝的值域是________.
答案：(0,2]
解析：∵x2－1≥－1，∴y＝≤－1＝2，又y＞0，∴函数值域为(0,2].
12.函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝________.
答案：
解析：由题意得解得a＝.∴a的值为.
13.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(1,2)∪(2，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，∴解得a>1且a≠2，∴实数a的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
14.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
答案：
解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.
15.某工厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为______万元．
答案：a(1＋7%)4
解析：2018年产值为a，增长率为7%；
2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)；
2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%＝a(1＋7%)2(万元)；
……；
2022年的产值为a(1＋7%)4万元．
三、解答题
16.求下列函数的定义域和值域：(1)y＝；(2)y＝5－x－1.
解：(1)要使函数y＝有意义，只要1－x≥0，即x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1}.
设y＝3u，u＝，则u≥0，
由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}.
(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为R.
因为5－x>0，所以5－x－1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞).
17.设0≤x≤2，y＝－3·2x＋5，试求该函数的最值.
解：令t＝2x,0≤x≤2，∴1≤t≤4.则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，t∈[1,3]上是减函数；t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
18.函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值.
解：①若a＞1，则f(x)是增函数，∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1).
∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.
解得a＝.
②若0＜a＜1，则f(x)是减函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝
综上所述，a＝或a＝.
19.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解：(1)由可得a＝2，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数，证明如下：
F(x)＝2x－2－x，定义域为R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
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知识梳理 回顾教材 夯实基础
指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
注意点：
(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.给出下列函数：①y＝4·3x；②y＝2x+1；③y＝2x；④y＝x3；⑤y＝(－3)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.下列各函数中，是指数函数的是( )
A.y＝(－3)x B.y＝－3x C.y＝3x－1 D.y＝x
3.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D.
4.函数y＝(a2－5a＋7)(a－1)x是指数函数，则a的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.任意值
5.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为( )
A.(1－0.1250)m B. C.0.9250m D.
6.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为( )
A.2 B.－2 C.－2 D.2
7.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(2)·f(1)等于( )
A.－3 B.9 C.27 D.81
8.已知函数f(x)＝4＋ax+1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0)
9.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B等于( )
A.{0} B.{1} C.{－1} D.{0,1}
10.函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于( )
A.－2x B.2－x C.－2－x D.2x
二、填空题
11.函数y＝的值域是________.
12.函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝________.
13.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
14.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
15.某工厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为______万元．
三、解答题
16.求下列函数的定义域和值域：(1)y＝；(2)y＝5－x－1.
17.设0≤x≤2，y＝－3·2x＋5，试求该函数的最值.
18.函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值.
19.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
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