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课题 构造全等三角形证明线段相等
——第十二章全等三角形专题复习 第 课时
总第 课时
教学目标 能够根据题目条件，恰当添加辅助线构造全等三角形证明线段相等；通过本节课的学习，增强学生添加辅助线构造全等三角形的意识，提高学生解决问题的能力；在学习过程中，养成合作交流的学习习惯，体验获得成功的乐趣，增强学好数学的信心.
教学重点 添加辅助线构造全等三角形证明线段相等.
教学难点 正确添加辅助线构造全等三角形.
板书设计 构造全等三角形证明线段相等
教学反思
师生活动设计 设计意图
教学过程 一、自主学习活动一如图，AB=AC，请你添加一个条件,使△ABE≌△ACD，并写出判定的依据.（请你从以下几方面思考问题：（1）问题是什么？（2）已知什么条件？（3）图中隐含什么条件？（4）你可以添加什么条件，使△ABE≌△ACD，运用了哪一个定理？）2.如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD（请仿照第一题来回答） 活动二、例1 如图，在四边形ABCD中，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°．求证：AD=CD．分析：要证AD=CD，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°，还有一条公共边， 只需再添加一个条件就可构造全等三角形，由角平分线的性质可以想到由点D向AB，BC做垂线段可构造全等三角形；或由角的对称性，在角的边上截取等线段也可构造全等。小结:回顾这道题的解法，当已知角平分线时，你有几种方法构造全等？ 角的平分线所在直线是角的对称轴，角平分线不仅提供了两个相等的角，还提供一条公共边，在有角平分线时，在角的两边上截取相等的线段，或从角平分线上一点向两边作垂线段，构造出全等三角形是常用的证明方法．练习：如图，AD∥BC，E为DC上一点，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：CE=ED．二、探索学习活动三、例2 如图：∠1=∠2，∠D+∠C=180°，求证：AC=BD问题:1.已知什么条件 2.图中隐含什么条件 3.你能添加什么辅助线证明AC=BD 三、反思小结本节课我们研究了什么问题？解决这类问题时，你应该怎样思考？ 作业：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．(请用不同方法完成,其中至少有一种写出完整过程,其它方法画图添加辅助线,写清思路即可) 这是一组开放性问题，学生课前完成预习，自主复习全等的判定定理，通过课上展示加深学生对全等判定的认识.活动二， 本题是利用角平分线构造全等的一个典型例子，需要学生自己用角平分线构造全等图形来解决问题．通过此题，让学生体会利用角平分线解决问题的方法．感受构造全等解决问题的基本方法．小结的目的：总结方法，强化构造意识.本练习题是利用角平分线构造全等的一个练习，在上一题的基础上,让学生巩固用角平分线构造全等图形来解决问题的思路．通过此题的练习，让学生进一步体会利用角平分线解决问题的方法. 学生在解决问题过程中大胆尝试构造全等解决问题，通过对此题的解题思路的分析,进一步使学生对添加辅助线有更进一步的了解,明白辅助线可以添加数量上的,如线段等,角等,也可通过位置上的关系来添加,如垂直、平行，增强学生解决几何难题的信心和勇气．通过课堂小结让学生梳理知识，总结方法，加深对知识本质的认识，形成分析问题的一般思路．
例1已知：如图，在四边形ABCD中，
∠1=∠2，∠A+∠C=180°．
求证：AD=CD．
构造全等的方法：
构造等线段
作垂直或平行
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构造全等三角形证明线段相等 ——第十二章全等三角形专题复习
要解决的问题
解决问题的方法
面临的新问题
【学习目标】
能够根据题目条件，恰当添加辅助线，
构造全等三角形证明线段相等．
预习交流要求：
1.组内交流，本组展示题目人人过关.
2.组长分工，分工明确.
3.展示要求：
（1）要声音洪亮，分析思路，小结时要讲清本题所用到的知识点；
（2）展示时其他同学注意听讲、及时纠错，提出质疑.
请你从以下几方面思考问题：
（1）问题是什么？
（2）已知什么条件？
（3）图中隐含什么条件？
（4）你可以添加什么条件，使△ABE≌△ACD，运用了哪一个定理？
活动一
添加条件使三角形全等
一组对应边相等
公共角
角角边
角边角
边角边
三角形全等需要三个条件
AB=AC，∠A= ∠A
添加一个条件
（1）AE=AD(SAS)
（2）∠ADC= ∠AEB(AAS)
（3） ∠B= ∠C(ASA)……
一、自主学习
1.如图，AB=AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD，并写出判定的依据．
AE=BC (SAS)
∠E=∠D （AAS）
∠EBD=∠BDC （ASA）
∠EBD=90° （ASA或AAS）
BE=DB （HL）
2.如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD ．
（请仿照第一题来回答）
活动二
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠A+∠C=180°,求证：AD=CD ．
例1 如图,在四边形ABCD中, ∠1=∠2 ∠A+∠C=180°，求证：AD=CD ．
分析：要证AD=CD，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°，
还有一条公共边， 只需再添加一个条件就可构造全等
三角形，由角平分线的性质可以想到由点D向AB、BC
做垂线段可构造全等三角形；或由角的对称性，在角的
边上截取等线段也可构造全等.
证明:
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2 ，∠A+∠C=180°，
求证：AD=CD ．
D
A
B
C
M
作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N.
∵∠1=∠2 ， DN⊥BA，DM⊥BC
∴∠N=∠DMB=90°
1
2
∴ ∠4=∠C
N
4
3
ND=MD
在△NAD和△MCD中
∠4=∠C
∠N=∠DMC
ND=MD
∵ ∠3+ ∠4＝180°
∴ ∠3+ ∠C＝180°
∴△NAD≌△MCD(AAS)
∴ AD=CD
证明:
D
A
B
C
F
延长BA到F，使BF=BC，连结DF.
在△BFD和△BCD中
BF=BC
∠1=∠2
BD=BD
∴△BFD≌△BCD（SAS）
1
2
4
3
∴ ∠F＝∠C
∴DF=AD
∴ AD=CD
∴∠4=∠C
∴∠4=∠F
∵ ∠3+ ∠4＝180°
∠3+ ∠C＝180°
DF = DC
方法三
小结
回顾这道题的解法，当已知角平分线时，你有几种方法构造全等？
角的平分线所在直线是角的对称轴，角平分线不仅提供了两个
相等的角，还提供一条公共边，在有角平分线时，在角的两边
上截取相等的线段，或从角平分线上一点向两边作垂线段，
构造出全等三角形是常用的证明方法．
延长AE交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴ ∠1=∠F
∵ ∠1=∠2
∴ ∠F=∠2
∴ AB=BF
又∵ ∠3=∠4
∴AE=EF
在△ADE与△FCE中
∠1=∠F
AE=EF
∠DEA=∠FEC
∴△ADE≌△FCE
∴CE=ED
证明：
F
练习：已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E
交AD于点D，交BC于点C．求证：CE=ED．
证明：在AB上截取AF=AD，连接EF.
在△ADE与△AFE中
∴△ADE≌△AFE（ SAS ）
∴EF=DE ∠D=∠AFE
∵ AD∥BC
∴∠D+∠C=180°， 在△EFB与△ECB中
又∵ ∠AFE+∠EFB=180°
∴∠EFB=∠C，
∴△EFB≌△ECB（AAS）
∴FE=CE
∴DE=CE
方法三
F
探索学习要求:
1.独立思考(3分钟)
2.小组讨论,交流思路.(3分钟)
3.班级展示
活动三
二、探索学习
例2 已知：如图，∠1=∠2，∠D+∠C=180°，
求证：AC = BD ．
辅助线1：在ED上截取EF=CE，连接BF.
辅助线2：
延长BC至F使BF=AD，连接AF.
辅助线3：
作BF⊥AD于F，
AG⊥BC交BC延长线于G ．
三、反思小结
1.本节课我们研究了什么问题？
2.解决这类问题时，你应该怎样思考？
已知线段相等或角相等
图中隐含条件
等角
两三角形全等
构造垂直、平行位置关系
构造线段相等或角相等
线段相等
等腰三角形
＋
添加辅助线
已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD,连接DE交BC于F．
求证：DF=EF
要求：请你尽可能多的用不同的方法解决此题，画出图形，在图上标出你所添的辅助线，选择一种，写出完整的过程.
作业:登陆21世纪教育 助您教考全无忧
构造全等三角形证明线段相等
【学习目标】能够根据题目条件，恰当添加辅助线构造全等三角形证明线段相等．
【学习过程】
一、自主学习
活动一、
如图，AB=AC，请你添加一个条件使△ABE≌△ACD，并写出判定的依据.（请你从以下几方面思考问题：（1）问题是什么？（2）已知什么条件？（3）图中隐含什么条件？（4）你可以添加什么条件，使△ABE≌△ACD，运用了哪一个定理？）
2、如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD（请仿照第一题来回答）．
活动二、
例1、如图，在四边形ABCD中，已知∠1=∠2，∠A+∠C=180°．求证：AD=CD．
练习：
已知：如图，AD∥BC，E为DC上一点，∠1=∠2,∠3=∠4．求证：CE=ED．
二、探索学习
活动三、
例2 已知：如图，∠1=∠2，∠D+∠C=180°．求证：AC=BD．
三、反思小结
本节课我们研究了什么问题？
解决这类问题时，你应该怎样思考？
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